2025年高考数学一轮专题复习--数列专题3（含解析）-练习

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分组（并项）法求和
典例1、已知为等差数列，为等比数列，．
（1）求和的通项公式；
（2）记的前项和为，求证：；
（3）对任意的正整数，设求数列的前项和．
随堂练习：已知等比数列的公比是的等差中项．等差数列满足
．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前50项和；
（3），求数列的前项和．
典例2、在等差数列中，已知，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和；
（3）记，数列的前n项和为，若对任意的，，都有，求正整数k的最小值．
随堂练习：已知数列中，，，，数列的前n项和为Sn.
（1）求的通项公式；
（2）已知，
（i）求数列前n项和Tn；
（ii）证明：当时，.
典例3、已知数列的前项和为，，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）若数列，，求前项和.
随堂练习：已知等差数列的前项和为，公差为1，且满足．数列是首项为2的等比
数列，公比不为1，且、、成等差数列，其前项和为．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若，求正整数的值；
（3）记，求数列的前项和．
知识点二 等差数列通项公式的基本量计算,写出等比数列的通项公式,求等比数列前n项和,
分组（并项）法求和
典例4、已知数列是等差数列，记为的前n项和，是等比数列，．
（1）求；
（2）记，求数列的前2n项和．
随堂练习：已知公差不为零的等差数列的前项和为，且满足，，，成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
典例5、已知数列，，，数列为等比数列，满足，且，，成等差数列.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记数列满足：，求数列的前项和.
随堂练习：已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，
．
（1）求数列和的通项公式；
（2）若设的前项和为，求．
典例6、已知等比数列的前n项和为，且满足，数列满足：，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）设数列的通项，求数列的前n项和．
随堂练习：已知正项数列的前n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）将数列和数列中所有的项，按照从小到大的顺序排列得到一个新数列，求的前50项和．
人教A版数学--数列专题三答案
典例1、答案：（1），；（2）证明见解析；（3）.
解: (1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.
由，，可得d=1. 从而的通项公式为.
由， 又q≠0，可得，解得q=2，
从而的通项公式为.
(2)证明：由(Ⅰ)可得，
故，，
从而， 所以.
(3)当n为奇数时，，
当n为偶数时，，
对任意的正整数n，有，
和 ①
由①得 ②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前2n项和为.
随堂练习：答案： （1），； （2）； （3）．
解：（1）依题有,因为，解得：
．数列是等差数列,设其公差为,，解得：.
（2）数列与数列都是递增数列, ,
,,
新数列的前50项和为:.
（3）∵，
设 ,
，
，
两式相减有
,
∴. ∴
.
.
典例2、答案：（1） （2） （3）9
解：（1）设公差为，则，解得，
所以；
（2）由题意，所以，
；
（3）由（1），
，，
相减得，
，由，得，
令，则，
设， 则，
当时，，
当时，，即，
当时，，
，，， 所以当时，，当时，，
当时，递减，当时，递增，
，，， 因此当时，，当时，，
所以满足的的最小值是9，即的最大值是9．
随堂练习：答案： （1） （2）（i）Tn；（ii）证明见解析
解：（1）由题意可知，数列的奇数项构成的数列是首项为1，公差为4的等差数列，
偶数项构成的数列是首项为2，公差为4的等差数列.
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
（2）（i），
，
；
（ii）， ，则；
（时等号成立） 当时，
设，
；
综上，当时，.
典例3、答案：（1） （2） （3）
解：（1）当时，，可得，
当时，由可得，
上述两个等式作差得，可得，
所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，故.
（2），所以，， 所以，，
上述两个等式作差得，
因此，.
（3）由题意可得，，
所以，
.
随堂练习：答案：（1），； （2）4； （3）.
解：（1）依题意，，解得，则，
设数列的公比为q，因，，成等差数列，则，
有，而，解得，，
所以数列和的通项公式分别为：，.
（2）由（1）知，，，，
依题意，，整理得，而，解得，
所以正整数n的值是4.
（3）由（1）知，
令数列的前n项和为，数列的前n项和为，
则，
于是得，
两式相减得：，
因此，，
，
数列的前项和.
典例4、答案： （1） （2）
解：（1）由题意得，所以①，
又是等比数列， 所以，
因为，所以②，
又，故由①②联立解得，
又是等差数列，所以 为定值，即为定值，
故为等比数列，首项，公比， 所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
所以，
即是以1为首项，4为公差的等差数列，
令，则，
记的前n项和为， 所以，
数列数列的前2n项和为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）设公差为，则，即，
因为，，成等比数列，所以，
即，整理得，
因为所以，代入，解得， 所以.
（2）,
所以
.
典例5、答案： （1）， （2）
解：（1）由题意，，，，令得，又数列为等比数列，
所以，即数列为公比为等比数列.
所以由可得即，
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式：.
由，，成等差数列，得：，，，有.
（2）由（1）知，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列，
偶数项是以首项为4，公比为4的等比数列.
.
随堂练习：答案： （1）； （2）
解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
，
或是正项等比数列， ， ．
（2）由（1）知， ，
．
典例6、答案： （1） （2）
解：（1）设数列的公比为q，
因为，即，得，解得或，
当时，，不合题意，舍去，所以，
由，解得，所以，
对于，因为①，
当时，，则，
当时，②，
由①－②得，即，
又，也适合上式，故，，
采用累乘法求通项得， 所以．
（2）由（1）可得：，则，
则数列的前n项和，
①当为偶数，时，
采用分组求和：，
， 所以；
②当为奇数，且时，为偶数，由（1）中结论得，
此时，
当时，，也适合上式， 所以.
综上所述，．
随堂练习：答案：（1） （2）2150
解：（1）依题意， 当时，，解得，
由， 当时，有，
作差得：， 所以，
因为， 所以，
所以数列是首项为3，公差为2的等差数列， 所以.
（2）由（1）得，， 又，同时， 所以
所以
．
所以的前50项和为2150．