湖北省襄阳市中考数学试卷（含解析版）

这是一份湖北省襄阳市中考数学试卷（含解析版），共44页。试卷主要包含了简单题，共9小题，共69分等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）（2015•襄阳）﹣2的绝对值是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
2．（3分）（2015•湖北）中国人口众多，地大物博，仅领水面积就约为370 000km2，将“370 000”这个数用科学记数法表示为（ ）
A． 3.7×106 B． 3.7×105 C． 37×104 D． 3.7×104
3．（3分）（2015•襄阳）在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）（2015•襄阳）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A． 凌晨4时气温最低为﹣3℃
B． 14时气温最高为8℃
C． 从0时至14时，气温随时间增长而上升
D． 从14时至24时，气温随时间增长而下降
5．（3分）（2015•襄阳）下列运算中正确的是（ ）
A． a3﹣a2=a B． a3•a4=a12 C． a6÷a2=a3 D． （﹣a2）3=﹣a6
6．（3分）（2015•襄阳）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
7．（3分）（2015•湖北）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（ ）
A． B． 1 C． D． 2
8．（3分）（2015•襄阳）下列说法中正确的是（ ）
A． “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B． “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C． “概率为0.0001的事件”是不可能事件
D． 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
9．（3分）（2015•襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）
A． 40° B． 100° C． 40°或140° D． 40°或100°
10．（3分）（2015•襄阳）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 9
11．（3分）（2015•襄阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
12．（3分）（2015•湖北）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A． AF=AE B． △ABE≌△AGF C． EF=2 D． AF=EF

二、填空题，共5小题，每小题3分，共15分
13．（3分）（2015•襄阳）计算：2﹣1﹣= ．
14．（3分）（2015•襄阳）分式方程﹣=0的解是 ．
15．（3分）（2015•襄阳）若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为 ．
16．（3分）（2015•襄阳）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA=，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为 ．
17．（3分）（2015•襄阳）在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为 ．

三、简单题，共9小题，共69分
18．（6分）（2015•襄阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x=，y=﹣．

19．（6分）（2015•襄阳）如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．

20．（6分）（2015•湖北）为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作，某学校举行了“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的a= ，b= ；请补全频数分布直方图；
（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数是 ；
（3）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学，2名女同学．学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访，则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为 ．

21．（6分）（2015•襄阳）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？

22．（6分）（2015•襄阳）如图，AD是△ABC的中线，tanB=，csC=，AC=．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
23．（7分）（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．

24．（10分）（2015•湖北）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？

25．（10分）（2015•湖北）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD=3，求△ABC的面积．

26．（12分）（2015•湖北）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．


分数段（分手为x分）
频数
百分比
60≤x＜70
8
20%
70≤x＜80
a
30%
80≤x≤90
16
b%
90≤x＜100
4
10%
湖北省襄阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题，共12小题，每小题3分，共36分
1．（3分）（2015•襄阳）﹣2的绝对值是（ ）
A． 2 B． ﹣2 C． D．
考点： 绝对值．
分析： 根据负数的绝对值等于它的相反数解答．
解答： 解：﹣2的绝对值是2，
即|﹣2|=2．
故选：A．
点评： 本题考查了绝对值的性质：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．

2．（3分）（2015•湖北）中国人口众多，地大物博，仅领水面积就约为370 000km2，将“370 000”这个数用科学记数法表示为（ ）
A． 3.7×106 B． 3.7×105 C． 37×104 D． 3.7×104
考点： 科学记数法—表示较大的数．
分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
解答： 解：370 000=3.7×105，
故选：B．
点评： 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）（2015•襄阳）在数轴上表示不等式2（1﹣x）＜4的解集，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式．
分析： 根据解不等式的方法，可得不等式的解集，根据不等式的解集在数轴上表示的方法，可得答案．
解答： 解：由2（1﹣x）＜4，得2﹣2x＜4．
解得x＞﹣1，
故选：A．
点评： 本题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

4．（3分）（2015•湖北）如图，是一台自动测温记录仪的图象，它反映了我市冬季某天气温T随时间t变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是（ ）
A． 凌晨4时气温最低为﹣3℃
B． 14时气温最高为8℃
C． 从0时至14时，气温随时间增长而上升
D． 从14时至24时，气温随时间增长而下降
考点： 函数的图象．
分析： 根据函数的图象对各选项进行逐一分析即可．
解答： 解：A、∵由图象可知，在凌晨4点函数图象在最低点﹣3，∴凌晨4时气温最低为﹣3℃，故本选项正确；
B、∵由图象可知，在14点函数图象在最高点8，∴14时气温最高为8℃，故本选项正确；
C、∵由图象可知，从4时至14时，气温随时间增长而上上升，不是从0点，故本选项错误；
D、∵由图象可知，14时至24时，气温随时间增长而下降，故本选项正确．
故选C．
点评： 本题考查的是函数的图象，能根据函数图象在坐标系中的增减性判断出函数的增减性是解答此题的关键．

5．（3分）（2015•襄阳）下列运算中正确的是（ ）
A． a3﹣a2=a B． a3•a4=a12 C． a6÷a2=a3 D． （﹣a2）3=﹣a6
考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析： 根据合并同类项，可判断A；根据同底数幂的乘法，可判断B；根据同底数幂的除法，可判断C；根据积的乘方，可判断D．
解答： 解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；
B、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故B错误；
C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C错误；
D、积的乘方等于乘方的积，故D正确；
故选：D．
点评： 本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

6．（3分）（2015•湖北）如图，将一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在矩形直尺的一组对边上．如果∠2=60°，那么∠1的度数为（ ）
A． 60° B． 50° C． 40° D． 30°
考点： 平行线的性质．
分析： 根据三角形外角性质可得∠3=30°+∠1，由于平行线的性质即可得到∠2=∠3=60°，即可解答．
解答： 解：如图，
∵∠3=∠1+30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=60°，
∴∠1=∠3﹣30°=60°﹣30°=30°．
故选D
点评： 本题考查了平行线的性质，关键是根据：两直线平行，内错角相等．也利用了三角形外角性质．

7．（3分）（2015•湖北）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB．若BE=2，则AE的长为（ ）
A． B． 1 C． D． 2
考点： 含30度角的直角三角形；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
分析： 先根据线段垂直平分线的性质得出BE=CE=2，故可得出∠B=∠DCE=30°，再由角平分线定义得出∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，利用三角形内角和定理求出∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°，然后在Rt△CAE中根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AE=CE=1．
解答： 解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，BE=2，
∴BE=CE=2，
∴∠B=∠DCE=30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠DCE=60°，∠ACE=∠DCE=30°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠ACB=90°．
在Rt△CAE中，∵∠A=90°，∠ACE=30°，CE=2，
∴AE=CE=1．
故选B．
点评： 本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线定义，三角形内角和定理，求出∠A=90°是解答此题的关键．

8．（3分）（2015•襄阳）下列说法中正确的是（ ）
A． “任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件
B． “任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件
C． “概率为0.0001的事件”是不可能事件
D． 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的一定是5次
考点： 随机事件．
分析： 根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断．
解答： 解：A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误；
B、“任意画出一个平行四边形，它是中心对称图形”是必然事件，选项正确；
C、“概率为0.0001的事件”是随机事件，选项错误；
D、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，正面向上的可能是5次，选项错误．
故选B．
点评： 本题考查了随机事件、必然事件以及不可能事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

9．（3分）（2015•襄阳）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（ ）
A． 40° B． 100° C． 40°或140° D． 40°或100°
考点： 三角形的外接圆与外心；圆周角定理．
专题： 分类讨论．
分析： 利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出∠BAC的度数．
解答： 解：如图所示：∵O是△ABC的外心，∠BOC=80°，
∴∠A=40°，∠A′=140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°．
故选：C．
点评： 此题主要考查了圆周角定理以及圆内接四边形的性质，利用分类讨论得出是解题关键．

10．（3分）（2015•襄阳）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是（ ）
A． 4 B． 5 C． 6 D． 9
考点： 由三视图判断几何体．
分析： 根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
解答： 解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1=4个，
故选A．
点评： 本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

11．（3分）（2015•襄阳）二次函数y=ax2+bx+c的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
考点： 二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．
分析： 根据二次函数图象开口向下得到a＜0，再根据对称轴确定出b，根据与y轴的交点确定出c＞0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
解答： 解：∵二次函数图象开口方向向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x=﹣＞0，
∴b＞0，
∵与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，
∴y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，
反比例函数y=图象在第一三象限，
只有C选项图象符合．
故选C．
点评： 本题考查了二次函数的图形，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．

12．（3分）（2015•湖北）如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，将纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则下列结论错误的是（ ）
A． AF=AE B． △ABE≌△AGF C． EF=2 D． AF=EF
考点： 翻折变换（折叠问题）．
分析： 设BE=x，表示出CE=8﹣x，根据翻折的性质可得AE=CE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求出x，再根据翻折的性质可得∠AEF=∠CEF，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE=∠CEF，然后求出∠AEF=∠AFE，根据等角对等边可得AE=AF，过点E作EH⊥AD于H，可得四边形ABEH是矩形，根据矩形的性质求出EH、AH，然后求出FH，再利用勾股定理列式计算即可得解．
解答： 解：设BE=x，则CE=BC﹣BE=8﹣x，
∵沿EF翻折后点C与点A重合，
∴AE=CE=8﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，
即42+x2=（8﹣x）2
解得x=3，
∴AE=8﹣3=5，
由翻折的性质得，∠AEF=∠CEF，
∵矩形ABCD的对边AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF=5，
∴A正确；
在Rt△ABE和Rt△AGF中，
，
∴△ABE≌△AGF（HL），
∴B正确；
过点E作EH⊥AD于H，则四边形ABEH是矩形，
∴EH=AB=4，
AH=BE=3，
∴FH=AF﹣AH=5﹣3=2，
在Rt△EFH中，EF=2，
∴C正确；
∵△AEF不是等边三角形，
∴EF≠AE，
故D错误；
故选：D．
点评： 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程求出BE的长度是解题的关键，也是本题的突破口．

二、填空题，共5小题，每小题3分，共15分
13．（3分）（2015•襄阳）计算：2﹣1﹣= 0 ．
考点： 实数的运算；负整数指数幂．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用立方根定义计算即可得到结果．
解答： 解：原式=﹣
=0，
故答案为：0．
点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

14．（3分）（2015•襄阳）分式方程﹣=0的解是 15 ．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：x﹣5﹣10=0，
解得：x=15，
经检验x=15是分式方程的解．
故答案为：15．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

15．（3分）（2015•襄阳）若一组数据1，2，x，4的众数是1，则这组数据的方差为 1.5 ．
考点： 方差；众数．
分析： 根据众数的定义先求出x的值，再根据方差的计算公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]进行计算即可．
解答： 解：∵数据1，2，x，4的众数是1，
∴x=1，
∴平均数是（1+2+1+4）÷4=2，
则这组数据的方差为[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（1﹣2）2+（4﹣2）2]=1.5；
故答案为：1.5．
点评： 本题考查了众数和方差：众数是一组数据中出现次数最多的数；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．

16．（3分）（2015•襄阳）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA=，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为 ﹣π ．
考点： 扇形面积的计算；切线的性质．
分析： 连结PO交圆于C，根据切线的性质可得∠OAP=90°，根据含30°的直角三角形的性质可得OA=1，再求出△PAO与扇形AOC的面积，由S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形AOC）则可求得结果．
解答： 解：连结AO，连结PO交圆于C．
∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA=，∠P=60°，
∴∠OAP=90°，OA=1，
∴S阴影=2×（S△PAO﹣S扇形AOC）
=2×（×1×﹣）
=﹣π．
故答案为：﹣π．
点评： 此题考查了切线长定理，直角三角形的性质，扇形面积公式等知识．此题难度中等，注意数形结合思想的应用．

17．（3分）（2015•襄阳）在▱ABCD中，AD=BD，BE是AD边上的高，∠EBD=20°，则∠A的度数为 55°或35° ．
考点： 平行四边形的性质．
分析： 首先求出∠ADB的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出∠A的度数．
解答： 解：情形一：当E点在线段AD上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，
∴∠ADB=90°﹣20°=70°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD==55°．
情形二：当E点在AD的延长线上时，如图所示，
∵BE是AD边上的高，∠EBD=20°，
∴∠BDE=70°，
∵AD=BD，
∴∠A=∠ABD=∠BDE=70°=35°．
故答案为：55°或35°．
点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出∠ADB的度数是解题关键．

三、简单题，共9小题，共69分
18．（6分）（2015•襄阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x=，y=﹣．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=•xy（x﹣y）=•xy（x﹣y）=3xy，
当x=+，y=﹣时，原式=3．
点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（6分）（2015•襄阳）如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A（1，4）和点B（n，﹣2）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a，b的值，从而确定一次函数的解析式；
（2）根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
解答： 解：（1）∵反比例函数y=的图象过点A（1，4），
∴4=，即m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=．
∵反比例函数y=的图象过点B（n，﹣2），
∴﹣2=，
解得：n=﹣2
∴B（﹣2，﹣2）．
∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得 ．
∴一次函数的解析式为：y=2x+2；
（2）由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．
点评： 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图象比较函数值的大小．解题的关键是：确定交点的坐标．

20．（6分）（2015•襄阳）为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作，某学校举行了“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛，赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如图不完整的频数分布表和频数分布直方图
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的a= 12 ，b= 40 ；请补全频数分布直方图；
（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数是 108° ；
（3）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学，2名女同学．学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访，则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为 ．
考点： 列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．
分析： （1）首先根据第一小组的频数和频率求得总人数，然后减去其它小组的频数即可求得a值，根据总人数和第三小组的频数即可求得b值；
（2）用周角乘以相应分数段所占的百分比即可求得圆心角的度数；
（3）列表将所有等可能的结果列举出来利用概率公式求解即可．
解答： 解：（1）∵60≤x＜70小组的频数为8，占20%，
∴8÷20%=40人，
∴a=40﹣8﹣16﹣4=12，b%=×100%=40%，
故答案为：12，40；
（2）∵70≤x＜80小组所占的百分比为30%，
∴70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数360°×30%=108°，
故答案为：108°；
（3）用A、B表示男生，用a、b表示女生，列表得：
A B a b
A AB Aa Ab
B BA Ba Bb
a aA aB ab
b bA bB ba
∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种，
∴P（一男一女）==．
点评： 本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图和概率公式．

21．（6分）（2015•湖北）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m2？
考点： 一元二次方程的应用．
专题： 几何图形问题．
分析： 设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了．
解答： 解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm可以得出平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m，由题意得
x（25﹣2x+1）=80，
化简，得x2﹣13x+40=0，
解得：x1=5，x2，8，
当x=5时，26﹣2x=16＞12（舍去），当x=8时，26﹣2x=10＜12，
答：所围矩形猪舍的长为10m、宽为8m．
点评： 本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键．

22．（6分）（2015•襄阳）如图，AD是△ABC的中线，tanB=，csC=，AC=．求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
考点： 解直角三角形．
分析： （1）过点A作AE⊥BC于点E，根据csC=，求出∠C=45°，求出AE=CE=1，根据tanB=，求出BE的长即可；
（2）根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，得到答案．
解答： 解：过点A作AE⊥BC于点E，
∵csC=，
∴∠C=45°，
在Rt△ACE中，CE=AC•csC=1，
∴AE=CE=1，
在Rt△ABE中，tanB=，即=，
∴BE=3AE=3，
∴BC=BE+CE=4；
（2）∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BC=2，
∴DE=CD﹣CE=1，
∵AE⊥BC，DE=AE，
∴∠ADC=45°，
∴sin∠ADC=．
点评： 本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用．

23．（7分）（2015•湖北）如图，△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE=CF；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长．
考点： 旋转的性质；勾股定理；菱形的性质．
专题： 计算题．
分析： （1）先由旋转的性质得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，利用AB=AC可得AE=AF，于是根据旋转的定义，△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，然后根据旋转的性质得到BE=CD；
（2）由菱形的性质得到DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，根据等腰三角形的性质得∠AEB=∠ABE，根据平行线得性质得∠ABE=∠BAC=45°，所以∠AEB=∠ABE=45°，于是可判断△ABE为等腰直角三角形，所以BE=AC=，于是利用BD=BE﹣DE求解．
解答： （1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，
∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，
∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，
∵AB=AC，
∴AE=AF，
∴△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，
∴BE=CF；
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，
∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，
∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°，
∴∠AEB=∠ABE=45°，
∴△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=AC=，
∴BD=BE﹣DE=﹣1．
点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了菱形的性质．

24．（10分）（2015•湖北）为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来领前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现；当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．
（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？
（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？
考点： 二次函数的应用．
分析： （1）根据“当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒”即可得出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润=1盒粽子所获得的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）先由（2）中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据（1）中所求得的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式即可求解．
解答： 解：（1）由题意得，y=700﹣20（x﹣45）=﹣20x+1600；
（2）P=（x﹣40）（﹣20x+1600）=﹣20x2+2400x﹣64000=﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a=﹣20＜0，
∴当x=60时，P最大值=8000元，
即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P（元）最大，最大利润是8000元；
（3）由题意，得﹣20（x﹣60）2+8000=6000，
解得x1=50，x2=70．
∵抛物线P=﹣20（x﹣60）2+8000的开口向下，
∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y=﹣20x+1600中，k=﹣20＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=58时，y最小值=﹣20×58+1600=440，
即超市每天至少销售粽子440盒．
点评： 本题考查的是二次函数与一次函数在实际生活中的应用，主要利用了利润=1盒粽子所获得的利润×销售量，求函数的最值时，注意自变量的取值范围．

25．（10分）（2015•湖北）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PB：PC=1：2．
（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；
（3）若AD=3，求△ABC的面积．
考点： 圆的综合题．
分析： （1）首先连接OC，由PE是⊙O的切线，AE和过点C的切线互相垂直，可证得OC∥AE，又由OA=OC，易证得∠DAC=∠OAC，即可得AC平分∠BAD；
（2）由AB是⊙O的直径，PE是切线，可证得∠PCB=∠PAC，即可证得△PCB∽△PAC，然后由相似三角形的对应边成比例与PB：PC=1：2，即可求得答案；
（3）首先过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，即可得AE=+OC，由OC∥AE，可得△PCO∽△PEA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得OC的长，再由△PBC∽△PCA，证得AC=2BC，然后在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得（2BC）2+BC2=52，即可求得BC的长，继而求得答案．
解答： （1）证明：连接OC，
∵PE是⊙O的切线，
∴OC⊥PE，
∵AE⊥PE，
∴OC∥AE，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAC=∠OAC，
∴AC平分∠BAD；
（2）线段PB，AB之间的数量关系为：AB=3PB．
理由：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠ABC，
∵∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCB=∠PAC，
∵∠P是公共角，
∴△PCB∽△PAC，
∴，
∴PC2=PB•PA，
∵PB：PC=1：2，
∴PC=2PB，
∴PA=4PB，
∴AB=3PB；
（3）解：过点O作OH⊥AD于点H，则AH=AD=，四边形OCEH是矩形，
∴OC=HE，
∴AE=+OC，
∵OC∥AE，
∴△PCO∽△PEA，
∴，
∵AB=3PB，AB=2OB，
∴OB=PB，
∴=，
∴OC=，
∴AB=5，
∵△PBC∽△PCA，
∴，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
∴（2BC）2+BC2=52，
∴BC=，
∴AC=2，
∴S△ABC=AC•BC=5．
点评： 此题属于圆的综合题，考查了圆周角定理、切线的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

26．（12分）（2015•湖北）边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接CD，点E在第一象限，且DE⊥DC，DE=DC．以直线AB为对称轴的抛物线过C，E两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从点C出发，沿射线CB每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒．过点P作PF⊥CD于点F，当t为何值时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似？
（3）点M为直线AB上一动点，点N为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据正方形的性质，可得OA=OC，∠AOC=∠DGE，根据余角的性质，可得∠OCD=∠GDE，根据全等三角形的判定与性质，可得EG=OD=1，DG=OC=2，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）分类讨论：若△DFP∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠PDF=∠DCO，根据平行线的判定与性质，可得∠PDO=∠OCP=∠AOC=90，根据矩形的判定与性质，可得PC的长；若△PFD∽△COD，根据相似三角形的性质，可得∠DPF=∠DCO，=，根据等腰三角形的判定与性质，可得DF于CD的关系，根据相似三角形的相似比，可得PC的长；
（3）分类讨论：▱MDNE，▱MNDE，▱NDME，根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边，可得答案．．
解答： 解：（1）过点E作EG⊥x轴于G点．
∵四边形OABC是边长为2的正方形，D是OA的中点，
∴OA=OC=2，OD=1，∠AOC=∠DGE=90°．
∵∠CDE=90°，
∴∠ODC+∠GDE=90°．
∵∠ODC+∠OCD=90°，
∴∠OCD=∠GDE．
在△OCD和△GED中，
∴△ODC≌△GED （AAS），
∴EG=OD=1，DG=OC=2．
∴点E的坐标为（3，1）．
∵抛物线的对称轴为直线AB即直线x=2，
∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2+k，
将C、E点的坐标代入解析式，得
．
解得，
抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+；
（2）①若△DFP∽△COD，则∠PDF=∠DCO，
∴PD∥OC，
∴∠PDO=∠OCP=∠AOC=90°，
∴四边形PDOC是矩形，
∴PC=OD=1，
∴t=1；
②若△PFD∽△COD，则∠DPF=∠DCO，=．
∴∠PCF=90°﹣∠DCO=90﹣∠DPF=∠PDF．
∴PC=PD，
∴DF=CD．
∵CD2=OD2+OC2=22+12=5，
∴CD=，
∴DF=．
∵=，
∴PC=PD=×=，
t=，
综上所述：t=1或t=时，以点P，F，D为顶点的三角形与△COD相似；
（3）存在，
四边形MDEN是平行四边形时，M1（2，1），N1（4，2）；
四边形MNDE是平行四边形时，M2（2，3），N2（0，2）；
四边形NDME是平行四边形时，M3（2，），N3（2，）．
点评： 本题考察了二次函数综合题，（1）利用了正方形的性质，余角的性质，全等三角形的判定与性质，待定系数法求函数解析式；（2）利用了相似三角形的性质，矩形的判定，分类讨论时解题关键；（3）利用了平行四边形的判定，分类讨论时解题关键．

分数段（分手为x分）
频数
百分比
60≤x＜70
8
20%
70≤x＜80
a
30%
80≤x≤90
16
b%
90≤x＜100
4
10%