2025年高考数学一轮专题复习--数列专题9（含解析）-练习

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典例1、已知数列的前项和为，满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
随堂练习：设数列的前n项积为，且.
（1）求证数列是等差数列；
（2）设，求数列的前n项和.
典例2、已知数列{}满足
（1）求证：数列是等差数列；
（2）记，求数列{·}的前2022项和；
随堂练习：已知数列满足，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
典例3、已知数列{an}和{bn}，a1＝2，，，
（1）证明：是等比数列；
（2）若，求数列的前n项和Sn.
随堂练习：已知数列的前n项和为，其中，满足．
（1）证明数列为等比数列；
（2）求数列的前n项和．
知识点二 确定数列中的最大（小）项,利用an与sn关系求通项或项
典例4、已知数列的前项和，且，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的最小项的值.
随堂练习：已知数列的前项和．
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，试问：数列是否有最大项、最小项，若有，分别指出第几项最大、最小；若没有，试说明理由．
典例5、是数列的前项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列中最小的项.
随堂练习：设数列的前项和为，满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的最小值及相应的n的值.
典例6、数列满足，且（）．
（1）求；
（2）求数列的通项公式；
（3）令，求数列的最大值与最小值．
随堂练习：已知数列的前项和为,且满足,数列的前项和为,且满足
,其中N*.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是公差不为零的等差数列.
①求实数的值.
②若≤对任意的N*恒成立,求的取值范围.
人教A版数学--数列专题九答案
典例1、答案： （1）； （2）.
解：（1）因为，所以， 两式相减得，
即，即，
又，，故，
因此，数列是每项都是1的常数列，从而.
（2）因为，所以， 从而，
因此.
随堂练习：答案：（1）证明见解析； （2）.
解：（1）因为数列的前n项积为，且，
∴当n=1时，，则，.
当n≥2时，，∴，
所以是以为首项，为公差的等差数列；
（2）由（1）知数列，则由得，
所以，
所以.
典例2、答案： （1）证明见解析 （2）
解：（1）依题设可得
∴数列{}是以为首项，以1为公差的等差数列，
∴， ∴
（2）由（1）可得，
∴，
∴
随堂练习：答案： （1）
（2）当时，；当时，
解：（1）证明：，变形为：，，
∴数列是等比数列，首项为6，公比为3.
∴，
变形为：，，
∴， ∴
（2）由（1）得，
∴当时，数列的前项和
.
当时，数列的前项和
.
典例3、答案：（1）证明见解析 （2）
解：（1）∵，，
∴，，
又，，解得，，
∴是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，则，
∴，
∴ .
随堂练习：答案：（1）证明见解析；（2）．
解: （1）由可得，
因为，所以 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列
（2）根据（1）可得：，
所以，
所以，
所以．
典例4、答案：（1）；（2）.
解: （1），，则， 即，
当时，；
当时，；
经检验适合，
（2）由（1）知： ，， ，
当时，，
当时，；当时，；
又，，当时，有最小值.
随堂练习：答案：（1）证明见解析 （2）第1595项最小，无最大项
解：（1）因为数列的前项和，
当时，，
当时，，
因为当时也满足，故.
故为常数，故是等差数列
（2）由（1），故，
则
，
因为，故令可解得或，
即，，，
因为，，
故数列有最小项为第1595项，又随着的增大一直增大无最大值，
故数列第1595项最小，无最大项
典例5、答案：（1）；（2）.
解: （1）对任意的，由得，
两式相减得， 因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）得，则.
当时，，即，；
当时，，即，.所以，数列的最小项为.
随堂练习：答案： （1）；（2）最小值，或9.
解: （1）∵，则，
两式相减得：，即，
验：由且知：符合， ∴.
∴数列是以1为首项，3为公比的等比数列，则.
（2），则，
∴时，；时，；时，，即：
∴当或9时，数列取得最小值.
典例6、答案：（1），，；（2）；
（3）数列的最大值为，最小值为.
解: （1）当时，有，所以，
当时，，所以，
当时，，所以，
（2）当时，①， 又②，
②式减①式可得：，即，
由（1）知当时，上式不成立，
所以是以从第二项开始，公比为的等比数列，
所以.
（3）当时，，
当时，，
当时，且递减，，
当时，且递减，， 又，
综上所述，数列的最大值为，最小值为.
随堂练习：答案：（1）；（2）①；②≤≤.
解: （1）由可得，
作差得， 化简可得，
又时 所以数列是以首项，为公比的等比数列, 所以.
(2) 设数列是以首项，为公差的等差数列,
则,,
由可得,
对任意恒成立,
可得,解之得或者(舍去) 所以，
（3）因为≤恒成立，
①当为偶数时，≤，
令， 则
当≥3时，；当≤2时，；
又因为， 所以 ， 所以，≤，
② 当为奇数时，≥，
令， 则，
当≥3时，；当≤2时，；
因为， 所以 ，
所以，≥， 综上所述：≤≤，