人教版数学七年级下册期末压轴题训练专题01 相交线与平行线（2份，原卷版+解析版）

这是一份人教版数学七年级下册期末压轴题训练专题01 相交线与平行线（2份，原卷版+解析版），文件包含人教版数学七年级下册期末压轴题训练专题01相交线与平行线原卷版doc、人教版数学七年级下册期末压轴题训练专题01相交线与平行线解析版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。

A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路引导】】根据线段垂直平分线的性质以及角平分线的性质，三角形外角的性质即可得到结论．
【完整解答】解：∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，故①成立；
∵AD是△ABC的角平分线，
∴点D到AB和AC的距离相等，
∴S△ABD：S△ACD＝AB：AC，故②成立；
∵AF＝DF，
∴∠DAF＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠DAF＝∠CAD+∠CAF，
∠ADF＝∠BAD+∠B，
∴∠B＝∠CAF，
∵∠BAF＝∠BAC+∠CAF，∠ACF＝∠BAC+∠B，
∴∠BAF＝∠ACF，故③成立；
根据已知不能得出BF⊥AC，故④不成立；
故选：C．
【考察注意点】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
2．（2021秋•呼和浩特期末）下列命题：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一；②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形；③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17；④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【思路引导】】利用等腰三角形的性质，轴对称图形的性质一一判断即可．
【完整解答】解：①等腰三角形的角平分线、底边中线、高线三线合一，错误，应该是等腰三角形的顶角角平分线、底边中线、底边上的高线三线合一．
②有一个外角等于120°的等腰三角形是等边三角形，正确．
③等腰三角形的一边长为3，另一边为7，则它的周长为13或17，错误，3，3，7不存在．
④轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，正确．
故选：B．
【考察注意点】本题考查命题与定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
3．（2020秋•南岸区期末）如图，D是∠ABC的边BC上一点，DE∥BA，∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，若∠F＝α，则∠ABE的大小为（ ）
A．αB．αC．2αD．
【思路引导】】由角平分线的定义可得∠EBF＝∠CBF，∠EDF＝∠CDF，由三角形的外角性质可得∠EOF＝∠EBF+∠E，∠EOF＝∠EDF+∠F，∠CBF+∠F＝∠CDF，从而可求解．
【完整解答】解：如图，
∵∠CBE和∠CDE的平分线交于点F，
∴∠EBF＝∠CBF，∠EDF＝∠CDF，
∵∠EOF＝∠EBF+∠E，∠EOF＝∠EDF+∠F，∠CBF+∠F＝∠CDF，
∴∠EBF+∠E＝∠EDF+∠F，∠EDF＝∠CBF+∠F，
∴∠CDF﹣∠F+∠E＝∠CDF+∠F，
∴∠E＝2∠F，
即∠E＝2α，
∵DE∥BA，
∴∠ABE＝∠E＝2α．
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系，求得∠E＝2α．
4．（2021春•红谷滩区校级期末）如图，将长方形ABCD沿线段EF折叠到EB'C'F的位置，若∠EFC'＝100°，则∠DFC'的度数为（ ）
A．20°B．30°C．40°D．50°
【思路引导】】由轴对称的性质可求出∠EFC的度数，可由式子∠EFC+∠EFC'﹣180°直接求出∠DFC'的度数．
【完整解答】解：由翻折知，∠EFC＝∠EFC'＝100°，
∴∠EFC+∠EFC'＝200°，
∴∠DFC'＝∠EFC+∠EFC'﹣180°＝200°﹣180°＝20°，
故选：A．
【考察注意点】本题考查了翻折变化（轴对称）的性质及角的计算，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用轴对称变换的性质等．
5．（2021春•奉化区校级期末）如图，AD∥BC，∠D＝∠ABC，点E是边DC上一点，连接AE交BC的延长线于点H．点F是边AB上一点．使得∠FBE＝∠FEB，作∠FEH的角平分线EG交BH于点G，若∠DEH＝100°，则∠BEG的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【思路引导】】AD∥BC，∠D＝∠ABC，则AB∥CD，则∠AEF＝180°﹣∠AED﹣∠BEG＝180°﹣2β，在△AEF中，100°+2α+180°﹣2β＝180°，故β﹣α＝40°，即可求解．
【完整解答】解：设FBE＝∠FEB＝α，则∠AFE＝2α，
∠FEH的角平分线为EG，设∠GEH＝∠GEF＝β，
∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD＝180°，
而∠D＝∠ABC，∴∠D+∠BAD＝180°，∴AB∥CD，
∠DEH＝100°，则∠CEH＝∠FAE＝80°，
∠AEF＝180°﹣∠FEG﹣∠HEG＝180°﹣2β，
在△AEF中，80°+2α+180﹣2β＝180°
故β﹣α＝40°，
而∠BEG＝∠FEG﹣∠FEB＝β﹣α＝40°，
故选：B．
【考察注意点】本题考查的是平行线的性质，涉及到角平行线、外角定理，本题关键是落脚于△AEF内角和为180°，即100°+2α+180°﹣2β＝180°，题目难度较大．
6．（2020秋•奉化区校级期末）在△ABC中，BC＝6，AC＝3，过点C作CP⊥AB，垂足为P，则CP长的最大值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【思路引导】】根据垂线段的性质：从直线外的一点与直线上各点连线的线段中，垂线段最短即可得出结论．
【完整解答】解：如图，
∵CP⊥AB，
∴CP≤AC，CP≤BC，
∵BC＝6，AC＝3，
∴CP≤3，CP≤6，
∴PC≤3，
∴CP长的最大值为3，
故选：C．
【考察注意点】本题主要考查了垂线段的性质，熟记从直线外的一点与直线上各点连线的线段中，垂线段最短是解题的关键．
二．填空题
7．（2021秋•南岗区期末）如图，m∥n，l⊥n，垂足为点A，l交m于点B，点C在直线n上，请在直线m上取一点D，连接CD，过点D作DE⊥CD交直线l于点E，若∠BED＝60°，则∠ACD＝ 120或60 度．
【思路引导】】分E在B上方、E'在B下方两种情况，画出图形，根据已知可得答案．
【完整解答】解：如图：
①当E在B上方时，
∵m∥n，l⊥n，
∴∠EBD＝90°，
∵∠BED＝60°，
∴∠BDE＝30°，
∵DE⊥CD，
∴∠BDC＝60°，
∵m∥n，
∴∠ACD＝180°﹣∠BDC＝120°，
②当E'在B下方时，
∠BD'E'＝30°，
∵CD'⊥D'E'，
∴∠DD'C＝60°，
∴∠ACD'＝60°，
综上所述，∠ACD为120°或60°，
故答案为：120或60．
【考察注意点】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是分类画出图形，掌握两直线平行，同位角、内错角相等，同旁内角互补．
8．（2021秋•长春期末）命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是 到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上 ．
【思路引导】】把原命题的题设与结论交换得到逆命题．
【完整解答】解：命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上，
故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段垂直平分线上．
【考察注意点】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够区分原命题的题设和结论，难度不大．
9．（2020秋•成都期末）如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若∠β＝56°，则∠α＝ 62° ．
【思路引导】】由于纸片的两边平行，可得∠1＝∠β＝56°，由折叠可得重合的角相等，利用平角可求得∠α的度数．
【完整解答】解：如图所示：
∵纸片两边平行，
∴∠1＝∠β＝56°，
由折叠的性质得：2∠α+∠1＝180°，
∴2∠α+56°＝180°，
解得：∠α＝62°．
故答案为：62°．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质、翻折变换问题；找着重合的角，利用平角定义列出方程是解题的关键．
10．（2021秋•南岗区校级期中）如图，在直线AB上有一点O，OC⊥OD，OE是∠DOB的角平分线，当∠DOE＝20°时，∠AOC＝ 50 °．
【思路引导】】由OE是∠DOB的角平分线，得∠DOE＝∠BOE＝20°，由OC⊥OD，得∠COD＝90°，求∠AOC＝180°﹣∠BOC的度数即可．
【完整解答】解：∵OE分别是∠DOE的平分线，∠DOE＝20°，
∴∠DOE＝∠BOE＝20°，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠BOC＝∠COD+∠BOD＝90°+20°+20°＝130°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣130°＝50°．
故答案为：50°．
【考察注意点】此题考查了角平分线定义，熟练掌握角平分线定义是解本题的关键．
11．（2021秋•香坊区校级期中）如图，已知AB∥CD，BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，∠F＝40°，则∠E＝ 20° ．
【思路引导】】延长EB交CD于点G，由角平分线的定义可得∠ABE＝∠EBF＝∠ABF，∠CDE＝∠EDF＝∠CDF，由三角形的外角性质可得∠CGE＝∠E+∠CDE，再由平行线的性质可得∠ABE＝∠AGE＝∠ABF，则有∠CDE＝∠ABF﹣∠E，再由三角形的内角和可得∠BME＝180°﹣∠E﹣∠EBF＝180°﹣∠E﹣∠ABF，从而得∠DMF＝180°﹣∠E﹣∠ABF，利用三角形的内角和即可求解．
【完整解答】解：延长EB交CD于点G，如图，
∵BE、DE分别平分∠ABF、∠CDF，
∴∠ABE＝∠EBF＝∠ABF，∠CDE＝∠EDF＝∠CDF，
∵∠CGE是△DGE的一个外角，
∴∠CGE＝∠E+∠CDE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠AGE＝∠ABF，
∴∠CDE＝∠ABF﹣∠E，
∴∠EDF＝∠ABF﹣∠E，
∵∠BME＝180°﹣∠E﹣∠EBF＝180°﹣∠E﹣∠ABF，
∴∠DMF＝180°﹣∠E﹣∠ABF，
在△DMF中，∠F+∠MDF+∠DMF＝180°，
∴40°+∠ABF﹣∠E+180°﹣∠E﹣∠ABF＝180°，
解得：∠E＝20°．
故答案为：20°．
【考察注意点】本题主要考查平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
12．（2021秋•香坊区校级期中）已知AB∥CD，∠ACD＝60°，∠BAE：∠CAE＝2：3，∠FCD＝4∠FCE，若∠AEC＝78°，则∠AFC＝ 88° ．
【思路引导】】先求出∠CAB＝120°，在求出∠CAF的度数，在△ACE中求出∠ACE度数，设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，进而表示出∠ACF，再表示出∠ACE，求出x，进一步可求得结果．
【完整解答】解：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝180°﹣∠ACD＝180°﹣60°＝120°，
∵∠BAE：∠CAE＝2：3，
∴∠CAE＝120×＝72°，
∵∠AEC＝78°，
∴∠ACE＝180°﹣∠AEC﹣∠CAE
＝180°﹣78°﹣72°
＝30°，
设∠FCE＝x，则∠FCD＝4x，
∴∠ACF＝∠ACD﹣∠FCD＝60°﹣4x，
∴∠ACE＝∠ACF+∠ECF＝60°﹣3x，
∴60°﹣3x＝30°，
∴x＝10°，
∴∠ACF＝60°﹣40°＝20°，
∴∠AFC＝180°﹣∠ACF﹣∠CAE
＝180°﹣20°﹣72°
＝88°，
故答案是：88°．
【考察注意点】本题考查了平行线性质，三角形内角和定理，角的和差关系等知识，解决问题的关键是弄清角与角的数量关系．
13．（2021春•东港区校级期末）把一张对边互相平行的纸条，折成如图所示，EF是折痕，若∠EFB＝32°，则下列结论：①∠C'EF＝32°；②∠AEC＝1480'；③∠BGE＝64°；④∠BFD＝116°．正确的有 3 个．
【思路引导】】根据平行线的性质由AC′∥BD′，得到∠C′EF＝∠EFB＝32°；根据折叠的性质得∠C′EF＝∠FEC，则∠C′EC＝2×32°＝64°，利用平角的定义得到∠AEC＝180°﹣64°＝116°；再根据折叠性质有∠BFD＝∠EFD′，利用平角的定义得到∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°；根据平行线性质可得∠BGE＝∠C′EC＝2×32°．
【完整解答】解：∵AC′∥BD′，
∴∠C′EF＝∠EFB＝32°，所以①正确；
∵∠C′EF＝∠FEC，
∴∠C′EC＝2×32°＝64°，
∴∠AEC＝180°﹣64°＝116°＝6960′，所以②错误；
∴∠BFD＝∠EFD′﹣∠BFE＝180°﹣2∠EFB＝180°﹣64°＝116°，所以④正确；
∵∠BGE＝∠C′EC＝2×32°＝64°，所以③正确．
故答案为3．
【考察注意点】本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
14．（2021春•涡阳县期末）如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝ （x+y） 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝ （）n﹣1（x+y） 度．
【思路引导】】本题的关键是作过P1的辅助线MN∥AB，然后利用平行线的性质、角平分线的定义，结合归纳推理思想解决本题．
【完整解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB，
∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°．
又∵AB∥CD，
∴MN∥CD．
∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°．
∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°．
（2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1，
∴＝．
．
以此类推：，，...，．
故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）．
【考察注意点】主要考查平行线的性质及角平分线的定义，利用归纳推理的思想解决．
15．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，CF平分∠DCG，GE平分∠CGB交FC的延长线于点E，若∠E＝34°，则∠B的度数为 68° ．
【思路引导】】如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．构建方程组证明∠GMC＝2∠E即可解决问题．
【完整解答】解：如图，延长DC交BG于M．由题意可以假设∠DCF＝∠GCF＝x，∠CGE＝∠MGE＝y．
则有，
①﹣②×2可得：∠GMC＝2∠E，
∵∠E＝34°，
∴∠GMC＝68°，
∵AB∥CD，
∴∠GMC＝∠B＝68°，
故答案为68°．
【考察注意点】本题考查平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟悉基本图形，学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
16．（2019秋•南岗区校级期中）已知∠AOB和∠BOC互为邻补角，且∠AOB＜∠BOC，OD平分∠BOC，射线OE在∠AOB内部，且4∠BOE+∠BOC＝180°，∠DOE＝70°，OM⊥OB，则∠MOE＝ 110°或70° ．
【思路引导】】分两种情况进行讨论：OM在AC上方，或OM在AC下方，先依据已知条件求得∠BOE的度数，再根据∠MOB＝90°，即可得到∠MOE的度数．
【完整解答】解：分两种情况进行讨论：
①如图1所示，若OM在AC上方，
∵OD平分∠BOC，
∴∠COD＝∠BOD，
∵4∠BOE+∠BOC＝180°，∠AOB+∠BOC＝180°，
∴∠AOB＝4∠BOE，即∠AOE＝3∠BOE，
设∠BOE＝α，则∠AOE＝3α，∠BOD＝70°﹣α＝∠COD，
∵∠AOC为平角，
∴∠AOE+∠DOE+∠COD＝180°，
即3α+70°+70°﹣α＝180°，
解得α＝20°，
∴∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠BOE+∠MOB＝20°+90°＝110°；
②如图2所示，若OM在AC下方，
同理可得，∠BOE＝20°，
又∵OM⊥OB，
∴∠MOB＝90°，
∴∠MOE＝∠MOB﹣∠BOE＝90°﹣20°＝70°；
综上所述，∠MOE的度数为110°或70°．
故答案为：110°或70°．
【考察注意点】本题主要考查了垂线，角平分线的定义，邻补角的定义，根据等量关系，利用方程思想求得∠BOE的度数是解决问题的关键．
17．（2021春•乐清市期末）将一副三角板如图1所示摆放，直线GH∥MN，现将三角板ABC绕点A以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为t秒，如图2，∠BAH＝t°，∠FDM＝2t°，且0≤t≤150，若边BC与三角板的一条直角边（边DE，DF）平行时，则所有满足条件的t的值为 30或120 ．
【思路引导】】根据题意得∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，分两种情况讨论：①DE在MN上方时，②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，列式求解即可；（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，列式求解即可．
【完整解答】解：由题意得，∠HAC＝∠BAH+∠BAC＝t°+30°，∠FDM＝2t°，
（1）如图1，当DE∥BC时，延长AC交MN于点P，
①DE在MN上方时，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDM＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDM＝∠HAC，即2t°＝t°+30°，
∴t＝30，
②DE在MN下方时，∠FDP＝2t°﹣180°，
∵DE∥BC，DE⊥DF，AC⊥BC，
∴AP∥DF，
∴∠FDP＝∠MPA，
∵MN∥GH，
∴∠MPA＝∠HAC，
∴∠FDP＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
（2）当BC∥DF时，延长AC交MN于点I，
①DF在MN上方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，
∴AI∥DF，
∴∠FDN+∠MIA＝90°，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠FDN+∠HAC＝90°，即180°﹣2t°+t°+30°＝90°，
∴t＝120，
②DF在MN下方时，∠FDN＝180°﹣2t°，
∵DF∥BC，AC⊥BC，DE⊥DF，
∴AC∥DE，
∴∠AIM＝∠MDE，
∵MN∥GH，
∴∠MIA＝∠HAC，
∴∠EDM＝∠HAC，即2t°﹣180°＝t°+30°，
∴t＝210（不符合题意，舍去），
综上所述：所有满足条件的t的值为30或120．
故答案为：30或120．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质．
18．（2021春•奉化区校级期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝33°，则∠E＝ 82° ．
【思路引导】】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝33°，即可得到∠E的度数．
【完整解答】解：如图，过F作FH∥AB，
∵AB∥CD，
∴FH∥AB∥CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，
∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，
即∠E+2∠BFC＝180°，①
又∵∠E﹣∠BFC＝33°，
∴∠BFC＝∠E﹣33°，②
∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣33°）＝180°，
解得∠E＝82°，
故答案为：82°．
【考察注意点】本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
三．解答题
19．（2021秋•朝阳区校级期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°．
（1）若∠1＝25°，则∠2的度数为 65° ；
（2）直接写出∠1与∠3的数量关系： ∠1＝∠3 ；
（3）直接写出∠2与∠ACB的数量关系： ∠2+∠ACB＝180° ；
（4）如图2，当∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？请直接写出∠ACE角度所有可能的值 30°或45°或120°或135°或165° ．
【思路引导】】（1）结合图可知∠1+∠2＝90°，从而可求解；
（2）利用∠ACD＝∠BCE＝90°，从而可求得∠1＝∠3；
（3）结合图形可得∠ACB＝∠1+∠2+∠3，则可求解；
（4）分5种情况进行讨论：①BC∥AD；②BE∥AC；③AD∥CE；④BE∥CD；⑤BE∥AD，结合平行线的判定与性质进行求解即可．
【完整解答】解：（1）∵∠1＝25°，∠ACD＝90°，
∴∠2＝∠ACD﹣∠1＝65°，
故答案为：65°；
（2）∵∠1+∠2＝∠ACD＝90°，∠2+∠3＝∠BCE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，
故答案为：∠1＝∠3；
（3）∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACB+∠2
＝∠1+∠2+∠3+∠2
＝∠ACD+∠BCE
＝180°，
即∠2+∠ACB＝180°，
故答案为：∠2+∠ACB＝180°；
（4）存在，
①当BC∥AD时，
∵BC∥AD，
∴∠BCD＝∠D＝30°，
∴∠ACB＝90°+30°＝120°，
∴∠ACE＝∠ACB﹣∠BCE＝120°﹣90°＝30°；
②当BE∥AC时，如图，
∵BE∥AC，
∴∠ACE＝∠E＝45°；
③当AD∥CE时，如图，
∵AD∥CE，
∴∠DCE＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝90°+30°＝120°；
④当BE∥CD时，如图，
∵BE∥CD，
∴∠DCE＝∠E＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°；
⑤当BE∥AD时，如图，
过点C作CF∥AD，
∵BE∥AD，CF∥AD，
∴BE∥AD∥CF，
∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，
∴∠DCE＝30°+45°＝75°，
∴∠ACE＝90°+75°＝165°．
综上所述：当∠ACE＝30°或45°或120°或135°或165°时，有一组边互相平行．
故答案为：30°或45°或120°或135°或165°．
【考察注意点】本题考查的是平行线的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质，注意利用两角互余的性质，角的和差进行计算．
20．（2021秋•福田区校级期末）点E在射线DA上，点F、G为射线BC上两个动点，满足∠DBF＝∠DEF，∠BDG＝∠BGD，DG平分∠BDE．
（1）如图1，当点G在F右侧时，求证：BD∥EF；
（2）如图2，当点G在F左侧时，求证：∠DGE＝∠BDG+∠FEG；
（3）如图3，在（2）的条件下，P为BD延长线上一点，DM平分∠BDG，交BC于点M，DN平分∠PDM，交EF于点N，连接NG，若DG⊥NG，∠B﹣∠DNG＝∠EDN，则∠B的度数为 60° ．
【思路引导】】（1）通过证明∠DBF＝∠EFG，利用同位角相等，两直线平行即可得出结论；
（2）过点E作GH∥BD，交AD于点H，利用（1）的结论和平行线的性质即可得出结论；
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α，∠PDM＝180°﹣α；利用已知条件用含α的式子表示∠PDN，∠EDN，∠GDN，∠DNG，再利用∠B﹣∠DNG＝∠EDN，得到关于α的方程，解方程求得α的值，则∠B＝180°﹣4α，结论可求．
【完整解答】证明：（1）∵DG平分∠BDE，
∴∠BDG＝∠ADG．
又∵∠BDG＝∠BGD，
∴∠ADG＝∠DGB．
∴AD∥BC．
∴∠DEF＝∠EFG．
∵∠DBF＝∠DEF，
∴∠DBF＝∠EFG．
∴BD∥EF．
（2）过点G作GH∥BD，交AD于点H，如图，
∵BD∥EF，
∴GH∥EF．
∴∠BDG＝∠DGH，∠GEF＝∠HGE，
∵∠DGE＝∠DGH+∠HGE，
∴∠DGE＝∠BDG+∠FEG．
（3）设∠BDM＝∠MDG＝α，
则∠BDG＝∠EDG＝∠DGB＝2α，∠PDE＝180°﹣4α．
∴∠PDM＝180°﹣α．
∵DN平分∠PDM，
∴．
∴∠EDN＝∠PDN−∠PDE＝90°﹣﹣（180°﹣4α）＝﹣90°．
∴∠GDN＝∠MDN﹣∠MDG＝90°﹣﹣α＝90°﹣．
∵DG⊥ON，
∴∠DNG＝90°．
∴∠DNG＝90°−（90°−）＝．
∵DE∥BF，
∴∠B＝∠PDE＝180°﹣4α．
∵∠B﹣∠DNG＝∠EDN，
∴180°−4α−＝﹣90°，
解得：α＝30°．
∴∠B＝180°﹣4α＝60°，
故答案为：60°．
【考察注意点】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的意义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键．
21．（2021秋•道里区期末）如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的顶点A，B，C的坐标分别为（﹣1，4），（﹣4，﹣1），（1，1），如果将三角形ABC先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到三角形A1B1C1，点A1，B1，C1分别为点A，B，C平移动后的对应点．
（1）请在图中画出三角形A1B1C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标和三角形A1B1C1的面积．
【思路引导】】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1；
（2）根据点的位置写出坐标即可，把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可．
【完整解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所求；
（2）A1（1，2），B1（﹣2，﹣3），C1（3，﹣1），
三角形A1B1C1的面积＝5×5﹣×3×5﹣×2×3﹣×2×5＝．
【考察注意点】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质学会用分割法求三角形面积．
22．（2021秋•长春期末）已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系： ∠A+∠C＝90° ．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为 45° ．
【思路引导】】（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．
【完整解答】解：（1））过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C＝∠CBE．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：
过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE．
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN．
∴∠C+∠CBE＝180°．
∴∠CBE＝180°﹣∠C．
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°．
∴∠ABE+∠CBE＝90°．
∴∠A+180°﹣∠C＝90°．
∴∠C﹣∠A＝90°．
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝∠MAB．
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝∠BCN．
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．
∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．
∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【考察注意点】本题主要考查了垂线的性质，平行线的性质，过点B作BE∥AM是解题的关键．
23．（2021秋•德惠市期末）已知AB∥CD，点E是AB，CD之间的一点．
（1）如图1，试探索∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系；
以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：
解：过点E作PE∥AB（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行）．
∵AB∥CD（已知），
∴PE∥CD（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ），
∴∠BAE＝∠1，∠DCE＝∠2（ 两直线平行，内错角相等 ），
∴∠BAE+∠DCE＝ ∠1 + ∠2 （等式的性质）．
即∠AEC，∠BAE，∠DCE之间的数量关系是 ∠AEC＝∠BAE+∠DCE ．
（2）如图2，点F是AB，CD之间的一点，AF平分∠BAE，CF平分∠DCE．
①若∠AEC＝74°，求∠AFC的大小；
②若CG⊥AF，垂足为点G，CE平分∠DCG，∠AEC+∠AFC＝126°，求∠BAE的大小．
【思路引导】】（1）结合图形利用平行线的性质填空即可；
（2）①利用图1的结论来解决即可；
②利用①的结论先求∠AEC，∠AFC的度数，然后再利用图1的结论解答即可．
【完整解答】解：（1）平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠1，∠2，
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
（2）①由（1）得：
∠AEC＝∠BAE+∠DCE，
∠AFC＝∠BAF+∠DCF，
∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠BAF＝∠BAE，∠DCF＝∠DCE，
∴∠AFC＝∠BAF+∠DCF
＝∠BAE+∠DCE
＝∠AEC
＝×74°
＝37°；
②由①得：∠AEC＝2∠AFC，
∵∠AEC+∠AFC＝126°，
∴∠AFC＝42°，∠AEC＝82°，
∵CG⊥AF，
∴∠CGF＝90°，
∴∠GCF＝48°，
∵CE平分∠DCG，
∴∠GCE＝∠ECD，
∵CF平分∠DCE，
∴∠DCE＝2∠DCF＝2∠ECF，
∴∠GCF＝3∠DCF，
∴∠DCF＝16°，
∴∠DCE＝32°，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠DCE＝52°．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质，平行线公理及推论，学生必须从已知条件入手，借助图形分析角之间的关系，从而找到解题思路．
24．（2021秋•九龙县期末）如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B；
（3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数．
【思路引导】】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论；
（2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论；
（3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解．
【完整解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ，
∴∠E＝∠BQM，
∴EF∥BC；
（2）证明：∵FP⊥AC，
∴∠PGC＝90°，
∵EF∥BC，
∴∠EAC+∠C＝180°，
∵∠2+∠C＝90°，
∴∠BAC＝∠PGC＝90°，
∴AB∥FP，
∴∠1＝∠B；
（3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF，
∴∠3+∠MNF＝180°，
∴AB∥FP，
∴∠F+∠BAF＝180°，
∵∠BAF＝3∠F﹣20°，
∴∠F+3∠F﹣20°＝180°，
解得∠F＝50°，
∵AB∥FP，EF∥BC，
∴∠B＝∠1，∠1＝∠F，
∴∠B＝∠F＝50°．
【考察注意点】本题主要考查平行线的性质与判定，垂线的定义，灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键．
25．（2021秋•法库县期末）如图，∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP＝x°．
（1）如图1，若DE∥OB．
①∠DEO的度数是 20 °，当DP⊥OE时，x＝ 70 ；
②若∠EDF＝∠EFD，求x的值；
（2）如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．
【思路引导】】（1）①运用平行线的性质以及角平分线的定义，可得∠DEO的度数及x的值；②根据∠ODE、∠FDE的度数，可得x的值；
（2）分两种情况进行讨论：DP在DE左侧，DP在DE右侧，分别根据三角形内角和定理以及直角的度数，可得x的值．
【完整解答】解：（1）①∵∠AOB＝40°，OC平分∠AOB，
∴∠BOE＝20°，
∵DE∥OB，
∴∠DEO＝∠BOE＝20°；
∵∠DOE＝∠DEO＝20°，
∴DO＝DE，∠ODE＝140°，
当DP⊥OE时，∠ODP＝∠ODE＝70°，
即x＝70，
故答案为：20，70；
②∵∠DEO＝20°，∠EDF＝∠EFD，
∴∠EDF＝80°，
又∵∠ODE＝140°，
∴∠ODP＝140°﹣80°＝60°，
∴x＝60；
（2）存在这样的x的值，使得∠EFD＝4∠EDF．
分两种情况：
①如图2，若DP在DE左侧，
∵DE⊥OA，
∴∠EDF＝90°﹣x°，
∵∠AOC＝20°，
∴∠EFD＝20°+x°，
当∠EFD＝4∠EDF时，20°+x°＝4（90°﹣x°），
解得x＝68；
②如图3，若DP在DE右侧，
∵∠EDF＝x°﹣90°，∠EFD＝180°﹣20°﹣x°＝160°﹣x°，
∴当∠EFD＝4∠EDF时，160°﹣x°＝4（x°﹣90°），
解得x＝104；
综上所述，当x＝68或104时，∠EFD＝4∠EDF．
【考察注意点】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用，三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和．解题时注意分类讨论思想的运用．
26．（2021秋•农安县期末）如图，点P是∠AOB的边OB上的一点，过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（1）过点P画OA的垂线，垂足为H；
（2）线段PH的长度是点P到 OA 的距离， 线段CP的长度 是点C到直线OB的距离．线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 PH＜PC＜OC （用“＜”号连接）
【思路引导】】（1）过点P画OA的垂线，即过点P画∠PHO＝90°即可，
（2）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．
【完整解答】解：（1）如图：
（2）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，
线段CP的长度是点C到直线OB的距离，
根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC，
故答案为：OA，线段CP，PH＜PC＜OC．
【考察注意点】本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题．
27．（2021秋•南岗区校级期中）已知，直线EF分别与直线AB、CD相交于点G、H，并且∠AGE+∠DHE＝180°．
（1）如图1，求证：AB∥CD．
（2）如图2，点M在直线AB、CD之间，连接MG、HM，当∠AGM＝32°，∠MHC＝68°时，求∠GMH的度数．
（3）只保持（2）中所求∠GMH的度数不变，如图3，GP是∠AGM的平分线，HQ是∠MHD的平分线，作HN∥PG，则∠QHN的度数是否改变？若不发生改变，请求出它的度数．若发生改变，请说明理由．（本题中的角均为大于0°且小于180°的角）
【思路引导】】（1）先由邻补角得到∠AGE+∠BGE＝180°，然后结合∠AGE+∠DHE＝180°得到∠BGE＝∠DHE，最后得证AB∥CD；
（2）先由AB∥CD得到∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，再结合∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°得到∠GMH＝∠AGM+∠MHC，最后结合已知条件得到∠GMH的大小；
（3）先由（2）得到∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，∠MGH+∠MHG＝80°，然后结合角平分线的定义得到∠MGP和∠MHQ，再结合HN∥PG得到∠GHN＝∠PGH，最后由∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ求得∠QHN的大小．
【完整解答】（1）证明：∵∠AGE+∠BGE＝180°，∠AGE+∠DHE＝180°，
∴∠BGE＝∠DHE，
∴AB∥CD．
（2）解：∵AB∥CD，
∴∠AGH+∠CHG＝180°，即∠AGM+∠MGH+∠MHG+∠MHC＝180°，
∵∠MGH+∠MHG+∠GMH＝180°，
∴∠GMH＝∠AGM+∠MHC，
∵∠AGM＝32°，∠MHC＝68°，
∴∠GMH＝100°．
（3）解：∠QHN的度数不发生改变，理由如下，
由（2）得，∠AGM+∠MHC＝∠GMH＝100°，
∴∠MGH+∠MHG＝80°，
∵GP、HQ分别平分∠MGA和∠MHD，
∴∠MGP＝∠MGA，∠MHQ＝∠MHD＝（180°﹣∠MHC）＝90°﹣∠MHC，
∴∠PGH＝∠MGP+∠MGH＝∠MGA+∠MGH，
∵HN∥PG，
∴∠GHN＝∠PGH＝∠MGA+∠MGH，
∴∠QHN＝∠GHN﹣∠GHQ＝（∠MGA+∠MGH）﹣（∠MHQ﹣∠MHG）＝∠MGA+∠MGH﹣∠MHQ+∠MHG＝∠MGA+80°﹣∠MHQ，
∴∠QHN＝∠MGA+80°﹣（90°﹣∠MHC）＝﹣10°+（∠MGA+∠MHC）＝﹣10°+×100°＝40°．
【考察注意点】本题考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义，解题的关键是熟知平行线的判定与性质求得相关的角度大小．
28．（2021春•江汉区期中）问题探究：
如图①，已知AB∥CD，我们发现∠E＝∠B+∠D．我们怎么证明这个结论呢？
张山同学：如图②，过点E作EF∥AB，把∠BED分成∠BEF与∠DEF的和，然后分别证明∠BEF＝∠B，∠DEF＝∠D．
李思同学：如图③，过点B作BF∥DE，则∠E＝∠EBF，再证明∠ABF＝∠D．
问题解答：
（1）请按张山同学的思路，写出证明过程；
（2）请按李思同学的思路，写出证明过程；
问题迁移：
（3）如图④，已知AB∥CD，EF平分∠AEC，FD平分∠EDC．若∠CED＝3∠F，请直接写出∠F的度数．
【思路引导】（1）如图②中，过点E作EF∥AB，利用平行线的性质证明即可．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．利用平行线的性质证明即可．
（3）设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，根据∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，构建方程求出x+y可得结论．
【完整解答】解：（1）如图②中，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠CEF，
∴∠BED＝∠BEF+∠DEF＝∠B+∠D．
（2）如图③中，过点B作BF∥DE交CD的延长线于G．
∵DE∥FG，
∴∠EDC＝∠G，∠DEB＝∠EBF，
∵AB∥CG，
∴∠G＝∠ABF，
∴∠EDC＝∠ABF，
∴∠DEB＝∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝∠ABE+∠EDC．
（3）如图④中，
∵EF平分∠AEC，FD平分∠EDC，
∴∠AEF＝∠CEF，∠CDF＝∠EDF，
设∠AEF＝∠CEF＝x，∠CDF＝∠EDF＝y，则∠F＝x+y，
∵∠CED＝3∠F，
∴∠CED＝3x+3y，
∵AB∥CD，
∴∠BED＝∠CDE＝2y，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB＝180°，
∴5x+5y＝180°，
∴x+y＝36°，
∴∠F＝36°．
【考察注意点】本题考查平行线的性质，平角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用平行线的性质解决问题．
29．（2021春•兴宾区期末）已知直线l1∥l2，点A，C分别在l1，l2上，点B在直线l1，l2之间，且∠BCN＜∠BAM≤90°．
（1）如图①，求证：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
阅读并将下列推理过程补齐完整：
过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥ BG （ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（ 两直线平行，内错角相等 ）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
（2）如图②，点D，E在直线l1上，且∠DBC＝∠BAM，BE平分∠ABC．
求证：∠DEB＝∠DBE；
（3）在（2）的条件下，如果∠CBE的平分线BF与直线l1平行，试确定∠BAM与∠BCN之间的数量关系，并说明理由．
【思路引导】（1）根据平行于同一条直线的两条直线平行可得AM∥BG，再根据平行线的性质即可得结论；
（2）过点B作BG∥NC，根据l1∥l2，可得AM∥BG，所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，结合（1）即可进行证明；
（3）根据∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，可得∠EBF＝∠DEB，根据BF平分∠CBE，可得∠CBF＝∠EBF，结合（2）可得∠DBC＝3∠FBC，中根据平行线的性质即可得结论．
【完整解答】（1）解：如图①，过点B作BG∥MC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG（平行于同一条直线的两条直线平行）．
所以∠ABG＝∠BAM，∠CBG＝∠BCN（两直线平行，内错角相等）．
所以∠ABC＝∠ABG+∠CBG＝∠BAM+∠BCN．
故答案为：BG，平行于同一条直线的两条直线平形，两直线平行，内错角相等；
（2）证明：如图②，过点B作BG∥NC，因为l1∥l2，
所以AM∥BG，
所以∠DEB＝∠EBG，∠CBG＝∠BCN，
由（1）知：∠ABC＝∠BAM+∠BCN．
又∠DBC＝∠BAM，
所以∠ABC＝∠DBC+∠BCN．
因为∠ABC＝∠ABD+∠DBC．
所以∠ABD＝∠BCN，
所以∠ABD＝∠CBG，
因为BE平分∠ABC．
所以∠ABE＝∠EBC，
所以∠DBE＝∠EBG，
所以∠DEB＝∠DBE；
（3）解：∠BAM＝3∠BCN，理由如下：
因为∠DBC＝∠DBE+∠EBF+∠FBC，BF∥AM，
所以∠EBF＝∠DEB，
因为BF平分∠CBE，
所以∠CBF＝∠EBF，
由（2）知：∠DEB＝∠DBE，
所以∠DBC＝3∠FBC，
因为CN∥l1，
所以CN∥BF，
所以∠FBC＝∠BCN，∠DBC＝3∠BCN，
而∠BAM＝∠DBC，
所以∠BAM＝3∠BCN．
【考察注意点】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用