江西省吉安市青原区思源实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份江西省吉安市青原区思源实验学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 关于x的一元二次方程的解是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
分析】利用因式分解法求解即可．
【详解】解：，
，
，，
，．
故选：C．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的形式选择合适的解法是解题的关键．
2. 已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（ ）
A. B. 12C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】利用一元二次方程的解及根与系数的关系，即可得出，，再将其代入，计算即可．本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解的定义是解决本题的关键．
【详解】解：，是关于的方程的两根，
，，．
．
故选：B
3. 一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是（ ）
A. 1，5，1B. 0，5， C. 1，5， D. 0，5，1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为（其中，，，是常数），其中，，分别叫做二次项系数，一次项系数，常数项，由此即可得出答案，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解此题的关键．
【详解】解：一元二次方程的二次项系数，一次项系数与常数项分别是1，5，，
故选：C．
4. 如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A. 2023B. C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，掌握一元二次方程的解的定义是关键．
由题意知，，则，根据，再整体代入计算即可．
【详解】解：解：由题意知，，
，
．
故选：D．
5. 下列各点中，在二次函数图象上的点是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可．
【详解】A． ，选项错误，不符合题意；
B． ，选项正确，符合题意；
C． ，选项错误，不符合题意；
D． ，选项错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证．
6. 若，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程，当方程有解，即时，设方程两根分别为，则有，将原题第二个等式左右两边同时除以，变形后与第一个等式比较，得到与为方程的两个解，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出所求式子的值．
【详解】解：当时，，
∴，
将变形得：，
又，
与为方程的两个解，
∴．
故选：A．
7. 若使函数的自变量的取值范围是一切实数，则下面的关系中一定满足要求的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题是函数有意义的条件与一元二次方程的解相结合的问题．函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．函数的自变量取值范围是一切实数，即分母一定不等于0，即方程无解．即，即可解得、的关系．
【详解】解：∵函数的自变量取值范围是一切实数，
∴分母一定不等于0，
∴无解，
即，
解得：或．
当时，一定满足要求．
故选：A．
8. 2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据比赛采用单循环制（每两支球队之间都进行一场比赛），比赛共进行了78场，列出方程即可．
【详解】解：设一共有x支球队参加比赛，由题意，得：；
故选D．
9. 如图，小明站在原点处，从离地面高度为的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，如果在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形筐，筐的最左端距离原点为米，若要弹力球从B点弹起后落入筐内，则的值可以是（ ）
A. 7B. 9C. 10D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式，建立直角坐标系是解题的关键，根据点的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，的值，进而得到的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：，
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：，
∴该抛物线的解析式为：，
∴对称轴为：，
∵点的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B，满足，
故选：D．
二、填空题
10. 写出一个图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式____________________.
【答案】(答案不唯一)
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数中，时图象开口向上，时，图象与y轴的交点为，因此只要满足，即可．
【详解】解：根据二次函数图象与系数的关系可得：
图象开口向上，与y轴的交点为的二次函数解析式，只要满足，即可，
因此二次函数解析式可以为：(答案不唯一)．
故答案为：(答案不唯一)．
11. 如图，在长为28米，宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分），余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，设道路的宽为x米，则________．
【答案】1
【解析】
【分析】根据平行四边形的面积计算公式及道路的铺设方式，可得出铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积，结合草坪的面积为243平方米，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：依题意，道路的宽为米，
铺设草坪的面积等于长为米、宽米的矩形面积．
草坪的面积为243平方米，
．
∴．
∴（舍去）
故答案为：1
12. 某商品每个售价50元时，每天能售出个，若售价每提高元，日销售量就要少售出10个，若售价每提高元，则日销售量为____个．设每天利润为元，商品进价每个为40元，则与函数解析式是____．要使日利润达到最大，则每个售价应定为____元．
【答案】 ①. ②. ③.
【解析】
【分析】由每天能售出500个，若售价每提高1元，日销售量就要少售出10个，即可推到出答案；由总利润销售数量单个利润即可求解．
本题考查了二次函数的应用销售问题的数量关系的运用，利润售价进价的运用，二次函数的解析式的性质的运用，二次函数的最值的运用，解答时求出二次函数的解析式是关键．
【详解】解：若售价每提高元，日销售量就要少售出个，则日销售量为：，
设每天利润为元，商品进价每个为40元，则与的函数解析式是：
，
∵，
∴当利润最大时，可得：，
∴此时每个售价为：（元），
故答案为：，，．
13. 如图，在期末体育测试中，小朱掷出的实心球的飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数，则小朱本次投掷实心球的成绩为___________
【答案】##8米
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据实心球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
【详解】解：由题意可知，将代入，
，
解得（舍去）或，
故答案为：．
14. 把方程(2x-1)(3x-2)=x2+4化为ax2+bx+c=0形式后,其二次项系数、一次项系数、常数项分别为________.
【答案】5，-7，-2
【解析】
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】由方程(2x-1)(3x-2)=x2+4，得
5x2-7x-2=0，
∴方程(2x-1)(3x-2)=x2+4的二次项系数、一次项系数和常数项分别为：5，-7，-2.
故答案是：5，-7，-2．
【点睛】本题考查了一元二次方程一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
三、解答题
15. 已知：二次函数的图象经过点．
（1）求b；
（2）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）把点代入函数解析式即可求；
（2）利用配方法化成顶点式即可．
【小问1详解】
解：把点代入得，，
解得，．
【小问2详解】
解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式和配方法，解题关键是熟练掌握待定系数法和配方法，准确进行计算．
16. 按要求解下列方程
（1）；（配方法）
（2）（公式法）
（3）（因式分解法）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程；
（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解；
（2）根据公式法解一元二次方程；
（3）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．
【小问1详解】
解：
∴
∴
∴，
解得：
【小问2详解】
解：，
∵，，
∴
解得：
【小问3详解】
解：
∴
∴
即或
解得：
17. 已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当为何值时，此方程是一元二次方程？并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项．
【答案】（1）
（2）,一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，一元一次方程的定义；熟练掌握定义是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数等于零，一次项系数不等于零时是一元一次方程，可得答案；
（2）根据二次项系数不等于零是一元二次方程，可得答案．
【小问1详解】
解：由一元一次方程，得
根据题意，得且．
解得．
所以当时，此方程是一元一次方程；
【小问2详解】
根据题意，得．
解得．
此时一元二次方程的二次项系数是、一次项系数是，常数项是．
18. 掷实心球是中考体育项目之一，为了在体育中考中取得更好的成绩，小鹏积极训练，如图所示，实心球经过的路线是一条抛物线，掷出时，实心球出手处距离地面的高度是2，实心球的落地点为处，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，当实心球运行的水平距离为3时，达到最大高度3的处．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若成绩想要达到80分，实心球出手处至球落地处的水平距离至少为8.4，小鹏此次投掷的成绩能上80分吗？
【答案】（1）
（2）不能
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用、解一元二次方程、实数比较大小等知识，正确解得该抛物线解析式是解题关键．
（1）根据题意，设该抛物线解析式为，然后将将点代入求解即可；
（2）对于抛物线，令，解得的值，进而确定点坐标，根据题意比较点横坐标与8.4的大小，即可获得答案．
【小问1详解】
解：根据题意，可得，该抛物线顶点坐标为，
设该抛物线解析式为，
将点代入，可得，
解得，
∴该抛物线解析式为；
【小问2详解】
对于抛物线，
令，可得，
整理可得，
解得，，
∵点在轴正半轴上，
∴，
又∵，
∴小鹏此次投掷的成绩不能上80分．
19. 如图，抛物线与直线交于点A(2，0)和点．
（1）求和的值；
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式的解集；
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移个单位长度得到点，若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】（1），；（2）不等式>的解集为或x>2；（3）点M的横坐标的取值范围是：或．
【解析】
【分析】（1）把A(2，0)分别代入两个解析式，即可求得和的值；
（2）解方程求得点B的坐标为(-1，3)，数形结合即可求解；
（3）画出图形，利用数形结合思想求解即可．
【详解】解：（1）∵点A(2，0)同时在与上，
∴，，
解得：，；
（2）由（1）得抛物线的解析式为y=x2-2x，直线的解析式为，
解方程，得：．
∴点B的横坐标为，纵坐标为，
∴点B的坐标为(-1，3)，
观察图形知，当或x>2时，抛物线在直线的上方，
∴不等式>的解集为或x>2；
（3）如图，设A、B向左移3个单位得到A1、B1，
∵点A(2，0)，点B(-1，3)，
∴点A1 (-1，0)，点B1 (-4，3)，
∴A A1BB13，且A A1∥BB1，即MN为A A1、BB1相互平行的线段，
对于抛物线，
∴顶点为(1，-1)，
如图，当点M在线段AB上时，线段MN与抛物线y=x2-2x只有一个公共点，
此时，
当线段MN经过抛物线的顶点(1，-1)时，线段MN与抛物线y=x2-2x也只有一个公共点，
此时点M1的纵坐标为-1，则，解得，
综上，点M的横坐标的取值范围是：或．
．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质；能够画出图形，结合函数图象，运用二次函数的性质求解是关键．
20. 已知二次函数的图象经过坐标原点，与轴交于点．

（1）求二次函数的解析式；
（2）若在抛物线上存在点，满足，求点的坐标．
【答案】（1）
（2），，，；
【解析】
【分析】（1）将点，代入解析式求解即可得到答案；
（2）根据面积列式求解即可得到答案；
【小问1详解】
解：将点，代入得，
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
解：设，
∵，
∴，
解得：，，，，
∴点的坐标为：，，，；
【点睛】本题考查求二次函数的解析式及二次函数上动点面积问题，解题的关键是根据面积列式求解．
21. 社区利用一块矩形空地修建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为的道路．已知铺花砖的面积为．
（1）求道路的宽是多少？
（2）该停车场共有车位30个，据调查分析，当每个车位的月租金为400元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．求当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为10920元．
【答案】（1）6m （2）20元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键．
（1）由题意知，道路的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答即可；
（2）设车位的月租金上涨元，则租出的车位数量是个，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出方程并解答即可．
【小问1详解】
解：由题意得 ，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的宽为米．
【小问2详解】
解：设当每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为10 920元，
根据题意得， ，
整理得，，
解得或（舍去）．
答：当每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为10 920元．
22. 定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．
（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；
（2）设点 在直线上运动：
①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．
②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）①抛物线的解析式为：；②
【解析】
【分析】（1）a=b=2，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2，故答案为：y=x2-2x-2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；
（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：（m，m2+2m+2），即可求解；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【详解】解：（1），
故抛物线的表达式为：．
故答案为：；
将点、坐标代入得：
，
解得：，．
故答案为：；
（2）①由点、的坐标得：直线的表达式为：，
设点，则抛物线的表达式为：，
顶点为：，
令，则，
则
即抛物线解析式为：；
②如图所示，抛物线落在内部为段，
抛物线与直线的交点为点；
当时，即，解得：
故点；
故，由①知：，
故：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．