广东省中山一中集团2024-2025学年九年级上学期10月整理数学卷（解析版）-A4

这是一份广东省中山一中集团2024-2025学年九年级上学期10月整理数学卷（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
温馨提示：请将答案写在答题卡上，不要写在本试卷．
一、单项选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1. 抛物线 的顶点坐标是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，根据的顶点为直接求解即可得到答案；
【详解】解：抛物线的顶点为：，
故选：B．
2. 若是方程的根，则 的值为 （ ）
A. 2021B. 2025C. 2029D. 2030
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根，及利用整体代入法求代数式的值，熟练掌握以上知识是解题的关键．
由是方程的根，可得，进而可得，然后整体代入所求的式子当中求值即可．
【详解】解：∵是方程的根，
，
，
．
故选：C．
3. 关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 0B. ﹣1C. ﹣2D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选B．
【点睛】本题考查了根判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键．
4. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先将二次项系数化为1，再移项，同时配方，即可得出答案．
【详解】两边除以2，得，
移项，得，
配方，得，
即．
故选：D．
5. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是
C. 该函数的最大值是D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了的图象性质，根据顶点坐标为，对称轴，开口方向，进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、因为中的，函数图象的开口向上，故该选项是错误的；
B、因为，所以函数图象的顶点坐标是，故该选项是错误的；
C、因为，函数图象的开口向上，该函数的最小值是，故该选项是错误的；
D、因为对称轴，，函数图象的开口向上，当时，y随x的增大而增大，故该选项是正确的；
故选：D
6. 中国新能源汽车技术领先全球，重庆某新能源汽车销售公司年盈利万元，年盈利万元，且从年到年，每年盈利的年增长率相同．设每年盈利的年增长率为，则列方程得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，设每年盈利的年增长率为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设每年盈利的年增长率为，
由题意得：，
故选：．
7. 已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，求出一元二次方程的解，得到直角三角形的两条直角边的长，再根据直角三角形的面积计算公式计算即可求解，正确求出一元二次方程的解是解题的关键．
【详解】解：解方程得，，，
∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，
∴直角三角形的两条直角边的长分别为和，
∴此直角三角形的面积为，
故选：．
8. 已知抛物线，则当时，函数的最大值为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】把抛物线化为顶点式，得到对称轴为，当时，函数的最小值为，再分别求出和时的函数值，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，当时，函数的最小值为，
当时，，当时，，
∴当时，函数的最大值为2，
故选：D
【点睛】此题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
9. 在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数图象与y轴交点的位置和一次函数的增减性，判断出m的符号，即可确定出正确的选项．
【详解】A．由直线与y轴的交点在y轴的负半轴上可知，＜0，错误；
B．由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上可知，m＞0，由直线可知，﹣m＞0，错误；
C．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＜0，错误；
D．由抛物线y轴的交点在y轴的负半轴上可知，m＜0，由直线可知，﹣m＞0，正确，
故选D．
考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象．
【点睛】本题考查了二次函数的图象、一次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，由二次函数二次项系数结合选项找出m＜0是解题的关键．
10. 义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．小王同学画出了函数的图象（如图），下列结论错误的是（ ）

A. 图象具有对称性，对称轴是直线
B. 当时，函数有最大值是4
C. 使得成立的x值有4个
D. 当或时，函数值随x值的增大而减小
【答案】B
【解析】
【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．
【详解】解：A、观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线，正确，故本选项不符合题意；
B、令，可得，
，
，
和是函数图象与x轴的交点坐标，
由图象可知，当时，函数值随x的减小而增大，
当时，函数值随x的增大而增大，
综合来看：，
所以当时的函数值为4并非最大值，
原结论错误，故本选项符合题意；
C、当时，即，
或，
或，
或，
两个方程均有两个不相等的实数根，
使得成立的x值有4个，正确，故本选项不符合题意；
D、∵对称轴是直线，函数图象与x轴的交点坐标和，结合图象得：
∴当或时，函数值y随x值的增大而减小，
原结论正确，故本选项不符合题意；
综上，只有B错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数在新定义函数中的应用等知识，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
二、填空题 （共5个小题，每小题3分，满分15分）
11. 多项式的值等于11，则a的值为______．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，由多项式的值等于11，得，求解即可得解．
【详解】解：∵多项式的值等于11，
∴，
，
解得或，
故答案为：或3．
12. 若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，由题意得出，，计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的定义是解此题的关键．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的常数项为0，
∴，，
解得：，
故答案为：．
13. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同， 顶点为 ，则此抛物线的解析式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质及待定系数法求解析式，根据形状、开口方向相同得到，设出解析式为，根据顶点为 代入计算即可得到答案；
【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线 相同，
∴，
设抛物线解析式为，
∵抛物线顶点为 ，
∴，，
∴，
故答案为：．
14. 抛物线中， y与x的部分对应值如表：则这条抛物线的对称轴是直线___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的对称性是解题的关键．利用抛物线的对称性即可得到抛物线的对称轴．
【详解】解：∵抛物线经过点，
∴抛物线的对称轴为直线．
故答案为：．
15. 为了在校运会中取得更好的成绩，小丁积极训练，在某次试投中铅球所经过的路线是如图所示的抛物线的一部分．已知铅球出手处距离地面的高度是米，当铅球运行的水平距离为米时，达到最大高度米的处，则小丁此次投掷的成绩是_____米．
【答案】7
【解析】
【分析】建立坐标系，如图所示：根据顶点为（2,2），过点（0,1.68）求得抛物线解析式，转化为抛物线与x轴的交点问题即一元二次方程问题求解即可．
【详解】解：建立坐标系，如图所示：
由题意得：，点为抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
把代入得：
，
解得，
,
令，得
解得（舍），
小丁此次投掷的成绩是米．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意自主建立坐标系，把生活问题转化为二次函数的数学模型求解是解题的关键．
三、解答题（共3个小题，每小题7分，满分21分）
16. 解方程：3x2+1＝2x．
【答案】x1＝x2＝
【解析】
【分析】根据配方法即可求出答案．
【详解】解：原方程化为：，
∴，
∴x1＝x2＝
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解的解法，本题属于基础题型．
17. 已知图象的顶点坐标是，且与轴的一个交点坐标是，求此二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，先把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可．
【详解】解：设此二次函数解析式为，
把代入中得：，解得，
∴此二次函数解析式为．
18. 如图是某月的日历，小明说：他用一个平行四边形框，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是 144，请求出最小数与最大数分别是多少．

【答案】最小数为8，最大数为18
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可．
【详解】解：设最小数x，根据题意，得到最大数为，
∴，
解得（舍去）．
故最小数为8，最大数为18．
四、解答题 （共3个小题，每小题9分，满分27分）
19. 如图，拋物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，求的面积．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图像和性质，先求出抛物线与坐标轴的交点以及顶点坐标，利用割补法求出三角形的面积即可．
【详解】解：过点作轴于点E，
令，则，解得：，，
∴，
当x=0时，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．

20. 已知关于x的一元二次方程kx2-4x+2=0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB、BC的长是方程kx2-4x+2=0的两根，求BC的长．
【答案】（1）k≤2且k≠0；（2）．
【解析】
【分析】（1）已知一元二次方程有实数根，可得△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围；
（2）由于AB=2是方程kx2-4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．
【详解】解：（1）∵关于x的方程有实数根，
∴△=（-4）2-8k≥0，
解得k≤2，
又k≠0，
∴k的取值范围为k≤2且k≠0．
（2）∵AB=2是方程的根，
∴4k-8+2=0,
解得k=，
则原方程为，
解得，
∴BC的长为．
【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
21. 某体育用品商店准备销售一种篮球，这种篮球的进价为80元/个，若以100元售出，每月能售出500个． 经调查发现/ 这种篮球的售价每上涨1元，其月销售量就将减少10个，设每个篮球的售价为x元，每月的销售量为y个．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）设销售这种篮球每月的总利润为W（元） ，如果该商店这种篮球每月的销量不低于420个，那么销售单价定为多少元可获得最大利润？ 最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）销售单价定为108元可获得最大利润，最大利润是11760元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用，利润=售价-进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
（1）根据销量与进价的关系就可以求出结论；
（2）根据销售问题的数量关系表示出W与x之间的函数关系式，再根据二次函数的性质就可以求出结论．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
解：由题意可得：，
∵，
∴当时，W随x的增大而增大，
∵这种篮球每月的销量不低于420个，
∴，
∴，
∴当时，（元），
答：销售单价定为108元可获得最大利润，最大利润是11760元．
五、解答题 （共2个小题， 第22题13分， 第23题14分， 满分27分）
22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计）
（1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________；
（2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长；
（3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长．
【答案】（1）26，12
（2）剪去正方形的边长为
（3）剪去的正方形的边长为
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
（1）根据题意列式计算即可得出答案；
（2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
纸盒底面长方形的长为，宽为；
【小问2详解】
解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，
由题意得：，
解得：或（舍去），
∴剪去正方形的边长为；
【小问3详解】
解：设剪去正方形的边长为，
由题意得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴剪去的正方形的边长为．
23. 如图1，抛物线交x轴于点和点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若点是直线下方抛物线上动点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在平面内，是否存在点，使得以、、、分别为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出符合条件的所有点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2），面积最大值为
（3）存在，或或或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，掌握二次函数的性质，点的特征，分类讨论等是解题的关键．
（1）将点和点代入解析式，求出和即可得到抛物线表达式；
（2）过点作轴交于点，设点，，利用表示出面积，即可求解；
（3），，，，分①以、为对角线，，②以、为对角线，，③以、为对角线，，三种情况进行讨论．
【小问1详解】
解：交轴于点和点，
，
，
；
【小问2详解】
解：当时，，
，
过点作轴交于点，
设直线的解析式为，
代入，，
得：，
解得，
直线的解析式为：，
设点，
，
，
，
，且，
当，即点时，的面积取得最大值，最大值为4；
【小问3详解】
解：，，，，
①以、为对角线时，，
，
或（舍，
；
②以、为对角线时，，
，
或，
或；
③以、为对角线，，
，
，
；
x

1
3
4
6

y

8
18
20
18