2025年高考数学一轮专题复习--数列专题2（含解析）-练习

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分组（并项）法求和
典例1、已知等差数列各项均不为零，为其前项和，点在函数的图像上.
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求的前项和；
（3）若数列满足，求的前项和的最大值、最小值.
随堂练习：已知数列{}的前n项和满足：．
（1）求数列{}的前3项；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）求数列的前n项和．
典例2、已知数列中，．
（1）证明：数列和数列都为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前n项和．
随堂练习：在数列中，，
（1）设，求证：；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和.
典例3、已知等差数列的公差，它的前项和为，若=70，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）中的第2项，第4项，第8项，…，第项，按原来的顺序排成一个新数列，求的前n项和.
（3）已知数列，，若数列的前项和为，求证：.
随堂练习：已知数列的前项和，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前项和；
（3）若存在，使得成立，求实数的最小值．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,裂项相消法求和,累乘法求数列通项
典例4、已知数列的前项和为，且满足，
（1）求数列的通项公式；
（2）-若数列的前项和为，求证：
随堂练习：已知为等差数列，.
（1）求的通项公式；
（2）若为的前项和，求.
典例5、已知数列的前项和为，，且．数列为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）设 ，数列的前项和为，求的最小值．
随堂练习：已知正项数列满足，且，设.
（1）求证：数列为等比数列并求的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求数列的前项和.
典例6、已知数列的前项和满足，，．
（1）求的通项公式；
（2）数列，，满足，，且，求数列的前项和．
随堂练习：已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．
（1）求数列的通项公式；
（2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围；
（3）已知 ，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明．
人教A版数学--数列专题二答案
典例1、答案：（） （2） （3）最大值为，最小值为
解：（1）因为点在函数的图像上，所以，
又数列是等差数列，所以，
即所以，
；
（2）解法1：，
==，
解法2：， ①
， ②
①-② 得 ， ；
（3）
记的前n项和为，
则=，
当n为奇数时随着n的增大而减小，可得，
当n为偶数时随着n的增大而增大，可得，
所以的最大值为，最小值为.
随堂练习：答案： （1）；（2）证明见解析； （3）.
解：（1）当时，有：；
当时，有：；
当时，有：；
综上可知；
（2）由已知得：时，，
化简得：
上式可化为：
故数列{}是以为首项，公比为2的等比数列.
（3）由（2）知，∴，
∴
当n为偶数时，=
令，
①
②
则①②得
，
∴，=，
所以.
当n为奇数时，，
，
所以.
综上，.
典例2、答案： （1）证明见解析. （2） （3）.
解：（1）由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以.
由得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
则， 所以
，
也符合上式， 所以.
（3），
令， ，
两式相减得 ，
所以.
所以.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）； （3）.
解：（1）由条件可知：，， ，
，；
（2）由第（1）问可知，，
当时，， 当时，， 当时，，
当时，，
以上各式相加，得，
，，，即；
（3）由第（1）、（2）问知，，，则，
设数列的通项公式，前项和为，
，
两式相减，得，
，
数列的前项和.
典例3、答案： （）1（） （2） （3）证明见解析.
解：（1）解：因为数列是等差数列， 所以，．
依题意，有，即 解得，．
所以数列的通项公式为（）．
（2）由题意：，
∴
（3）证明：由（1）可得．所以，
．
因为，所以．
因为，所以数列是递增数列．
所以．所以．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）
解：（1）当时，，
当时，， 两式相减并化简得（），
当时，上式也符合， 所以.
（2）数列满足，，
则，，
所以数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，
所以，
设数列满足，且前项和为，
,,
两式相减得，
所以.
设数列满足，则的前项和，
所以.
（3）依题意，存在，使得成立，
，则只需求的最小值.
，
当或时，取得最小值为. 所以的最小值为.
典例4、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由已知，时，，
与已知条件作差得： 所以，
所以,n=1成立
（2）证明：因为，
所
.得证.
随堂练习：答案：（1）； （2）.
解：（1）∵. ∴，
∴， ∴；
当时，满足上式， 所以；
（2）由（1）可得，
∴.
典例5、答案： （1）；，；（2）.
解:（1）

即有，
上式对也成立，则；
为公比设为的等比数列，，．
可得，，则，即，，；
（2），
前项和为，
， 即，可得递增，则的最小值为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）因为， 所以，
因为， 所以，
所以，且，
所以数列是以为公比，为首项的等比数列，即，
即，可得，，
所以时，，
即， 而此时时，，
所以；
（2）由（1），所以，
所以
所以
.
典例6、答案： （1）； （2）
解：（1）由题意知，，
两式相减得，， 故，，
两式相减得，
即，可知数列为等差数列，
又，则，解得，
又因为，所以，等差数列的公差，故．
（2）由题易知，又因为，
所以，
由累乘法可得：，，，，
所以，，因为，所以，，
当时，也符合，所以，，则，
．
随堂练习：答案：（1）；（2）；（3），证明见解析．
解:（1）由题意，因为2Sn=（n+1）an， 当n≥2时，2Sn-1=nan-1，
两式相减2an=（n+1）an-nan-1，可得（n-1）an=nan-1（n≥2），
又a1=1≠0，则an≠0，所以，
可得， 累乘得n≥2时，，
n=1时，a1=1也满足上式， 所以数列的通项公式为an=n．
（2）设，
则=
=，
所以f（n）在n≥3，n∈N*上单调递减， 所以，即．
（3），
则Tn=c1+c2+c3+…+cn=
=
所以．