2025年高考数学一轮专题复习--数列专题1（含解析）-练习

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典例1、已知数列{an}，{bn}满足a1=b1=1，是公差为1的等差数列，是公差为2的等差数列．
（1）若b2=2，求{an}，{bn}的通项公式；
（2）若，，证明：．
随堂练习：已知数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求数列的前项和．
典例2、设数列满足，且．等差数列的公差d大于0．已知，且成等比数列．
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
随堂练习：已知等差数列满足，，数列满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
典例3、设数列的前项和为，，，数列中，，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列.
（1）求数列、的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
随堂练习：已知数列中，，当时，，记．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
知识点二 由Sn求通项公式,裂项相消法求和
典例4、已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）若，求证：数列的前项和．
随堂练习：已知数列的前项和为，且．
1、求的通项公式；
2、设数列的前项和为，证明：．
典例5、已知数列的前n项和为，，，．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
随堂练习：已知是数列的前n项和，，且．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
典例6、已知数列的前n项和为，已知，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：．
随堂练习：已知各项都是正数的数列的前项和为，，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足：，，数列的前项和，求证：；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
数列专题一答案
典例1、答案： （1）； （2）证明见解析
解：（1）因为是公差为1的等差数列， 所以，
即，且， 所以，
累加得， 所以， 则；
（2）因为， 累加得，
所以， 则， 则，
令， 且，
所以，且，所以， 所以，
且，
从而，
所以，
当时，时，， 所以．
随堂练习：答案： （1）. （2）.
解：（1）由题意数列满足，
则 .
（2）由（1）可得， 故，
所以，
故
典例2、答案：（1）证明见解析， （2）
解：（1）证明：因为， 所以，
又， 所以数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
则，
当则
，n=1成立 所以；
（2）由，得，
又成等比数列，使用，
即，解得（舍去）， 所以，
则，
所以.
随堂练习：答案：（1），； （2）.
解：（1）设数列的公差为，由题可得，解得， 故；
因为满足，，
故当时，，
故，符合该式，所以；
（2）由题可得，设的前项和为，
则，
故
则
即，故.
故数列的前项和为.
典例3、答案： （1），. （2）
解：（1）当时，由可得：；
当时，由①，②
则得： 所以.
因为，，所以数列为等比数列，所以.
因为，，，…，，…是首项、公差均为2的等差数列，
所以，，，……，
累加得：，
所以.n=1成立 综上所述：，.
（2）
所以数列的前项和
所以.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意得， 所以，即．
当时，
．
当时，也符合． 综上，．
（2）证明：由（1）得， 当时；
当时，，
故当时，
． 综上，．
典例4、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）当时，．
当时，， 则，
当时，满足上式，则．
（2）由（1）可得，
则．
∵∴ 所以.
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）由题意，当时，，
当时，由得，
两式相减，得，又，
故数列的通项公式为.
（2）依题意，得，
则， 所以.
典例5、答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为，， 所以，
所以，所以，
又，也成立， 所以的通项公式．
（2）证明：由（1）知，
所以，
所以．
因为，所以，所以，所以，．
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）当时，可得．
当时，，
所以， 所以，所以．
因为，所以，
时也符合，故．
（2）证明：由（1）知， 所以，
所以．
因为，所以．得证
典例6、答案：（1）；（2）证明见解析.
解:（1）因为，所以，
故，即，
又因为，所以，
故为首项为2，公差为2的等差数列，即，即.
（2）由（1）得，当时，，
所以
，故得证.
随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析；（3）.
解:（1）时，，解得或（舍去）
当时，
化简得：
，
数列是以为首项，为公差的等差数列，.
（2）证明：，
，
，
数列的前项和
（3）由已知条件参数分离可得（）
当且仅当即时，有最大值， .