北京市北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题

这是一份北京市北京师范大学第二附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题，共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共6页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，只收答题纸，不收试卷。
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．曲线在点处的切线斜率为（ ）
A．B．C．D．
3．在复平面内，复数对应的点分别是，则的模是（ ）
A．5B．C．2D．
4．已知直线是函数图像的一条对称轴，则的值为（ ）
A．3B．4C．2D．1
5．若，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，为边上的中线，为的中点．则（ ）
A． B．C． D．
7．在长方体的八个顶点任两点连线中，随机取一直线，则该直线与平面平行的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知都大于零且不等于1，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
9．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．或
10．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，DNA的数量与扩增次数n满足，其中p为扩增效率，为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：，）
A．36.9%B．41.5%C．58.5%D．63.4%
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11．函数的定义域为 .
12．已知等差数列的前n项和为18，则 .
13．在中，角的对边分别为，，，则的面积是 .
14．已知函数的值域是R，则实数的最大值是 ．
15．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PA=AB=4．E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，对于平面EFH截四棱锥所得的截面多边形，有以下三个结论：
①截面面积等于；
②截面是一个五边形；
③直线PC与截面所在平面EFH无公共点．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（共6题，共85分）
16．已知函数，
(1) 求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2) 当时，求的最大值和最小值
17．在中，角A，B，C的对边分别为，且___________.
在下面的三个条件中任选一个补充到上面的横线中，并给出下面问题的解答.
①，②，
③，，.
(1) 求角C；
(2) 若，求周长的取值范围.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点．
(1) 求证：平面；
(2) 求平面与平面夹角（锐角）的余弦值；
(3 )在棱上是否存在一点，使直线与平面
所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；
若不存在，说明理由．
19．某市两所中学的学生组队参加信息联赛，中学推荐了3名男生、2名女生，中学推荐了3名男生、4名女生. 两校所推荐的学生一起参加集训. 由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队参赛.
(1 )求中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2) 设表示中学参赛的男生人数，求的分布列和数学期望；
(3) 已知3名男生的比赛成绩分别为76、80、84；3名女生的比赛成绩分别为77、、81；若3名男生的比赛成绩的方差大于3名女生的比赛成绩的方差，写出的取值范围（不要求过程）.
20．已知函数（且）.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，讨论函数的单调性与单调区间；
（3）若有两个极值点，证明：.
21．设为正整数，集合对于，设集合.
(1) 若，写出集合；
(2) 若，且满足令，求证：；
(3) 若，且，求证：.
参考答案
一、单选题（本大题共10小题，共40分）
二、填空题（本大题共5小题，共25分）
11．
12．81
13．
14．
15．②③
三、解答题（本大题共6小题，共85分）
16（13分）．(1)最小正周期，单调递减区间，；6分
(2)最大值，最小值-1．7分
【详解】
（1）最小正周期，由，得单调递减区间为，；
（2）由得，
故当时，的最大值为；当时，的最小值为-1.
17（14分）．
(1) 6分
(2) 7分
【详解】（1）选①
由正弦定理及，，
又，
，，又，.
选②
由，，
即，.
，，，.
选③
，...
化简得，.
又，.
（2）由余弦定理得，
又，当且仅当时等号成立.
，，当且仅当时等号成立.
.又，.
周长的取值范围为.
18（15分）．
(1)证明见解析 4分 (2) 5分 (3)存在；的长为或 6分
【详解】（1）连接，交于点，连接，
点是的中点，点是的中点，
所以,平面,平面，
所以平面；
如图，以向量，，为
轴的正方向建立空间直角坐标系，
即，，，则，
设平面的法向量，则，
令得，所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面和平面的夹角的余弦值为；
（3）由（2）知，，，，
，，，
，
由（2）知平面的法向量，设直线与平面的夹角为，
则
整理得，解得或
故当时，；当时，
则的长为或．
19（14分）．
(1) 3分
(2)分布列见解析，期望为 8分
(3) 3分
【详解】（1）由题意知，参加集训的男、女生各有6名.
参赛学生全部从B中学中抽取（等价于A中学没有学生入选代表队）的概率为.
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为.
（2）根据题意得，X的可能取值为0，1，2，3.
则，
，
所以X的分布列为：
因此，X的数学期望.
（3）3名男生的比赛成绩分别为76，80，84，平均值为80，方差为，
3名女生的比赛成绩为77，，81，平均值为，
所以，
即，
代入检验，可知最小为74，最大，故，
即的取值范围.
20（15分）．
（Ⅰ）； 5分
（Ⅱ）详见解析； 4分
（Ⅲ）证明见解析. 6分
【详解】由题可知：函数的定义域为0,+∞
（Ⅰ）因为时，，所以，
那么，，
所以曲线在处的切线方程为：，
即；
（Ⅱ）因为，由可得：
①当，，时，有，，满足，和时，
即函数在和上为减函数；
时，，即函数在上为增函数；
②当时，，恒成立，所以函数在0,+∞为减函数.
综上可知：
当时，函数在和上为减函数，
在上为增函数；
当时，函数在(0,+∞)上为减函数；
（Ⅲ）因为有两个极值点、，
则有两个正根、，则有，且，，即，
所以
若要，即要，
构造函数，则，
易知在上为增函数，
且，，
所以存在使即，
且当时，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
所以函数在上有最小值为，
又因为则，所以在上恒成立，
即成立.
21（15分）．
(1)；4分(2) 5分 (3) 6分
【详解】（1）；
（2）因为，所以，
当时，，
所以，即，，
又因为，所以，
所以，
所以；
（3）对任意，令，
若且，则，
所以，
因为，所以，
所以，所以.
对，因为，
由（2）可知，令，则.
若，因为，
所以，即，
又因为，所以.
若，则，
所以.
综上，即.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
D
A
C
A
B
C
X
0
1
2
3
P