湖北省鄂州市中考数学试卷（含解析版）

这是一份湖北省鄂州市中考数学试卷（含解析版），共37页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2015•鄂州）﹣的倒数是（ ）
A． B． 3 C． ﹣3 D． ﹣
2．（3分）（2015•鄂州）某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水39400吨，将39400用科学记数法表示（结果保留2个有效数字）应为（ ）
A． 3.9×104 B． 3.94×104 C． 39.4×103 D． 4.0×104
3．（3分）（2015•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A． a4•a2=a8 B． （a2）4=a6 C． （ab）2=ab2 D． 2a3÷a=2a2
4．（3分）（2015•鄂州）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）
A． 中位数是50 B． 众数是51 C． 方差是42 D． 极差是21
5．（3分）（2015•鄂州）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2015•鄂州）如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．
A． 70 B． 65 C． 60 D． 55
7．（3分）（2015•鄂州）如图，直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
8．（3分）（2015•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）（2015•鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．
其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
10．（3分）（2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A． （）2014 B． （）2015 C． （）2015 D． （）2014

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•鄂州）若使二次根式有意义，则x的取值范围是 ．
12．（3分）（2015•鄂州）分解因式：a3b﹣4ab= ．
13．（3分）（2015•鄂州）下列命题中正确的个数有 个．
①如果单项式3a4byc与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=1；
②在反比例函数y=中，y随x的增大而减小；
③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式；
④从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经过第一、二、三象限的概率是．
14．（3分）（2015•鄂州）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ．
15．（3分）（2015•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= ．
16．（3分）（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 ．

三、解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2015•鄂州）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．

18．（8分）（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．

19．（8分）（2015•鄂州）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．
请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 度，该班共有学生 人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 ．
（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．

20．（8分）（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．

21．（9分）（2015•鄂州）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．
（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）
22．（9分）（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
23．（10分）（2015•鄂州）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？

24．（12分）（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．


居民（户）
1
2
3
4
月用电量（度/户）
30
42
50
51
湖北省鄂州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）（2015•鄂州）﹣的倒数是（ ）
A． B． 3 C． ﹣3 D． ﹣
考点： 倒数．
分析： 一个数的倒数就是把这个数的分子、分母颠倒位置即可得到．
解答： 解：﹣的倒数是﹣=﹣3．
故选C．
点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．

2．（3分）（2015•鄂州）某小区居民王先生改进用水设施，在5年内帮助他居住小区的居民累计节水39400吨，将39400用科学记数法表示（结果保留2个有效数字）应为（ ）
A． 3.9×104 B． 3.94×104 C． 39.4×103 D． 4.0×104
考点： 科学记数法与有效数字．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39400有5位，所以可以确定n=5﹣1=4，由于结果保留2个有效数字，所以a=3.9．
解答： 解：39 400≈3.9×104．
故选A．
点评： 此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．

3．（3分）（2015•鄂州）下列运算正确的是（ ）
A． a4•a2=a8 B． （a2）4=a6 C． （ab）2=ab2 D． 2a3÷a=2a2
考点： 整式的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式的除法，即可解答．
解答： 解：A、a4•a2=a6，故错误；
B、（a2）4=a8，故错误；
C、（ab）2=a2b2，故错误；
D、正确；
故选：D．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式的除法，解决本题的关键是熟记相关法则．

4．（3分）（2015•鄂州）为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：
居民（户） 1 2 3 4
月用电量（度/户） 30 42 50 51
那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（ ）
A． 中位数是50 B． 众数是51 C． 方差是42 D． 极差是21
考点： 方差；中位数；众数；极差．
专题： 计算题．
分析： 根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判断．
解答： 解：10户居民4月份用电量为30，42，42，50，50，50，51，51，51，51，
平均数为（30+42+42+50+50+50+51+51+51+51）=46.8，
中位数为50；众数为51，极差为51﹣30=21，方差为[（30﹣46.8）2+2（42﹣46.8）2+3（50﹣46.8）2+4（51﹣46.8）2]=42.96．
故选C．
点评： 此题考查了方差，中位数，众数，以及极差，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．

5．（3分）（2015•鄂州）如图所示的几何体是由一些正方体组合而成的立体图形，则这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
考点： 简单组合体的三视图．
分析： 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
解答： 解：从上面看易得左侧有2个正方形，右侧有一个正方形．
故选A．
点评： 本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．

6．（3分）（2015•鄂州）如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（ ）度．
A． 70 B． 65 C． 60 D． 55
考点： 平行线的性质．
分析： 先由垂直的定义，求出∠PEF=90°，然后由∠BEP=50°，进而可求∠BEF=140°，然后根据两直线平行同旁内角互补，求出∠EFD的度数，然后根据角平分线的定义可求∠EFP的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出∠EPF的度数．
解答： 解：如图所示，
∵EP⊥EF，
∴∠PEF=90°，
∵∠BEP=50°，
∴∠BEF=∠BEP+∠PEF=140°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠EFD=40°，
∵FP平分∠EFD，
∴=20°，
∵∠PEF+∠EFP+∠EPF=180°，
∴∠EPF=70°．
故选：A．
点评： 此题考查了平行线的性质，解题的关键是：熟记两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补．

7．（3分）（2015•鄂州）如图，直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在
第一象限交于点A，连接OA．若S△AOB：S△BOC=1：2，则k的值为（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 6
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： 先由直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，求出C（0，﹣2），B（2，0），那么S△BOC=OB•OC=×2×2=2，根据S△AOB：S△BOC=1：2，得出S△AOB=S△BOC=1，求出yA=1，再把y=1代入y=x﹣2，解得x的值，得到A点坐标，然后将A点坐标代入y=，即可求出k的值．
解答： 解：∵直线y=x﹣2与y轴交于点C，与x轴交于点B，
∴C（0，﹣2），B（2，0），
∴S△BOC=OB•OC=×2×2=2，
∵S△AOB：S△BOC=1：2，
∴S△AOB=S△BOC=1，
∴×2×yA=1，
∴yA=1，
把y=1代入y=x﹣2，
得1=x﹣2，解得x=3，
∴A（3，1）．
∵反比例函数y=的图象过点A，
∴k=3×1=3．
故选B．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，待定系数法求反比例函数解析式，求出A点坐标是解题的关键．

8．（3分）（2015•鄂州）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF=（ ）
A． B． C． D．
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 过E作EH⊥CF于H，由折叠的性质得BE=EF，∠BEA=∠FEA，由点E是BC的中点，得到CE=BE，得到△EFC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到∠FEH=∠CEH，推出△ABE∽△EHC，求得EH=，结果可求sin∠ECF==．
解答： 解：过E作EH⊥CF于H，
由折叠的性质得：BE=EF，∠BEA=∠FEA，
∵点E是BC的中点，
∴CE=BE，
∴EF=CE，
∴∠FEH=∠CEH，
∴∠AEB+∠CEH=90°，
在矩形ABCD中，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠BAE=∠CEH，∠B=∠EHC，
∴△ABE∽△EHC，
∴，
∵AE==10，
∴EH=，
∴sin∠ECF==，
故选D．
点评： 本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．

9．（3分）（2015•鄂州）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；
②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；
③乙车出发后2.5小时追上甲车；
④当甲、乙两车相距50千米时，t=或．
其中正确的结论有（ ）
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 一次函数的应用．
分析： 观察图象可判断①②，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，可判断③，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可判断④，可得出答案．
解答： 解：
由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，
∴①②都正确；
设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲=kt，
把（5，300）代入可求得k=60，
∴y甲=60t，
设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙=mt+n，
把（1，0）和（4，300）代入可得，解得，
∴y乙=100t﹣100，
令y甲=y乙可得：60t=100t﹣100，解得t=2.5，
即甲、乙两直线的交点横坐标为t=2.5，
此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，
∴③不正确；
令|y甲﹣y乙|=50，可得|60t﹣100t+100|=50，即|100﹣40t|=50，
当100﹣40t=50时，可解得t=，
当100﹣40t=﹣50时，可解得t=，
∴④正确；
综上可知正确的有①②④共三个，
故选C．
点评： 本题主要考查一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义是解题的关键，特别注意t是甲车所用的时间．

10．（3分）（2015•鄂州）在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（ ）
A． （）2014 B． （）2015 C． （）2015 D． （）2014
考点： 正方形的性质．
专题： 规律型．
分析： 利用正方形的性质结合锐角三角函数关系得出正方形的边长，进而得出变化规律即可得出答案．
解答： 解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…
∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，则B2C2===（）1，
同理可得：B3C3==（）2，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014．
故选：D．
点评： 此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数关系，得出正方形的边长变化规律是解题关键．

二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（2015•鄂州）若使二次根式有意义，则x的取值范围是 x≥2 ．
考点： 二次根式有意义的条件．
专题： 计算题．
分析： 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：∵二次根式有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评： 本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．

12．（3分）（2015•鄂州）分解因式：a3b﹣4ab= ab（a+2）（a﹣2） ．
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
专题： 计算题．
分析： 原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
解答： 解：原式=ab（a2﹣4）=ab（a+2）（a﹣2），
故答案为：ab（a+2）（a﹣2）
点评： 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．（3分）（2015•鄂州）下列命题中正确的个数有 2 个．
①如果单项式3a4byc与2axb3cz是同类项，那么x=4，y=3，z=1；
②在反比例函数y=中，y随x的增大而减小；
③要了解一批炮弹的杀伤半径，适合用普查方式；
④从﹣3，﹣2，2，3四个数中任意取两个数分别作为k，b的值，则直线y=kx+b经过第一、二、三象限的概率是．
考点： 命题与定理．
分析： ①根据同类项的定义列方程求解即可；②依据反比例函数的性质解答即可；③具有破坏性的调查不适合普查；④首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的情况，再利用概率公式即可求得答案
解答： 解：①由同类项的定义可知：x=4，y=3，z=1，故①正确；
②k=3＞0函数图象在“每个分支上”y随x的增大而减小，故②错误；
③具有破坏性的调查不适合普查，故③错误；
④画树状图得：
共12中情况，当k＞0，b＞0时，一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，故符合条件的有2个．
∴一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的概率是：．
故填：2．
点评： 本题考查了同类项的定义、反比例函数的性质、概率的计算以及调查方式的选择，需要同学熟练掌握相关知识．

14．（3分）（2015•鄂州）圆锥体的底面周长为6π，侧面积为12π，则该圆锥体的高为 ．
考点： 圆锥的计算．
分析： 让周长除以2π即为圆锥的底面半径；根据圆锥的侧面积=×侧面展开图的弧长×母线长可得圆锥的母线长，利用勾股定理可得圆锥的高．
解答： 解：∵圆锥的底面周长为6π，
∴圆锥的底面半径为6π÷2π=3，
∵圆锥的侧面积=×侧面展开图的弧长×母线长，
∴母线长=2×12π÷（6π）=4，
∴这个圆锥的高是=，
故答案为：．
点评： 考查圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长；圆锥的侧面积=×侧面展开图的弧长×母线长．

15．（3分）（2015•鄂州）已知点P是半径为1的⊙O外一点，PA切⊙O于点A，且PA=1，AB是⊙O的弦，AB=，连接PB，则PB= 1或 ．
考点： 切线的性质．
专题： 分类讨论．
分析： 本题应分两种情况进行讨论：
（1）如图1，可以根据已知条件证明△POA≌△POB，然后即可求出PB；
（2）如图2，此时可以根据已知条件证明PABO是平行四边形，然后利用平行四边形的性质和勾股定理即可求出PB．
解答： 解：连接OA，
（1）如图1，连接OA，
∵PA=AO=1，OA=OB，PA是⊙的切线，
∴∠AOP=45°∵OA=OB，
∴∠BOP=∠AOP=45°，
在△POA与△POB中，，
∴△POA≌△POB，
∴PB=PA=1；
（2）如图2，连接OA，与PB交于C，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，
而PA=AO=，1
∴OP=；
∵AB=，
而OA=OB=1，
∴AO⊥BO，
∴四边形PABO是平行四边形，
∴PB，AO互相平分；
设AO交PB与点C，
即OC=，
∴BC=，
∴PB=．
故答案为：1或．
点评： 本题考查了切线的性质、勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定等知识，综合性比较强，注意分类讨论，不要漏解．

16．（3分）（2015•鄂州）如图，∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长取最小值时，四边形PMON的面积为 36﹣54 ．
考点： 轴对称-最短路线问题．
分析： 设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点M、N在CD上时，△PMN的周长最小，此时△COD是等边三角形，求得三角形PMN和△COD的面积，根据四边形PMON的面积为：（ S△COD+S△PMN）求得即可．
解答： 解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，
∴OC=OD=OP=6，∠COD=∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB=2∠POA+2∠POB=2∠AOB=60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD=OC=OD=6．
∵∠POC=∠POD，
∴OP⊥CD，
∴OQ=6×=3，
∴PQ=6﹣3，
设MQ=x，则PM=CM=3﹣x，
∴（3﹣x）2﹣x2=（6﹣3）2，解得x=6﹣9，
∴S△PMN=MN×PQ=MQ•PQ=（6﹣9）•（6﹣3）=63﹣108，
∵S△COD=×3×6=9，
∴四边形PMON的面积为：（ S△COD+S△PMN）=×（72﹣108）=36﹣54．
故答案为36﹣54．
点评： 此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．

三、解答题（17-20每题8分，21-22每题9分，23题10分，24题12分，共72分）
17．（8分）（2015•鄂州）先化简，再求值：（+）÷，其中a=﹣1．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=[+]•=•=，
当a=﹣1时，原式==．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．（8分）（2015•鄂州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．
（1）求证：BE=CE．
（2）求∠BEC的度数．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
分析： （1）根据正方形的性质，可得AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，根据正三角形的性质，可得AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°，根据全等三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据等腰三角形的性质，∠ABE=∠AEB，根据三角形的内角和定理，可得∠AEB，根据角的和差，可得答案．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°
∵三角形ADE为正三角形
∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°
∴∠BAE=∠CDE=150°
在△BAE和△CDE中，
∴△BAE≌△CDE
∴BE=CE；
（2）∵AB=AD，AD=AE，
∴AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
又∵∠BAE=150°，
∴∠ABE=∠AEB=15°，
同理：∠CED=15°
∴∠BEC=60°﹣15°×2=30°．
点评： 本题考查了正方形的性质，（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．

19．（8分）（2015•鄂州）八年级（1）班学生在完成课题学习“体质健康测试中的数据分析”后，利用课外活动时间积极参加体育锻炼，每位同学从篮球、跳绳、立定跳远、长跑、铅球中选一项进行训练，训练后都进行了测试．现将项目选择情况及训练后篮球定时定点投篮测试成绩整理后作出如下统计图．
请你根据上面提供的信息回答下列问题：
（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为 36 度，该班共有学生 40 人，训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是 5 ．
（2）老师决定从选择铅球训练的3名男生和1名女生中任选两名学生先进行测试，请用列表或画树形图的方法求恰好选中两名男生的概率．
考点： 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图．
分析： （1）跳绳部分的圆心角的度数用周角乘以跳绳部分所占的百分比即可；总人数用用篮球的总人数除以其所占的百分比即可求得总人数；
（2）列树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可．
解答： 解：（1）扇形图中跳绳部分的扇形圆心角为360°×（1﹣50%﹣20%﹣10%﹣10%）=36度；
该班共有学生（2+5+7+4+1+1）÷50%=40人；
训练后篮球定时定点投篮平均每个人的进球数是=5，
故答案为：36，40，5．
（2）三名男生分别用A1，A2，A3表示，一名女生用B表示．根据题意，可画树形图如下：
由上图可知，共有12种等可能的结果，选中两名学生恰好是两名男生（记为事件M）的结果有6种，
∴P（M）==．
点评： 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率=所求情况数与总情况数之比

20．（8分）（2015•鄂州）关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围．
（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1•x2，求k的值．
考点： 根的判别式；根与系数的关系．
分析： （1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，求出k的取值范围；
（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1=k2+1，结合k的取值范围解方程即可．
解答： 解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，
解得：k＞；
（2）∵k＞，
∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0，
又∵x1•x2=k2+1＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1，
∵|x1|+|x2|=x1•x2，
∴2k+1=k2+1，
∴k1=0，k2=2，
又∵k＞，
∴k=2．
点评： 本题主要考查了根的判别式以及根与系数关系的知识，解答本题的关键是利用根的判别式△=b2﹣4ac＞0求出k的取值范围，此题难度不大．

21．（9分）（2015•鄂州）如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．
（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）
（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
分析： （1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N．设CN=x，分别表示出EM、AM的长度，然后在Rt△AEM中，根据tan∠EAM=，代入求解即可；
（2）根据（1）求得的结果，可得EF=DF+CD，代入求解．
解答： 解：（1）过点A作AM⊥EF于点M，过点C作CN⊥EF于点N，
设CN=x，
在Rt△ECN中，
∵∠ECN=45°，
∴EN=CN=x，
∴EM=x+0.7﹣1.7=x﹣1，
∵BD=5，
∴AM=BF=5+x，
在Rt△AEM中，
∵∠EAM=30°
∴=，
∴x﹣1=（x+5），
解得：x=4+3，
即DF=（4+3）（米）；
（2）由（1）得：
EF=x+0.7=4++0.7
=4+3×1.7+0.7
=9.8≈10（米）．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．

22．（9分）（2015•鄂州）如图，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分线，∠ABC的平分线 BM交AE于点M，点O在AB上，以点O为圆心，OB的长为半径的圆经过点M，交BC于点G，交 AB于点F．
（1）求证：AE为⊙O的切线．
（2）当BC=8，AC=12时，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，求线段BG的长．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）连接OM．利用角平分线的性质和平行线的性质得到AE⊥OM后即可证得AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，根据OM∥BE，得到△OMA∽△BEA，利用平行线的性质得到=，即可解得R=3，从而求得⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，根据∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，得到四边形OMEH是矩形，从而得到HE=OM=3和BH=1，证得结论BG=2BH=2．
解答： （1）证明：连接OM．
∵AC=AB，AE平分∠BAC，
∴AE⊥BC，CE=BE=BC=4，
∵OB=OM，
∴∠OBM=∠OMB，
∵BM平分∠ABC，
∴∠OBM=∠CBM，
∴∠OMB=∠CBM，
∴OM∥BC
又∵AE⊥BC，
∴AE⊥OM，
∴AE是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为R，
∵OM∥BE，
∴△OMA∽△BEA，
∴=即=，
解得R=3，
∴⊙O的半径为3；
（3）过点O作OH⊥BG于点H，则BG=2BH，
∵∠OME=∠MEH=∠EHO=90°，
∴四边形OMEH是矩形，
∴HE=OM=3，
∴BH=1，
∴BG=2BH=2．
点评： 本题考查了圆的综合知识，题目中还运用到了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大．

23．（10分）（2015•鄂州）鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x=60时，y=80；x=50时，y=100．在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
考点： 二次函数的应用．
专题： 应用题．
分析： （1）根据y与x成一次函数解析式，设为y=kx+b，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
（2）根据利润=单价×销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
（3）利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
解答： 解：（1）设y=kx+b，根据题意得，
解得：x=﹣，
∴y=﹣2x+200（30≤x≤60）；
（2）W=（x﹣30）（﹣2x+200）﹣450=﹣2x2+260x﹣6450=﹣2（x﹣65）2+2000；
（3）W=﹣2（x﹣65）2+2000，
∵30≤x≤60，
∴x=60时，w有最大值为1950元，
∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．
点评： 此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．

24．（12分）（2015•鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
解答： 解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
∴C（0，2），A（﹣4，0），
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，
∴点B的坐标为1，0）．
②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），
∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），
又∵抛物线过点C（0，2），
∴2=﹣4a
∴a=
∴y=x2x+2．
（2）设P（m，m2m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2），
∴PQ=m2m+2﹣（m+2）
=m2﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，
此时P（﹣2，3）．
（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，
∴∠CAO=∠BCO，
∵∠BCO+∠OBC=90°，
∴∠CAO+∠OBC=90°，
∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO，
如下图：
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；
②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；
③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0）
∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4
当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）
整理得：n2+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=2
∴M（2，﹣3）；
当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），
整理得：n2﹣n﹣20=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=5，
∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
点评： 本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．