2025届高三数学一轮专题复习：圆锥曲线的方程（8）讲义（含答案）

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典例1、如图，已知椭圆分别是长轴的左、右两个端点，是右焦点．椭圆
C过点，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线上有两个点，且，连接交椭圆C于另一点P（不同于点），证明：三点共线．
随堂练习：已知椭圆：（）过点，且焦距与长轴之比为.设，为椭圆的左､右顶点，为椭圆上异于，的一点，直线，分别与直线：相交于，两点，且直线与椭圆交于另一点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求证：直线与的斜率之积为定值；
（3）判断三点，，是否共线，并证明你的结论.
典例2、已知椭圆，由E的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.
（1）求E的方程；（2）过E的右焦点F做相互垂直的两条直线，，分别和E交点A，B，C，D，若由点A，B，C，D构成的四边形的面积是，求，的方程.
随堂练习：已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合．
（1）求椭圆的离心率与抛物线的方程；（2）过焦点的动直线与抛物线交于，两点，从原点作直线的垂线，垂足为，求动点的轨迹方程；（3）点为椭圆上的点，设直线与平行，且直线与椭圆交于，两点，若的面积为1，求直线的方程．
典例3、椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
（1）求椭圆的离心率；
（2）直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
随堂练习：已知椭圆的上顶点与椭圆左、右顶点连线的斜率之积为．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为 （为坐标原点），求椭圆的标准方程．
知识点二 根据a、b、c求椭圆标准方程,根据韦达定理求参数,根据弦长求参数
典例4、已知椭圆与的离心率相同，过的右焦点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线与椭圆、的交点从上到下依次为、、、，且，求的值．
随堂练习：已知①如图，长为，宽为的矩形，以､为焦点的椭圆恰好过
两点②设圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，过点作的平行线交于，判断点的轨迹是否椭圆
（1）在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆的标准方程；
（2）根据（1）所得椭圆的标准方程，若直线被椭圆截得的弦长等于短轴长，求的值.
典例5、已知椭圆，过点．
（1）求C的方程；
（2）若不过点的直线l与C交于M，N两点，且满足，试探究：l是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
随堂练习：已知为椭圆上一点，上、下顶点分别为、，右顶点为，
且.
（1）求椭圆的方程；
（2）点为椭圆上异于顶点的一动点，直线与交于点，直线交轴于点.求证：直线 过定点.
典例6、已知直线经过椭圆的右焦点，且椭圆C的离心率为．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）以椭圆的短轴为直径作圆，若点M是第一象限内圆周上一点，过点M作圆的切线交椭圆C于P，Q两点，椭圆C的右焦点为，试判断的周长是否为定值．若是，求出该定值．
随堂练习：已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点是椭圆的右焦点，且点
在椭圆上，直线与椭圆交于A，两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积；
（3）对，的周长是否为定值？若是，给出证明，并求出定值；若不是，说明理由.
2025高考--圆锥曲线的方程（一轮复习）课时八答案
典例1、答案：（1） （2）证明见解析
解：（1）由题意可知：，
， 椭圆C的方程为；
（2）证明：设，
由于，因此，，
直线的斜率为， 直线的方程为，
代入椭圆方程得：，
整理得：，
设，
代入直线的方程得，
直线的斜率为，
直线的斜率为， ，
所以三点共线．
随堂练习：答案： （1）；（2）定值为，证明见解析；
（3），，三点共线，证明见解析.
解:（1）由题知：， 所以椭圆：.
（2）由题知：，存在，且不为零，设，，，
则，即. .
所以直线与的斜率之积为定值.
（3），，三点共线，证明如下：
设直线：，则直线：，
将代入直线，得：，，
，设直线：，
，
设，则，解得，
所以，即，
所以，，
所以， 为公共点，所以，，三点共线.
典例2、答案： （1） （2）与的方程分别为：，
解：（1）由已知，，，所以E的方程为.
（2）又题意中，，
①若或斜率不存在，易知，不符合题意；
②若斜率存在，设，和的方程联立得：
，，，
，
设，同理可得，
所以
解得，，所以与的方程分别为：，，
随堂练习：答案： （1）离心率为；抛物线的方程为
（2） （3）
解：（1）因，，故，从而椭圆的离心率为．
且椭圆的右焦点坐标为．
于是由椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，得，即．
从而抛物线的方程为．
（2）设动点的坐标为，由条件，且点，在直线上，可得．
于是． 即．
故动点的轨迹方程为：．
（3）由于，设直线方程为，，．
由得，故．
则． 又点到直线的距离，
故由，
解得，从而．因此，直线的方程为．
典例3、答案： （1） （2）
解：（1），
离心率为.
（2）由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
随堂练习：答案： （1） （2）
解：（1）由题知椭圆上顶点的坐标为，左、右顶点的坐标分别为、，
所以，即，
又，所以，所以椭圆的离心率.
（2）设、，联立得，
所以，可得，，，
所以，
又原点到直线的距离，所以，
解得，因此，椭圆的方程为．
典例4、答案： （1）；（2）．
解:（1）设椭圆的方程为，焦距为，
将代入的方程可得，解得.
由题意得，解得，因此的方程为；
（2）设、、、，

由，得（或），
与、相交，只需当时，，解得.
当时，，
由韦达定理可得，所以，与的中点相同， 所以，，
即，
整理可得，解得，满足条件.
随堂练习：答案： （1）;（2）.
解: （1）选①：由已知，将代入椭圆方程得： 故椭圆方程为：
选②：由题设可得如下示意图，易知：△为等腰三角形且，
∴，又，即， ∴，则，
∵，
∴椭圆定义知：动点到两定点的距离和为定值4，
∴的轨迹方程为.

（2）联立与椭圆方程可得：，且，
若交点为，则，，
∴直线被椭圆截得的弦长为，而短轴长为2，
∴，解得.
典例5、答案：（1） （2）直线过定点
解：（1）由题意，，解得， 所以椭圆C的标准方程为．
（2）因为，两边平方，化简整理得，
易知直线l的斜率存在，设其方程为，其中．
由，得，
，
设，则，
所以
，
所以，
即，
因为，所以，
所以，
得，解得，满足，
所以直线l的方程为：，即直线过定点
随堂练习：答案： （1） （2）证明见解析
解：（1）因为为椭圆上一点，所以.
因为，所以，整理得，解得或.
当时，，与矛盾.所以，.
椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则.
因为， 由解得，.
因为，所以，整理得，
所以，.
所以，所以.
令，得.
所以，
所以.
所以. 所以直线过定点.
典例6、答案： （1） （2）周长是定值，且定值为4
解：（1）因为经过椭圆的右焦点，令，则，所以椭圆的右焦点为，可得：，
又，可得：，由，所以，
∴椭圆的标准方程为 ；
（2）设直线的方程为，
由得：，
所以，
设，，则：，
所以
.
因为直线与圆相切，所以，即，
所以，
因为，
又， 所以， 同理.
所以，
即的周长是定值，且定值为4．
随堂练习：答案： （1） （2） （3）是，定值为8，证明见解析
解：（1）长轴长是焦距的2倍，则，则，
∴椭圆为，代入点得，解得.
∴椭圆的方程为.
（2），则直线为，过椭圆左焦点，右焦点为.
设，由得，∴，
，.
∴. ∴.
（3）的周长为定值，理由如下： 直线l恒过椭圆左焦点，
由椭圆定义可知的周长为.