人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形第2课时教案设计

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.1 基本立体图形第2课时教案设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时

一、教学目标
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的的结构特征.
2.类比几何体棱柱、棱锥、棱台的研究方法，经历从物体到几何体的抽象过程，提升直观想象和数学抽象素养.

二、教学重难点
重点：圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征．
难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的抽象概括.

三、教学过程
（一）创设情境
观看视频
让我们一起探究圆柱圆锥圆台和球吧！
师生活动：教师播放视频，让学生初步感受生活中的旋转体.
设计意图：通过生活中的真是物体抽象出的几何图形，让学生了解生活中处处有数学，数学是与我们生活息息相关的.
（二）探究新知
回顾：研究棱柱、棱锥、棱台的结构特征的方法是什么？什么是旋转体？
答：先从几何实物出发感受空间几何体的整体结构，然后再从几何体的组成要素及位置关系出发，抽象出空间几何体的结构特征.
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
这条定直线叫做旋转体的轴.
师生活动：教师先让学生回顾之前所学，为这节课的新知做好铺垫.
设计意图：回顾上节课的研究方法和旋转体的概念，为圆柱、圆锥、圆台的学习做好铺垫.
任务1：探究圆柱的定义和特征
思考：请你例举生活中的圆柱体，类比旋转体的概念，尝试给出圆柱的概念.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱O'O.

任务2：探究圆锥的定义和特征.
思考：请你例举生活中的圆锥，并观察圆锥的结构特征给出它的概念.尝试在图中标出圆锥的轴、底面、侧面、母线.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：旋转轴叫做圆锥的轴；直角三角形的另一条直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置的斜边都叫做圆锥侧面的母线. 表示：圆锥SO.
师生活动：教师提出问题，学生以小组为单位进行合作，先独立思考，再小组讨论分享.
设计意图：通过对事物的观察，归纳得出定义和特征，培养了学生的数学抽象的学科核心素养能力.
任务3:探究圆台的定义和特征.
思考：请你例举生活中的圆台，并类比棱台给出圆台的概念.尝试在图中标出圆台的轴、底面、侧面、母线.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.表示：圆台O'O.
师生活动：教师提出问题，学生以小组为单位进行合作，先独立思考，再小组讨论分享.
设计意图：通过对事物的观察，归纳得出定义和特征，培养了学生的数学抽象的学科核心素养能力.
探究：圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以用平行于圆锥底面的平面去截圆锥得到，那么圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：用平行于直角边的直线去截直角三角形，可以得到直角梯形.圆台可以由直角梯形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体就是圆台.
任务4：探究圆柱、圆台和圆锥的关系
思考：通过上节的学习我们已经知道了棱柱棱锥棱台的关系，那么圆柱圆锥圆台之间有什么样的关系呢？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到圆柱；圆台的上底面缩小为一个点，就得到圆锥.
任务5：探究球的定义和特征.
思考：请你例举生活中的球并尝试给出球的概念.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球，半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
表示：球常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作球O.
任务6：探究简单组合体.
思考：图中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的？
答：简单组合体的构成有两种基本形式： 一种是由简单几何体拼接而成，如图（1）（2）中物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图（3）（4）中的几何体.
现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成.
设计意图：通过观察生活中的物体，让学生说出构成这些物体的几何体构成，可以培养学生直观想象的数学核心素养能力.
（三）应用举例
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）矩形绕一直线旋转所成的旋转体是圆柱；
（2）直角三角形绕其一边所在的直线旋转所成的旋转体是圆锥；
（3）直角梯形绕其一腰所在直线旋转所成的旋转体是圆台；
（4）圆面绕其任意一条直径旋转都能形成球．
解：（1）错．矩形绕其一边所在直线旋转形成的才是圆柱．
（2）错．直角三角形绕斜边所在的直线旋转形成的是两个同底圆锥的组合体．
（3）错．直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转形成圆台，若绕另一腰所在直线旋转形成的是组合体．
（4）正确．符合球的定义．
例2 已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm．求圆台的母线长．
解：如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A’O’＝1 cm，SA＝12 cm．
由A'O'AO=SA'SA，得SA'=A'O'AO∙SA=12×12=6（cm），
∴AA’＝SA－SA’＝6（cm）．
∴圆台的母线长为6 cm．
总结：求圆台母线长
求法：平行线段成比例
步骤：①找平行线②线段成比例③求解
例3请描述如图所示的组合体的结构特征．
解：（1）是由一个圆锥和一个同底的圆台拼接而成的组合体；
（2）是由一个圆台挖去一个同底的圆锥后剩下的部分得到的组合体；
（3）是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接而成的组合体．
例4 如图，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征.
解：几何体如图所示，其中DE⊥AB，垂足为E.
这个几何体是由圆柱BE 和圆锥AE组合而成的，其中圆柱BE的底面分别是⨀B和⨀E，侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的；圆锥AE的底面是⨀E，侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的.
设计意图：通过例题、练习巩固本节知识，深化对相关概念的理解.
（四）课堂练习
1.已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为2，则底面半径为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
解：∵圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴由已知可得2πr=πl，
∴l=2r=2，解得r=1．
故选A．
2.(多选)以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是( )
A. 两个圆锥拼接而成的组合体B. 一个圆台
C. 一个圆锥D. 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
解：以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；
以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；同时排除B，C；故选：AD．
3.一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积V=13π(3R−H)H2，其中R为球的半径，H为球缺的高．如图，若一个半径为R的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为H1H2=2，则体积之比V1V2= ．
解：因为 H1H2=2 ， H1+H2=2R ，所以 H1=43R,H2=23R ，
则 V1V2=13π(3R−H1)H1213π(3R−H2)H22=3R−43R⋅43R23R−23R⋅23R2=207 ．故答案为： 207 ．
4.我国古代数学名著《九章算术》对许多几何体的体积计算问题有深入的研究，如方亭、圆亭、鳖臑、阳马等，其中圆亭是指圆台.如图，在圆亭O1O2的轴截面ABCD中，AB=2CD= 4 3，点M为弧CD上一点，且CM=2MD，若cs∠MO1D=58，则BC= ．
解：连接O2M，DM，CM，如图，
因为在等腰梯形ABCD中，AB=2CD，
所以O1B=CD，O1B//CD，则四边形BCDO1为平行四边形，
所以O1D=BC．
因为CM=2MD，DM⊥CM，所以∠DCM=30∘，
在Rt△CDM中，DM=12CD= 3．
由O2D=O2M，O1O2⊥O2D，O1O2⊥O2M可得，O1M=O1D.
在△DO1M中，cs∠MO1D=O1M2+O1D2−32O1M⋅O1D=58，
解得O1M=O1D=2，故BC=2．
5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何?”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 尺.
解：如图，一条直角边(即枯木的高)长20尺，另一条直角边长5×3=15(尺)，
因此葛藤的最短长度为 202+152=25(尺)．故答案为：25．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固圆柱、圆锥和圆台、球以及简单组合体的定义和特征，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
认识一个几何体，基本思路：先由实物抽象出几何体，类比棱柱、棱锥、棱台结合旋转体的概念逐个探究了圆柱、圆锥、圆台、球的相关知识.
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.