江苏省常州市中考数学试卷（含解析版）

这是一份江苏省常州市中考数学试卷（含解析版），共41页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≠﹣2D．x≠2
3．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AO=ODB．AO⊥ODC．AO=OCD．AO⊥AB
6．（2分）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m=﹣1B．m=3C．m≤﹣1D．m≥﹣1
8．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2

二、填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1= ．
10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 ．
11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2= ．
12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ．
13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 ．
14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是 ．
15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 ．
16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 ．
17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2； 12=5+7；
6=3+3； 14=3+11=7+7；
8=3+5； 16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是 （请用文字语言表达）．
18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 ．

三、解答题（共10小题，共84分）
19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．
20．（8分）解方程和不等式组：
（1）； （2）．
21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
（1）求甲第一个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数．
24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？
25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2+2，求AB．
26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ ．
∴，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2= ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．
（1）写出点A的坐标；
（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．
28．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．

江苏省常州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共16分）
1．（2分）﹣3的绝对值是（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．
【解答】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．
故选：A．
【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（2分）要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x≠﹣2D．x≠2
【专题】11 ：计算题．
【分析】根据分式有意义得到分母不为0，即可求出x的范围．
【解答】解：要使分式有意义，须有x﹣2≠0，即x≠2，
故选D．
【点评】此题考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件为：分母不为0．

3．（2分）下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项正确；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

4．（2分）如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=40°，则∠ECD的度数是（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【专题】11 ：计算题．
【分析】由BC与AE垂直，得到三角形ABC为直角三角形，利用直角三角形两锐角互余，求出∠A的度数，再利用两直线平行同位角相等即可求出∠ECD的度数．
【解答】解：∵BC⊥AE，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，∠B=40°，
∴∠A=90°﹣∠B=50°，
∵CD∥AB，
∴∠ECD=∠A=50°，
故选C．
【点评】此题考查了平行线的性质，以及垂线，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．

5．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AO=ODB．AO⊥ODC．AO=OCD．AO⊥AB
【分析】根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分进行判断即可．
【解答】解：对角线不一定相等，A错误；
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选：C．
【点评】本题考查度数平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．

6．（2分）已知a=，b=，c=，则下列大小关系正确的是（ ）
A．a＞b＞cB．c＞b＞aC．b＞a＞cD．a＞c＞b
【专题】11 ：计算题．
【分析】将a，b，c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可．
【解答】解：∵a==，b==，c==，且＜＜，
∴＞＞，即a＞b＞c，
故选A．
【点评】此题考查了实数比较大小，将a，b，c进行适当的变形是解本题的关键．

7．（2分）已知二次函数y=x2+（m﹣1）x+1，当x＞1时，y随x的增大而增大，而m的取值范围是（ ）
A．m=﹣1B．m=3C．m≤﹣1D．m≥﹣1
【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于1列式计算即可得解．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣，
∵当x＞1时，y的值随x值的增大而增大，
由图象可知：﹣≤1，
解得m≥﹣1．
故选D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．

8．（2分）将一张宽为4cm的长方形纸片（足够长）折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是（ ）
A．cm2B．8cm2C．cm2D．16cm2
【专题】16 ：压轴题．
【分析】当AC⊥AB时，重叠三角形面积最小，此时△ABC是等腰直角三角形，面积为8cm2．
【解答】解：如图，当AC⊥AB时，三角形面积最小，
∵∠BAC=90°∠ACB=45°
∴AB=AC=4cm，
∴S△ABC=×4×4=8cm2．
故选：B．
【点评】本题考查了折叠的性质，发现当AC⊥AB时，重叠三角形的面积最小是解决问题的关键．

二、填空题（每小题2分，共20分）
9．（2分）计算（π﹣1）0+2﹣1= ．
【分析】分别根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：（π﹣1）0+2﹣1
=1+
=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．

10．（2分）太阳半径约为696 000千米，数字696 000用科学记数法表示为 6.96×105 ．
【专题】12 ：应用题．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．本题中696 000有6位整数，n=6﹣1=5．
【解答】解：696 000=6.96×105．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

11．（2分）分解因式：2x2﹣2y2= 2（x+y）（x﹣y） ．
【分析】先提取公因式2，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
【解答】解：2x2﹣2y2=2（x2﹣y2）=2（x+y）（x﹣y）．
故答案为：2（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次分解，注意分解要彻底．

12．（2分）已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 27π ．
【分析】利用弧长公式即可求扇形的半径，进而利用扇形的面积公式即可求得扇形的面积．
【解答】解：设扇形的半径为r．
则=6π，
解得r=9，
∴扇形的面积==27π．
故答案为：27π．
【点评】此题主要考查了扇形面积求法，用到的知识点为：扇形的弧长公式l=；扇形的面积公式S=．

13．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB=1：2，DE=2，则BC的长是 6 ．
【分析】由平行可得对应线段成比例，即AD：AB=DE：BC，再把数值代入可求得BC．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD：DB=1：2，DE=2，
∴，
解得BC=6．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，掌握平行线分线段成比例中的对应线段是解题的关键．

14．（2分）已知x=2是关于x的方程a（x+1）=a+x的解，则a的值是 ．
【专题】11 ：计算题．
【分析】把x=2代入方程计算即可求出a的值．
【解答】解：把x=2代入方程得：3a=a+2，
解得：a=．
故答案为：．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

15．（2分）二次函数y=﹣x2+2x﹣3图象的顶点坐标是 （1，﹣2） ．
【分析】此题既可以利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式求得顶点坐标，也可以利用配方法求出其顶点的坐标．
【解答】解：∵y=﹣x2+2x﹣3
=﹣（x2﹣2x+1）﹣2
=﹣（x﹣1）2﹣2，
故顶点的坐标是（1，﹣2）．
故答案为（1，﹣2）．
【点评】本题考查了二次函数的性质，求抛物线的顶点坐标有两种方法①公式法，②配方法．

16．（2分）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是 （400，800） ．
【分析】根据题意结合全等三角形的判定与性质得出△AOD≌△ACB（SAS），进而得出C，A，D也在一条直线上，求出CD的长即可得出C点坐标．
【解答】解：连接AC，
由题意可得：AB=300m，BC=400m，
在△AOD和△ACB中
∵，
∴△AOD≌△ACB（SAS），
∴∠CAB=∠OAD，
∵B、O在一条直线上，
∴C，A，D也在一条直线上，
∴AC=AO=500m，则CD=AC=AD=800m，
∴C点坐标为：（400，800）．
故答案为：（400，800）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理，得出C，A，D也在一条直线上是解题关键．

17．（2分）数学家歌德巴赫通过研究下面一系列等式，作出了一个著名的猜想．
4=2+2； 12=5+7；
6=3+3； 14=3+11=7+7；
8=3+5； 16=3+13=5+11；
10=3+7=5+5 18=5+13=7+11；
…
通过这组等式，你发现的规律是 所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和 （请用文字语言表达）．
【分析】根据以上等式得出规律进行解答即可．
【解答】解：此规律用文字语言表达为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和，
故答案为：所有大于2的偶数都可以写成两个素数之和
【点评】此题考查规律问题，关键是根据几个等式寻找规律再用文字表达即可．

18．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为弧BD的中点，则AC的长是 ．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，根据旋转的性质得出∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，求出A、B、E三点共线，解直角三角形求出即可；过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，得出∠E=∠CFD=∠CFA=90°，推出=，求出∠BAC=∠DAC，BC=CD，求出CE=CF，根据圆内接四边形性质求出∠D=∠CBE，证△CBE≌△CDF，推出BE=DF，证△AEC≌△AFC，推出AE=AF，设BE=DF=x，得出5=x+3+x，求出x，解直角三角形求出即可．
【解答】解：解法一、∵A、B、C、D四点共圆，∠BAD=60°，
∴∠BCD=180°﹣60°=120°，
∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，
∴∠CAD=∠CAB=30°，
如图1，
将△ACD绕点C逆时针旋转120°得△CBE，
则∠E=∠CAD=30°，BE=AD=5，AC=CE，
∴∠ABC+∠EBC=（180°﹣CAB+∠ACB）+（180°﹣∠E﹣∠BCE）=180°，
∴A、B、E三点共线，
过C作CM⊥AE于M，
∵AC=CE，
∴AM=EM=×（5+3）=4，
在Rt△AMC中，AC===；
解法二、过C作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
则∠E=∠CFD=∠CFA=90°，
∵点C为弧BD的中点，
∴=，
∴∠BAC=∠DAC，BC=CD，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE=CF，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠D=∠CBE，
在△CBE和△CDF中
∴△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
在△AEC和△AFC中
∴△AEC≌△AFC，
∴AE=AF，
设BE=DF=x，
∵AB=3，AD=5，
∴AE=AF=x+3，
∴5=x+3+x，
解得：x=1，
即AE=4，
∴AC==，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，圆内接四边形性质，解直角三角形，全等三角形的性质和判定的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，综合性比较强，难度适中．

三、解答题（共10小题，共84分）
19．（6分）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（2﹣x），其中x=2．
【专题】11 ：计算题．
【分析】原式第一项利用完全平方公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=x2+2x+1﹣2x+x2=2x2+1，
当x=2时，原式=8+1=9．
【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（8分）解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出解集．
【解答】解：（1）去分母得：x=6x﹣2+1，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解；
（2），
由①得：x＞﹣2，
由②得：x＜3，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜3．
【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．（8分）某调查小组采用简单随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下的统计图：
（1）该调查小组抽取的样本容量是多少？
（2）求样本学生中阳光体育运动时间为1.5小时的人数，并补全占频数分布直方图；
（3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间．
【分析】（1）利用0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，即可求出样本容量；
（2）利用样本容量乘以1.5小时的百分数，即可求出1.5小时的人数，画图即可；
（3）计算出该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间即可．
【解答】解：（1）由题意可得：0.5小时的人数为：100人，所占比例为：20%，
∴本次调查共抽样了500名学生；
（2）1.5小时的人数为：500×24%=120（人）
如图所示：
（3）根据题意得：，即该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约1小时．
【点评】此题主要考查了条形统计图以及扇形统计图的应用，根据统计图得出正确信息是解题关键．

22．（8分）甲，乙，丙三位学生进入了“校园朗诵比赛”冠军、亚军和季军的决赛，他们将通过抽签来决定比赛的出场顺序．
（1）求甲第一个出场的概率；
（2）求甲比乙先出场的概率．
【专题】11 ：计算题．
【分析】（1）画树状图得出所有等可能的情况数，找出甲第一个出场的情况数，即可求出所求的概率；
（2）找出甲比乙先出场的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：
所有等可能的情况有6种，其中甲第一个出场的情况有2种，
则P（甲第一个出场）==；
（2）甲比乙先出场的情况有3种，
则P（甲比乙先出场）==．
【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23．（8分）如图，在▱ABCD中，∠BCD=120°，分别延长DC、BC到点E，F，使得△BCE和△CDF都是正三角形．
（1）求证：AE=AF；
（2）求∠EAF的度数．
【专题】14 ：证明题．
【分析】（1）由平行四边形的性质得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等边三角形的性质得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，证出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根据SAS证明△ABE≌△FDA，得出对应边相等即可；
（2）由全等三角形的性质得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，
∵△BCE和△CDF都是正三角形，
∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，
∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，
在△ABE和△FDA中，，
∴△ABE≌△FDA（SAS），
∴AE=AF；
（2）解：∵△ABE≌△FDA，
∴∠AEB=∠FAD，
∵∠ABE=60°+60°=120°，
∴∠AEB+∠BAE=60°，
∴∠FAD+∠BAE=60°，
∴∠EAF=120°﹣60°=60°．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形和等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

24．（8分）已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？为什么？
【分析】（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；
（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，
∴m=9，
∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，
∴（5﹣3）n+9=12.6，
解得：n=1.8．
∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．
（2）小张剩下坐车的钱数为：75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），
乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：1.8×7+3.6=16.2（元）
∵13.4＜16.2，
故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．
【点评】本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次函数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键

25．（8分）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°．
（1）若AD=2，求AB；
（2）若AB+CD=2+2，求AB．
【分析】（1）在四边形ABCD中，由∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，得∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，△ADE与△BCF为等腰直角三角形，求得AE，利用锐角三角函数得BE，得AB；
（2）设DE=x，利用（1）的某些结论，特殊角的三角函数和勾股定理，表示AB，CD，得结果．
【解答】解：（1）过D点作DE⊥AB，过点B作BF⊥CD，
∵∠A=∠C=45°，∠ADB=∠ABC=105°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣45°﹣45°﹣105°=165°，
∴∠BDF=∠ADC﹣∠ADB=165°﹣105°=60°，
△ADE与△BCF为等腰直角三角形，
∵AD=2，
∴AE=DE==，
∵∠ABC=105°，
∴∠ABD=105°﹣45°﹣30°=30°，
∴BE===，
∴AB=；
（2）设DE=x，则AE=x，BE===，
∴BD==2x，
∵∠BDF=60°，
∴∠DBF=30°，
∴DF==x，
∴BF===，
∴CF=，
∵AB=AE+BE=，
CD=DF+CF=x，
AB+CD=2+2，
∴AB=+1
【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线DE、BF，构造直角三角形，求出相应角的度数．

26．（10分）设ω是一个平面图形，如果用直尺和圆规经过有限步作图（简称尺规作图），画出一个正方形与ω的面积相等（简称等积），那么这样的等积转化称为ω的“化方”．
（1）阅读填空
如图①，已知矩形ABCD，延长AD到E，使DE=DC，以AE为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABCD等积．
理由：连接AH，EH．
∵AE为直径，∴∠AHE=90°，∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，∴∠ADH=∠EDH=90°
∴∠HAD+∠AHD=90°
∴∠AHD=∠HED，∴△ADH∽ △HDE ．
∴，即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC
∴DH2= AD×DC ，即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）操作实践
平行四边形的“化方”思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．
如图②，请用尺规作图作出与▱ABCD等积的矩形（不要求写具体作法，保留作图痕迹）．
（3）解决问题
三角形的“化方”思路是：先把三角形转化为等积的 矩形 （填写图形名称），再转化为等积的正方形．
如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图）．
（4）拓展探究
n边形（n＞3）的“化方”思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．
如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形（不要求写具体作法，保留作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图）．
【专题】23 ：新定义．
【分析】（1）首先根据相似三角形的判定方法，可得△ADH∽△HDE；然后根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．
（2）首先把平行四边形ABCD转化为等积的矩形ADMN，然后延长AD到E，使DE=DM，以AE为直径作半圆．延长MD交半圆于点H，以DH为边作正方形DFGH，则正方形DFGH与矩形ABMN等积，所以正方形DFGH与平行四边形ABCD等积，据此解答即可．
（3）首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC转化为等积的矩形MBCD；然后延长MD到E，使DE=DC，以ME为直径作半圆．延长CD交半圆于点H，则DH即为与△ABC等积的正方形的一条边．
（4）首先根据AG∥EH，判断出AG=2EH，然后根据CF=2DF，可得CF•EH=DF•AG，据此判断出S△CEF=S△ADF，S△CDI=S△AEI，所以S△BCE=S四边形ABCD，即△BCE与四边形ABCD等积，据此解答即可．
【解答】解：（1）如图①，连接AH，EH，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DC，
∴DH2=AD×DC，
即正方形DFGH与矩形ABCD等积．
（2）作法：
①过A、D作AN、DM分别垂直BC于N、M；
②延长AD，取DE=DM；
③以AE为直径作半圆O；
④延长MD交半圆O于H；
⑤以H、D作正方形HDFG，则正方形HDFG为平行四边形ABCD的等积正方形．
证明：
∵矩形ADMN的长和宽分别等于平行四边形ABCD的底和高，
∴矩形ADMN的面积等于平行四边形ABCD的面积，
∵AE为直径，
∴∠AHE=90°，
∴∠HAE+∠HEA=90°．
∵DH⊥AE，
∴∠ADH=∠EDH=90°，
∴∠HAD+∠AHD=90°，
∴∠AHD=∠HED，
∴△ADH∽△HDE．
∴，
即DH2=AD×DE．
又∵DE=DM，
∴DH2=AD×DM，
即正方形DFGH与矩形ABMN等积，
∴正方形DFGH与平行四边形ABCD等积．
（3）作法：
①过A点作AD垂直BC于D；
②作AD的垂直平分线，取AD中点E；
③过E作BC平行线，作长方形BCGF，则S矩形BCGF=S△ABC；
其他步骤同（2）可作出其等积正方形．
（4）作法：
①过A点作BD平行线l；
②延长CD交平行线与E点；
③连接BE，则S四边形ABCD=S△EBC，
同（3）可作出其等积正方形．
△BCE与四边形ABCD等积，理由如下：
∵BD∥l，
∴S△ABD=S△EBD，
∴S△BCE=S四边形ABCD，
即△EBC与四边形ABCD等积．
故答案为：△HDE、AD×DC、矩形．
【点评】（1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了矩形、三角形的面积的求法，以及对等积转化的理解，要熟练掌握．

27．（10分）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点A、B，过点A作x轴的垂线l，点P为直线l上的动点，点Q为直线AB与△OAP外接圆的交点，点P、Q与点A都不重合．
（1）写出点A的坐标；
（2）当点P在直线l上运动时，是否存在点P使得△OQB与△APQ全等？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）若点M在直线l上，且∠POM=90°，记△OAP外接圆和△OAM外接圆的面积分别是S1、S2，求的值．
【专题】16 ：压轴题．
【分析】（1）将y=0代入y=﹣x+4，求得x的值，从而得到点A的坐标；
（2）首先根据题意画出图形，然后在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB的长度，然后由全等三角形的性质求得QA的长度，从而得到BQ的长，然后根据PA=BQ求得PA的长度，从而可求得点P的坐标；
（3）首先根据题意画出图形，设AP=m，由△OAM∽△PAO，可求得AM的长度，然后根据勾股定理可求得两圆的直径（用含m的式子表示），然后利用圆的面积公式求得两圆的面积，最后代入所求代数式求解即可．
【解答】解（1）令y=0，得：﹣x+4=0，解得x=4，
即点A的坐标为（4，0）；
（2）存在．
理由：第一种情况，如下图一所示：
∵∠OBA=∠BAP，∴它们是对应角，
∴BQ=PA，
将x=0代入y=﹣x+4得：y=4，
∴OB=4，
由（1）可知OA=4，
在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB==4．
∵△BOQ≌△AQP．
∴QA=OB=4，BQ=PA．
∵BQ=AB﹣AQ=4﹣4，
∴PA=4﹣4．
∴点P的坐标为（4，4﹣4）；
第二种情况，如下图二所示：
∵△OQB≌△APQ，
∴AQ=BO=4，AB=，BQ=AP，
∴BQ=AB+AQ=，
∴AP=4，
∴点P的坐标为：（4，﹣4）；
由上可得，点P的坐标为：（4，）或（4，）．
（3）如图所示：
令PA=a，MA=b，△OAP外接圆的圆心为O1，△OAM的外接圆的圆心为O2，
∴OP2=OA2+PA2=42+a2=16+a2，OM2=OA2+MA2=42+b2=16+b2，
在Rt△POM中，PM2=OP2+OM2=a2+16+b2+16，
又∵PM2=（PA+AM）2=（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴ab=16，
∵O1A2=O1Q2+QA2=（）2+（）2=a2+4，O2A2=O2N2+NA2=（）2+（）2=b2+4，
∴S1=π×O1A2=（a2+4）π，S2=π×O2A2=（b2+4）π，
∴===×=．
【点评】本题主要考查的是全等三角形的性质，相似三角形的性质和判定以及勾股定理和一次函数的综合应用，根据题意画出图形，利用全等三角形和相似三角形的性质和判定求得AM和PA的长度是解题的关键．

28．（10分）如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
【专题】15 ：综合题；16 ：压轴题．
【分析】（1）过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，设AP与y轴交于点C，如图1，可根据条件先求出点B的坐标，然后把点B的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出k，然后求出直线AB与反比例函数的交点A的坐标，从而得到OA=OB，由此可得S△PAB=2S△AOP，要求△PAB的面积，只需求△PAO的面积，只需用割补法就可解决问题；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．可用待定系数法求出直线PB的解析式，从而得到点N的坐标，同理可得到点M的坐标，进而得到MH=NH，根据垂直平分线的性质可得PM=PN，即△PMN是等腰三角形；
（3）过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．可设点Q为（c，），运用待定系数法求出直线AQ的解析式，即可得到点D的坐标为（c﹣4，0），同理可得E（c+4，0），从而得到DT=ET，根据垂直平分线的性质可得QD=QE，则有∠QDE=∠QED．然后根据对顶角相等及三角形外角的性质，就可得到∠PAQ=∠PBQ．
【解答】解：（1）k=4，S△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y=x，得到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y=，得k=4．
解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△AOP=S△BOP，
∴S△PAB=2S△AOP．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直线AP的解析式为y=x+3，
则点C的坐标（0，3），OC=3，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
=OC•AR+OC•PS
=×3×4+×3×1=，
∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
B（4，1），则反比例函数解析式为y=，
设P（m，），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
联立，解得直线PA的方程为y=x+﹣1，
联立，解得直线PB的方程为y=﹣x++1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）∠PAQ=∠PBQ．
理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．
可设点Q为（c，），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
，
解得：，
∴直线AQ的解析式为y=x+﹣1．
当y=0时，x+﹣1=0，
解得：x=c﹣4，
∴D（c﹣4，0）．
同理可得E（c+4，0），
∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，
∴DT=ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD=QE，
∴∠QDE=∠QED．
∵∠MDA=∠QDE，
∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，
∴∠PAQ=∠PBQ．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数及一次函数的解析式、求反比例函数及一次函数图象的交点，三角形的中线平分三角形的面积、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、对顶角相等等知识，运用（2）中的结论及（2）中的解题方法是解决第（3）小题的关键．