2023-2024学年山东省枣庄市滕州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)

这是一份2023-2024学年山东省枣庄市滕州市九年级(上)期中数学试卷(解析版)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分．
1. 若，则（ ）
A. 6B. C. 1D.
【答案】A
【解析】等式两边乘以，得，
故选：A．
2. 如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵中，，∴，
∵，∴，故选：A．
3. 如图，某公园有一个入口，A、B、C三个出口，甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率是（ ）

A B. C. D.
【答案】B
【解析】画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的结果有3种，
∴甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率为，
故选：B．
4. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，若BE＝EO，则AD的长是（ ）
A. 3B. C. 3D.
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，OB＝OD，OA＝OC，AC＝BD，∴OA＝OB，
∵BE＝EO，AE⊥BD，∴AB＝AO，
∴OA＝AB＝OB＝1，∴BD＝2，
∴AD＝＝＝，
故选：B．
5. 若，则k的值为（ ）
A. B. 1C. ﹣1D. 或-1
【答案】D
【解析】当a+b+c=0时，a=﹣（b+c），因而k==﹣1；
当a+b+c≠0时，k==．故k的值是﹣1或．故选：D．
6. 已知点C把线段分成两条线段，，下列说法错误的是（ ）
A. 如果，那么线段被点C黄金分割
B. 如果，那么线段被点C黄金分割
C. 如果线段被点C黄金分割，那么与的比叫做黄金比
D. 0.618是黄金比的近似值
【答案】C
【解析】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确．
C、如果线段被点C黄金分割（），那么与的比叫做黄金比，所以C错误．故选：C．
7. 在平面直角坐标系中，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 1或2个
【答案】D
【解析】直线不经过第一象限，
，当时，，
关于的方程的实数根的个数为2个，
当时，方程为，此时方程为一元一次方程，此方程的根有1个，
综上所述，若直线不经过第一象限，则关于的方程的实数根的个数为1或2个，故选：D．
8. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为（ ）

A. 8cmB. 10cmC. D.
【答案】C
【解析】∵四边形是菱形
∴
∴在中，
∵或
∴，即
∴
故选：C
9. 如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，若四边形EGFH为矩形，则四边形ABCD需满足的条件是（ ）
A. AC＝BDB. AC⊥BD
C. AB＝DCD. AB⊥DC
【答案】D
【解析】∵E，F分别是边AD，BC的中点，G，H分别是对角线BD，AC的中点，
∴GF∥EH∥CD，GE∥FH∥AB，
∴四边形EGFH为平行四边形，
∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC，
若四边形EGFH为矩形，
则有∠GFH=90°，
∴∠GFB+∠HFC=90°，
∴∠DCB+∠ABC=90°，
∴AB⊥DC；
故选D．
10. 如图，在正方形中，点E，F分别是，的中点，，相交于点M，G为上一点，N为的中点.若，，则线段的长度为（ ）

A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】连接，，

∵点E，F分别是，的中点，
∴四边形是矩形，
∴M是的中点，
在正方形中，，，
∴，
在中，由勾股定理得，
，
在中，M是的中点，N是的中点，
∴是的中位线，
∴．
故选：B．
二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上．
11. 若，则________．
【答案】
【解析】由可得，，
代入．
故答案为．
12. 如图，在菱形中，，则的长为____．
【答案】
【解析】如图，连接交于点，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 若是关x的方程的解，则的值为___________．
【答案】2019
【解析】∵是关x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案为：2019．
14. 如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点为位似中心作正方形，正方形，…，按此规律作下去,所作正方形的顶点均在格点上,其中正方形的顶点坐标分别为,则顶点的坐标为____．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴顶点的坐标为，
故答案为：．
15. 如图，矩形中，，，且有一点从点沿着往点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为_________．

【答案】
【解析】如图，连接、，

∵，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∴要求的最小值就是要求的最小值．
∴当时，取最小值．
在中，
∵，
∴．
∵，
∴．
∴的长度最小为：．
故答案为：．
16. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动如果点P、Q分别从点A、B同时出发问经过_____秒时，与相似．
【答案】1或2.5
【解析】设经过t秒后，与相似，则有，，，
当时，有，
即，
解得，
当时，有，即，
解得，
所以，经过或时，与相似．
故答案为：1或2.5
三、解答题：共8小题，满分72，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤．
17. 用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
解：（1），
移项得：，
，
或，
解得：或，
原方程的解为：，
（2），
，
原方程没有实根．
（3），
，
，
，
原方程的解为： ，；
（4），
将原方程转化为一般式得：，
，
，
解得：，
原方程的解为：．
18. 6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．

（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女概率．
解：（1）（名），答：本次抽样调查的学生共有60名；故答案为：60；
（2）C组人数为：（名），补全条形图如图所示：

（3）估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）画树状图如下：

机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出绕原点逆时针方向旋转后得到；
（2）连接，的度数为______；
（3）以原点为位似中心，相似比为，在第一象限内将缩小得到，画出，直接写出点的坐标．
解：（1）如图，即为所求；
（2）如图，
，且，
；
故答案为：；
（3）如图，即为所求，
∵，，则为的中点，
∴
20. 已知关于的方程．
（1）求证：取任何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰的一边长为4，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长．
解：（1）∵，
∴无论取何值，方程总有实数根；
（2）当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，
∴，
解得，
∴方程为，
解得或，
∴、的值分别为2、4，
∴的周长为；
当边长为4的边为底时，则，即方程有两个相等的实数根，
∴，即，
解得，
∴方程为，
解得，
此时，不符合三角形的三边关系，舍去；
综上，的周长为10．
21. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，依题意得：
，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%；
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元/个，依题意得：
，
整理得，
解得（不合题意，舍去），，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元/个．
22. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）若AD＝10，EC＝4，求AC的长度．
证明：（1） 菱形ABCD，AE⊥BC







四边形是平行四边形，

四边形是矩形.
（2） 四边形是矩形，菱形ABCD，AD＝10，EC＝4，


23. 如图：已知△ABC中，AB＝5，BC＝3，AC＝4，PQ∥AB，P点在AC上（与A、C不重合），Q在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
（3）试问：在AB上是否存在一点M，使得△PQM为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出PQ的长．
解：（1）∵PQ∥AB，
∴△PQC∽△ABC，
∵S△PQC＝S四边形PABQ，
∴S△PQC：S△ABC＝1：2，
∴，
∴CP＝•CA＝2；
（2）∵△PQC∽△ABC，
∴，
∴，
∴CQ＝CP，
同理：PQ＝CP，
∴l△PCQ＝CP+PQ+CQ＝CP+CP+CP＝3CP，
I四边形PABQ＝PA+AB+BQ+PQ，
＝4﹣CP+AB+3﹣CQ+PQ，
＝4﹣CP+5+3﹣CP+CP，
＝12﹣CP，
∴12﹣CP＝3CP，∴CP＝12，∴CP＝；
（3）∵AC＝4，AB＝5，BC＝3，
∴△ABC中AB边上的高为，
①当∠MPQ＝90°，且PM＝PQ时，
∵△CPQ∽△CAB，
∴，
∴，
∴PQ＝；
②当∠PQM＝90°时与①相同；
③当∠PMQ＝90°，且PM＝MQ时，
过M作ME⊥PQ，则ME＝PQ，
∴△CPQ的高为﹣ME＝﹣PQ，
∴，∴，
∴PQ＝．
综合①②③可知：点M存在，PQ的长为或．
24. 如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
(1)求证：四边形EFDG菱形；
(2)求证：；
(3)若AG=6，EG=2，求BE的长．

解：（1）∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．
（2）EG2=GF•AF．
理由：如图1所示：连接DE，交AF于点O．

∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴，即DF2=FO•AF．
∵FO=GF，DF=EG，
∴EG2=GF•AF．
（3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵EG2=GF•AF，AG=6，EG=2，
∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG﹣40=0．
解得：FG=4，FG=﹣10（舍去）．
∵DF=GE=2，AF=10，
∴AD==4．
∵GH⊥DC，AD⊥DC，
∴GH∥AD．
∴△FGH∽△FAD．
∴，即=．
∴GH=．
∴BE=AD﹣GH=4﹣=．