2024-2025学年浙江省浙东北联盟高二(上)期中联考数学试卷(解析版)

这是一份2024-2025学年浙江省浙东北联盟高二(上)期中联考数学试卷(解析版)，共16页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 我国著名数学家华罗庚曾经说过， 已知，，，则等内容，欢迎下载使用。
考生须知：
1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】直线的方程为，即，
所以直线的斜率，设倾斜角为，则，
因为，所以.
故选：B.
2. 双曲线的焦距为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】在双曲线中，，，，
所以焦距为．
故选：B．
3. 已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设，
因为，与圆相切，
所以，，，，
又，
所以四边形为正方形，
所以，则，
即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
所以动点的轨迹方程为．
故选：A．
4. 古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（ ）
A. 2B. C. D. 4
【答案】B
【解析】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，
截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，
根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，
建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，
设抛物线与底面交点为E，则，
设抛物线为，则，解得，
即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.
故选：B.
5. 如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，
.
故选：A
6. 我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,根据上述观点,当取得最小值时，实数的值为（ ）
A. B. 3C. D. 4
【答案】C
【解析】，
表示平面上点与点，的距离和，
连接，与轴交于，此时直线方程为，
令，则
的最小值为，此时
故选：C．
7. 已知曲线，则下列结论中错误的是（ ）
A. 曲线关于直线对称
B. 曲线与直线无公共点
C. 曲线上的点到直线的最大距离是
D. 曲线与圆有三个公共点
【答案】C
【解析】A选项，点满足
直线对称的对称点是，
将点代入得，
整理得，所以曲线关于直线对称，A选项正确.
B选项，联立，将代入，
得，所以曲线与直线无公共点，B选项正确.
下面分析曲线的图象：
曲线，
当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为，不符合.
当时，曲线方程可化为；
当时，曲线方程可化为.
由此画出曲线的图象如下图所示，
对于C选项，由于可知，曲线上的点到直线的最大距离是，
即圆弧（）的半径，
所以C选项错误.
对于D选项，圆的圆心为，半径是，
与圆弧（）的圆心距为，
所以圆与圆相内切，切点为.
结合图象可知曲线与圆有三个公共点，D选项正确.
故选：C

8. 已知是椭圆的左､右焦点，直线与椭圆相切于点，过左焦点作直线的垂线，垂足为，则点与原点之间的距离为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】直线的斜率显然存在，所以设直线的方程为，
即，
联立方程组，
消去，得，
因为直线与椭圆相切于点，
所以，
整理得，
解得，
所以切线方程为，
由椭圆，可得，
所以，
可得左焦点，所以过左焦点与直线的垂直的直线方程为，
联立方程组，解得，所以，
所以点与原点之间的距离为.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.
9. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】A：，所以，A正确；
B：，所以，B错误；
C：，，所以，C正确；
D：，不存在实数，使得，故与不平行，D错误．
故选：AC．
10. 已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）
A. 直线恒过点B. 直线的斜率一定存在
C. 若，则或D. 存在实数使得
【答案】AD
【解析】将点代入直线中可得等号成立，
所以直线恒过点，故A正确；
当时，直线的斜率不存在，故B错误；
当时，，解得或，
当时直线即与直线重合，故，所以，故C错误；
当时，，，此时，故D正确．
故选：AD．
11. 已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（ ）
A. B. 的最小值为
C. 以为直径的圆过原点D.
【答案】ABD
【解析】对于A,设直线的方程为，
则由，消去整理，得，
因为直线交抛物线与两点，设，，
所以，，故A正确.
对于B,
，m=0时等号成立，故B正确.
对于C,如果以为直径的圆过原点，则.
由于，，
结合A选项，，
故不垂直.故C不正确.
对于D
.
,即，故D正确.
故选：ABD.
非选择题部分
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】圆：的圆心，半径，
圆：的圆心，半径，
因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，
所以两圆相交，则，即，解得，
所以实数的取值范围是.故答案为：.
13. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．
【答案】
【解析】向量在向量上的投影向量等于，
故答案为：.
14. 已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为__________.
【答案】
【解析】设双曲线的渐近线为，且，直线，直线，

联立方程，解得，不妨令，
同理可得：，，，
且，则，
因为三点共线，则，
则，
整理可得，
同理由三点共线可得，
即，
整理可得，
因，即，则，解得，
即，所以双曲线的离心率.
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知点，圆；
（1）若直线过点且在坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；
（2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.
解：（1）①当的截距均为0，即直线过原点时，设直线的方程为：
代入点，解得，
直线的方程为；
②当截距不为0时，设直线的方程为：，
点入点，解得，
直线的方程为；
综上所述，直线的方程为或.
（2）且圆的半径为2，
圆心到直线的距离为1.
①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意；
②当直线的斜率存在时，设直线方程为：即，
又圆心到直线距离为解得，
直线的方程为：；
综上所述，直线的方程为或.
16. 如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点；
（1）求点到平面的距离；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
解：（1）由题意可知，底面为菱形，可得，
依题意两两垂直，故以点为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：
易知
；
设平面的法向量为n=x,y,z，则即，
据此可得平面的一个法向量为：，
又易知,点到平面的距离.
（2）设直线与平面所成角为，平面的法向量为，
又,则即，
据此可得平面的一个法向量为，
又,因此，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17. 如图，在四棱锥中，平面，，点在线段上，且.
（1）求二面角的余弦值；
（2）在线段上是否存在一点，使得四点共面.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）因为平面，以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴，方向为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
易知：，
由可得点的坐标为，
由可得，
设平面的法向量为：m=x,y,z，
则，
据此可得平面的一个法向量为：，
很明显平面的一个法向量为，
，
二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
（2）已知，设由，
可得，则，
由（1）得平面的一个法向量为：，
令，即，
解得，
故线段上存在一点，当时，可使四点共面.
18. 已知双曲线C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率为，且的一个焦点到其一条渐近线的距离为1.
（1）求双曲线的方程；
（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.
解：（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，
右焦点到渐近线的距离，解得，
由离心率，又，解得，
双曲线的方程为.
（2）设直线的方程为：，
联立，
恒成立，，
直线与双曲线的右支交于两点，，解得.
，
.

19. 在平面直角坐标系中，有点.若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为.
（1）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，求的值.
（2）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么？并求该轨迹与轴围成的图形的面积.
（3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于两点，且其斜率满足，求的最大值.
解：（1）如图建立空间直角坐标系，
则点在空间中的坐标分别为，
；
；
（2）由题意可知，点在空间中的坐标分别为，对点分类讨论，
①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，
，化简得：，
因此在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆.
②当点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为，
，化简得：，
因此在平面直角坐标中，
点在轴下半平面的轨迹为以为圆心，以为半径的圆的一部分.
点的轨迹为半圆：与圆：
的组合曲线（如图），
其与轴围成的图形的面积为：.
（3）①当直线与轴垂直时，显然不成立.
②当直线不与轴垂直时，设直线的方程为：，
，
联立方程，
，
，
代入韦达定理可得：，即，
化解可得或，
当时，直线经过点，故舍去.
则，
①当点在轴的同侧时，即时，
则，
②当点在轴的异侧时，即时，则，
.
综上所述：；
故的最大值为.