2024-2025学年河北省石家庄市八年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年河北省石家庄市八年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 的平方根是（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】解：，4的平方根为，
故选：C．
2. 化简的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：，
故选：B．
3. 用尺规作图，下列条件中可能作出两个不同的三角形的是（ ）
A. 已知三边B. 已知两角及夹边
C. 已知两边及夹角D. 已知两边及其中一边的对角
【答案】D
【解析】解：分别符合全等三角形的判定，故能作出唯一三角形；
、可能作出两个不同的三角形，如等腰三角形底边上的任一点与顶点之间的线段两侧的三角形；
故选：．
4. 把分式分母乘4，要使分式的值不变，分子应该加上（ ）
A. 4B. 7C. 21D. 28
【答案】C
【解析】解：，
，
故选：C．
5. 如图，将沿方向平移，得到．若，，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：根据平移的性质可得：，
则
又，，
；
故选：C
6. 一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是4.00．则这个三位小数最小是（ ）
A. 4.004B. 3.995C. 3.994D. 3.95
【答案】B
【解析】解：一个三位小数、四舍五入保留两位小数后是．则这个三位小数最小是
故选：B
7. 如图，半径为1个单位长度的圆上有一点与数轴上表示的点重合，若将该圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点恰好与数轴上的点重合，则点对应的实数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆的周长，
∴点B对应的实数是．
故选：C．
8. 淇淇准备完成题目： “解方程： ”发现分母的位置印刷不清，查阅答案后发现标准答案是， 请你帮助淇淇推断印刷不清的位置可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：设分母的位置印刷不清的地方为，依题意，
解得：
当时，，故A选项正确，符合题意；
，B选项错误，
，C选项错误；
，D选项错误
故选：A．
9. 下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答符号代表的内容．
如图，已知，，，，求的度数．
解：在和中，，
所以，
所以，◎．（全等三角形的★相等）
因为，，
所以，
所以(※)．
则回答正确的是（ ）
A. ★代表对应边B. ※代表
C. @代表D. ◎代表∠DCA
【答案】B
【解析】解：在和中，，
所以，
所以，．（全等三角形的对应角相等）
因为，，
所以，
所以．
故可得：代表；◎代表；★代表对应角；※代表，
故选：B．
10. 不等式的正整数解的个数有（ ）
A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个
【答案】A
【解析】解：由可得：，
∵，
∴
∴正整数解为：，有3个．
故选A．
11. 秦始皇统一度量衡意义重大，这一举措极大地方便了生产与生活．如图1和2，欣欣通过两把不同刻度的直尺说明了其中的原因，并进行如下探究：将两把尺子有刻度的一侧紧贴，则由两幅图可得方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：根据图可知：，
即，
故选：A．
12. 题目：“在和中，两个三角形的高线分别为和，，，，，且．已知，求的度数．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A. 只有甲答对B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
【答案】B
【解析】解：如下图所示，
当时，；
如下图所示，
当AD在内部，在外部时，
，，
，
，
，
要把甲和丙的答案合在一起才完整．
故选：B．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中第16小题第一空2分，第二空1分．把答案写在题中横线上）
13. “如果，互为倒数，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】真
【解析】解：命题“如果，互为倒数，那么”的逆命题是
“如果，那么，互为倒数”，
逆命题是真命题；
故答案为：真
14. 写出一个比0大且比3小的无理数：____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】解：一个比0大且比3小的无理数为．
故答案为：（答案不唯一）
15. 在中，，，点是斜边上的一点，过点作于点，连接．若，则的值是_____．
【答案】8
【解析】解：过C作交的延长线于F，如图：
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，，
，
，
，
故答案为：8．
16. 已知，，计算________．若的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为________．
【答案】 ①. ②. 16
【解析】解：由题意可得：
，
∵的值为正整数，为整数
∴或2或3或6，
∴符合题意的，3，4，7，
∴满足条件的所有整数a的和为，
故答案为：，16．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知一个正数x的两个平方根分别是和．
（1）求x的值；
（2）若b为的算术平方根，c为的立方根，求代数式的值．
解∶（1）一个正数的两个平方根分别是和，
解得∶，
则，
那么；
（2）为的算术平方根，为的立方根，，
∴，
则．
18. （1）解方程：；
（2）下面是一道例题及其解答过程的一部分．
①若是一个单项式，则这个单项式是_____．
②将该例题的解答过程补充完整，在下面的“=”后面继续写．
原式
=
解：（1）方程两边同乘，
得，
整理得，即，
解得，
经检验，是原分式方程的解；
（2）①根据题意得，
故答案为：；
②原式
．
19. 已知七个实数，，，，，，π，其中五个数已经在数轴上分别用点、、、、表示．（以下问题请用原数作答）
（1）点表示数0，点表示数_____，点表示数_____，点表示数_____；
（2）借助圆规，在数轴上准确地用点表示数（提示：注意观察正方形面积），并将所有的实数用“”连接．
______________________________
解：（1）根据、、、在数轴上的位置，可知，
点表示数0，点表示数π，点表示数，点表示数，
故答案为：；
（2）在数轴上准确地表示数如图所示：
由数轴可知，，
故答案为：．
20. 如图，在中，点在边的延长线上，过点作，点是射线上一个点，满足．
（1）使用尺规在射线的左侧作，与射线交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：．
解：（1）如图，即为所求作的角.
（2）证明：，
，
在和中，
，
，
，
．
21. 请你参考黑板中老师的讲解，解答下列问题．
（1）的相反数是_____，的整数部分是_____；的整数部分是_____，的整数部分是_____；
（2）已知的小数部分是，的小数部分是．若，请求出满足条件的的值．
解：（1）的相反数是，
，
，
即，故的整数部分是，
，
，
即，故的整数部分是，
故答案为：；4，11；
（2）由题意，的小数部分，
的小数部分，
，
∵，
∴，
，
当时，解得，
当时，解得，
综上，的值为0或2．
22. 情境 如图1，为了测量池塘两端，之间的距离，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，再在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接，，使平分，（点，，，在同一平面内），此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离．
论证 （1）请你证明“情境”中的结论正确；
探究 （2）请你再设计一种测量池塘两端，之间距离的方案，并说明理由（要求写出方案并在图2中画出图形，可以借助刻度尺或圆规）．
方案： 作图：
理由：
解：（1）证明：平分，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：
方案：如图，在地面上选取可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接，此时测量出线段的长便是池塘两端，之间的距离.
作图：（可以尺规作图，也可以直尺作图）
理由：在和中，
，
．
23. 下面是嘉淇学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并解决相应的问题．
（1）解法一所列方程中的表示_____（填序号），解法二所列方程中的表示_____（填序号）；
①甲种商品每件进价元；②乙种商品每件进价元；③甲种商品购进件
（2）请你选择其中的一种解法，解方程并解决题目中提出的问题．
（3）商店计划用不超过1440元资金购进甲、乙两种商品共40件，则至多购进甲种商品多少件？
解：（1）由甲商品数量=乙商品数量，可得：中的x表示甲种商品每件进价x元，
由甲商品进价-乙商品进价=20可得：中的x表示甲种商品购进x件；
故答案为：①，③；
（2）如下两种解答中选择其中一种即可．
若选择“解法一”，过程如下：
解：设甲种商品每件进价为x元，则乙种商品每件进价为元，
由题意得：，
方程两边同乘，
得，
整理得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元；
若选择“解法二”，过程如下：
解：设甲种商品购进x件，则乙种商品购进x件，
由题意得：
，
方程两边同乘，
得，
整理得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
，，
答：甲种商品每件的进价为50元，乙种商品每件的进价为30元；
（3）设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，
由题意，得，
解得，
答：至多购进甲种商品12件．
24. 在中，，顶点在过、两点的直线上．
（1）若，当点、在点异侧时，如图1．
求证：①；
②；
（2）若，当点、在点右侧时，如图2，试判断、和之间的数量关系，并说明理由；
（3）①若，且点、在点异侧，如图3，直接写出、和之间的数量关系；
②若，，如图4，直接写出、和之间的数量关系．
解：①证明：∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
②∵
∴，
∴；
（2）解：，
理由：∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴；
（3）解：①，
理由：∵，
∴，
∴，
即，
∴在和中，
，
∴，
∴， ，
∴；
②，
理由：如图所示，设和交于点F，
设，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
化简：．
解：原式
=……
题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元．
方法
分析问题
列出方程
解法一
设……
等量关系：甲商品数量=乙商品数量
解法二
设……
等量关系：甲商品进价-乙商品进价