江西省赣州市谭东中学等校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江西省赣州市谭东中学等校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷：共六大题 23小题 （时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）
1. 方程二次项系数，一次项系数和常数项分别是（ ）
A. 1，，1B. ，，1C. 1，3，D. 1，3，1
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般式，对于一元二次方程，其中a、b、c是常数且，a叫做二次项系数，b叫做一次项系数，c叫做常数项，据此可得答案．
【详解】解：把原方程化为一般式为，
∴原方程的二次项系数为1，一次项系数为，常数项为1，
故选：A．
2. 下列关于二次函数的图象说法中，错误的是（ ）
A. 它的对称轴是直线
B. 它的图象有最低点
C. 它的顶点坐标是
D. 在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式可知，函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，则函数有最小值，在对称轴左侧y随着x的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：A、它的对称轴是直线，原说法正确，不符合题意；
B、由二次项系数大于0可知，函数开口向上，则它的图象有最低点，原说法正确，不符合题意；
C、它的顶点坐标是，原说法正确，不符合题意；
D、函数开口向上，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小，原说法错误，符合题意；
故选：D．
3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法．把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
整理得：，
故选：D．
4. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是
A. 且B. C. 且D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到∆=≥0且a≠0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
【详解】解：由题意可得：
∆==≥0，a≠0
解得：且
故：选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解本题的关键．
5. 某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每次降价的百分率为x，则第一次降价后的价格为元，第二次降价后的价格为元，据此列出方程即可．
【详解】解：由题意得，，
故选：D．
6. 我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】①由时，，由时，，，，，图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）可判断①；②对称轴x=从函数解析式上看函数y=部分的对称轴为直线，从和部分的对称轴也是直线，对称轴是直线，可判断② ；③根据当或时函数的图象，从左下向右上呈上升趋势，函数值随值的增大而增大，可判断③；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的的值为或，可判断④；⑤由，解得，由，解得x=1，当或时，，y=4不是函数的最大值，可判断⑤．
【详解】解：①当时，，
当时，，，，，
∴（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，
∴①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）是正确的；
②，
对称轴x=，
∴从函数解析式上看函数y=部分的对称轴为直线，和部分的对称轴也是直线，
对称轴可用对称轴是直线，
∴②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1是正确的；
③根据当或时函数的图象，从左下向右上呈上升趋势，函数值y随x值的增大而增大，
∴③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为或，
∴④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0是正确的；
⑤由，解得，由，解得x=1，
当或时，，
∴y=4不是函数的最大值，
∴⑤当x＝1时，函数最大值是4不正确；
∴正确结论有①②③④四个．
故选A．
【点睛】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是________________．
【答案】m≠1
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可；
【详解】∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
解得；
故答案是．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键．
8. 二次函数的顶点坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，关键是掌握二次函数顶点坐标式．把二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标．
【详解】解：把二次函数化为顶点式为：；
顶点坐标为：．
故答案为：．
9. 已知，是一元二次方程的两个根，则__．
【答案】1
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，代入计算即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，．
∴．
故答案为：1．
10. a是方程一个根，则代数式的值是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 若、、为二次函数的图象上的三点，则、、的大小关系是__________（用“”表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得二次函数图象开口向上，对称轴为直线，离对称轴越远，函数值越大，据此计算出三个点到对称轴的距离即可得到答案．
【详解】解：∵二次函数解析式，，
∴二次函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵、、为二次函数的图象上的三点，且，
∴，
故答案为：．
12. 如图，已知直线与x轴、y轴分别交于点B、点C，抛物线经过点B、C，点A是抛物线与x轴的另一个交点．若点P在射线上，且，则点P的坐标是__________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，当P在C的左边时，则有，根据中点坐标公式求出点P的坐标即可；当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则，证明，得到，根据，得到，则，，据此可得答案.
【详解】解： 如图，当P在C的左边时，
∵，
∴，

设，
∴，解得，
∴；
当P在C的右边时，如图，过作轴于H，则
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
此时的横坐标为1，则纵坐标，
∴，
综上：P的坐标为：或．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了解一元二次方程.
（1）根据算术平方根的意义得到，解一元一次方程即可；
（2）配方化为，再利用开平方解方程即可.
【小问1详解】
解：
∴
开平方得，
解得，
【小问2详解】
∴
∴
开平方得，
解得
14. 我校七年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排45场比赛，求七年级有多少个班级．
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设七年级有x个班，“根据各班均组队参赛，赛制为单循环形式且共需安排45场比赛”，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
【详解】解：设七年级有x班，
解得或（舍），
答：七年级有10个班级．
15. 下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：．
解：方程两边同除以，得．…第一步
移项，合并同类项，得．…第二步
系数化为1，得．…第三步
任务：
（1）小明的解法从第_________步开始出现错误；
（2）此题的正确结果是__________________．
（3）解方程：．
【答案】（1）一 （2），，
（3），．
【解析】
【分析】①先移项得，故第一步是错误的，即可解答；
②利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答；
③利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键．
【小问1详解】
解：小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
【小问2详解】
解：，
，
，
或，
，，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：，
，
，
或，
，．
16. 二次函数的图象顶点坐标为，且过．
（1）求该二次函数解析式；
（2）当时，求函数值的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和二次函数图象的增减性是解题的关键．
（1）由抛物线顶点式表达式得：，将点代入上式即可求解；
（2）根据的取值范围和函数图象增减性即可求解．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图象顶点坐标为，
∴设抛物线顶点式为：，
∵二次函数的图象过，
代入抛物线解析式得：，
解得：，
故二次函数解析式为：；
【小问2详解】
解：∵，其中，对称轴直线，
∴在对称轴直线左侧随的增大而减小，在对称轴直线右侧随的增大而增大，
又∵到直线的距离大于到直线的距离，且当时，，当时，，
∴当时，函数值的取值范围是．
17. 已知抛物线．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）将该抛物线向右平移个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数图象的平移：
（1）将一般式转化为顶点式，即可得出结果；
（2）根据平移规则，求出新的抛物线的解析式，将原点坐标代入求解即可．
【小问1详解】
解：，
∴对称轴为直线；
【小问2详解】
∵将该抛物线向右平移个单位长度，
∴新的抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：（负值舍去）．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
（1）求的取值范围
（2）若满足，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及根与系数关系，解一元二次方程；
（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程，
，，
∵，
∴，即，十字相乘因式分解得：，，
∵，
∴．
19. 已知二次函数（a是实数）．
（1）若函数图象经过点，求该二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）求证：二次函数图象过定点．
【答案】（1）二次函数表达式为，对称轴为直线
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，求二次函数对称轴，二次函数的性质等等：
（1）先把点A坐标代入解析式求出函数解析式，再根据对称轴计算公式求出对称轴即可；
（2）求出当时的函数值即可证明结论．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
解得，
∴二次函数表达式为，
∴二次函数对称轴直线；
【小问2详解】
证明：在中，当时，，
∴二次函数图象过定点．
20. 新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”．
比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为．
（1）已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”；
（2）已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可；
（2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可．
【小问1详解】
解：解
得，
则，
所以一元二次方程的“再生韦达方程”为，
即；
【小问2详解】
解得，
令它的“原生方程”两根分别为，
则，或．
当，则所求“原生方程”为；
当，则所求“原生方程”为．
综上所述，它的“原生方程”为或．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 已知函数．

（1）在平面直角坐标系中画出该函数图象．
（2）该函数可以由函数的图象经过怎样的平移得到？
（3）该抛物线与x轴交于点__________，与y轴交于点__________．（写坐标）
（4）求该函数图象关于x轴对称的抛物线的解析式．
【答案】（1）见解得 （2）向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到
（3）；
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了画二次函数图象，二次函数图象的平移问题，求二次函数与坐标轴的角度坐标，坐标与图形变化—轴对称：
（1）先列表，再描点，最后连线画出函数图象即可；
（2）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可；
（3）根据（1）所求即可得到答案；
（4）设为函数关于x轴对称的函数图象上一点，则点为函数图象上一点，据此求出m、n的关系式即可得到答案．
【小问1详解】
解：列表如下：
函数图象如下所示：
【小问2详解】
解：函数可以由函数的图象向右平移1个单位长度，向上平移4个单位长度得到；
【小问3详解】
解：由（1）可知该抛物线与x轴交于点，与y轴交于点0,3；
【小问4详解】
解：设为函数关于x轴对称的函数图象上一点，则点为函数图象上一点，
∴，
∴，
∴点在函数的函数图象上，
∴函数关于x轴对称的函数为．
22. 阅读材料题：
我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，
∴，
∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：________________；
（2）代数式有最________（填“大”或“小”）值为________；
（3）如图，矩形花圃一面靠墙（墙足够长），另外三面所围成的提栏的总长是，楼栏如何围能使花圃面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）2，1；
（2）大，；
（3）长为米，宽为米时，面积最大为．
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式同时加上一次项系数一半平方即可得到答案；
（2）将原式变形配方，再根据完全平方非负性即可得到答案；
（3）设花圃长为x，表示出宽，根据面积公式列出式子配方即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意可得，
，
故答案为：2，1；
【小问2详解】
解：原式，
∵，
∴，
∴，
故答案为：大，，
【小问3详解】
解：设花圃长为x米，面积为S，则宽为米，由题意可得，
，
∵
∴，
∴，
∴当时，面积最大为，
故应该长为米，宽为米时，面积最大为．
【点睛】本题考查代数式完全平方配方及最值，解题的关键是读懂题意配方．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，点C为二次函数的顶点，直线与该二次函数图象交于、B两点(点B在y轴上)，与二次函数图象的对称轴交于点D．
（1）求m的值及点C坐标；
（2）连接，求
（3）在该二次函数的对称轴上是否存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，请求出符合条件的Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）3 （3）存在，点的坐标为或或或．
【解析】
【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，等腰三角形的性质，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．
（1）将点坐标代入解析式可求的值，利用待定系数法可求抛物线解析式；
（2）先求出，然后根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质求解．
【小问1详解】
解：∵直线过点，
∴，
∴，
∴，
∴，
二次函数解析式为，
顶点坐标为；
【小问2详解】
由（1）知，直线的解析式为，，二次函数对称轴为，
∵直线与二次函数图象的对称轴交于点D，
∴设点，
∴，
∴，
∴的面积
【小问3详解】
存在点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．
∵顶点坐标为，
∴对称轴为，
过点A作于点E，
在中，．
（1）当时，设，
在中，
∴
解之得
∴；
（2）当时，根据等腰三角形三线合一得：，
∴，
∴；
（3）当时，，
∴，．
x
…
0
1
2
3
…
y
…
0
3
4
3
0
…