广东省惠州市惠城三中、博雅培文实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷-A4

这是一份广东省惠州市惠城三中、博雅培文实验学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷-A4，共22页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．
C．x（x﹣3）＝x2D．x（x﹣2）＝0
2．（3分）若函数y＝（m﹣1）x|m|+1+5是关于x的二次函数，则m＝（ ）
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2
3．（3分）已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式a2﹣2a的值为（ ）
A．4B．8C．D．
4．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2+5的顶点坐标为（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（﹣1，﹣5）D．（1，﹣5）
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k≥1C．k≤1D．k＜1
6．（3分）已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax﹣b与二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+5，平移后得到新的抛物线y＝x2+2x+6，则水平平移的方向和距离为（ ）
A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位
C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位
9．（3分）我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池而至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．“大意为：一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A．B．
C．π（x+3）2﹣x2＝72D．（x+6）2﹣x2＝72
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②对于任意实数m，都有；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④3a+3b+c＝0；
⑤若x1，x2（x1＜x2）为方程a（x+3）（x﹣2）＝1的两个根，则﹣3＜x1＜x2＜2．
其中正确结论的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）抛物线y＝（x+5）（x﹣1）的对称轴为 ．
12．（3分）某种药品原价为25元/盒，经过两次连续降价后售价为16元/盒，则平均每次降价的百分率是 ．
13．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x+3在﹣1≤x≤2范围内，y的最大值与最小值之和为 ．
14．（3分）如果一条抛物线的形状与的形状和开口方向均相同，且顶点坐标是（﹣4，2），那么它的函数解析式为 ．
15．（3分）无论x取任何实数，代数式都有意义，则k的取值范围为 ．
三、解答题（一）（每小题7分，3小题，共21分）
16．（7分）选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣7x﹣8＝0；
（2）．
17．（7分）二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足下表：
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若y≥﹣3，请直接写出x的取值范围．
18．（7分）已知方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
四、解答题（二）（每小题9分，3小题，共27分）
19．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标，并结合函数图象，求出不等式﹣x2+mx＞x+b的解集．
20．（9分）已知在△ABC中，底边BC与对应的高AD的长度之和为30．
（1）设BC边长为x，直接写出△ABC的面积S与x的函数关系式 ，其中x的取值范围是 ；
（2）当BC＝ 时，△ABC的面积达到最大，最大值是 ；
（3）当底边BC与高AD的比值为2：1时（如图），其周长是否有最小值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由．
21．（9分）广东省2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．已知某品种荔枝的成本价为每千克20元．品种每天的销量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设该品种荔枝每天的销售利润为W元．
（1）诸写出利润W与销售价x之间的函数关系式： ；
（2）该产品销售价格为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，要想获得每天150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）根据以下素材，探索完成任务．
23．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
2024-2025学年广东省惠州市惠城三中、博雅培文实验学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．ax2+bx+c＝0B．
C．x（x﹣3）＝x2D．x（x﹣2）＝0
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断．
【解答】解：A、当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，不符合题意；
B、不是整式方程，故B不是一元二次方程，不符合题意；
C、x（x﹣3）＝x2可整理为﹣3x＝0，故C不是一元二次方程，不符合题意；
D、x（x﹣2）＝0可整理为x2﹣2x＝0，故D是一元二次方程，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握其定义是解题的关键．
2．（3分）若函数y＝（m﹣1）x|m|+1+5是关于x的二次函数，则m＝（ ）
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．2
【分析】根据“形如y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数关系，称为y关于x的二次函数”，即可求解．
【解答】解：∵y＝（m﹣1）+5是关于x的二次函数，
∴|m|+1＝2且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的定义，正确把握二次函数的定义是解题关键．二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．
3．（3分）已知a是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的一个根，则代数式a2﹣2a的值为（ ）
A．4B．8C．D．
【分析】依题意得a2﹣2a﹣4＝0，进而可求解．
【解答】解：依题意得：a2﹣2a﹣4＝0，
即：a2﹣2a＝4，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
4．（3分）抛物线y＝﹣2（x+1）2+5的顶点坐标为（ ）
A．（1，5）B．（﹣1，5）C．（﹣1，﹣5）D．（1，﹣5）
【分析】因为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），所以可求二次函数y＝﹣2（x+1）2+5的顶点坐标．
【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2+5的顶点坐标为：（﹣1，5）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，此题考查了学生的应用能力．
5．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞1B．k≥1C．k≤1D．k＜1
【分析】利用根的判别式进行求解即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+9k＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×9k＝36﹣36k≥0，
∴k≤1，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式与一元二次方程解的情况是解题的关键．
6．（3分）已知A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y1＜y2D．y3＜y2＜y1
【分析】根据二次函数的性质可以判断y1，y2，y3的大小关系，从而可以解答本题．
【解答】解：∵y＝﹣（x﹣3）2+k，﹣1＜0，
∴当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，
∵抛物线y＝﹣（x﹣3）2+k的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（4，y3），
|﹣1﹣3|＝4，|1﹣3|＝2，|4﹣3|＝1，
∴y1＜y2＜y3，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
7．（3分）在同一坐标系中，一次函数y＝ax﹣b与二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先由一次函数y＝ax﹣b图象得到字母a、b的正负，再与二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象相比较看是否一致．
【解答】解：由一次函数y＝ax﹣b与二次函数y＝﹣ax2﹣b可知，两函数与y轴的交点都是（0，﹣b），故C、D不合题意；
A、由直线y＝ax﹣b的图象经过第一、二、三象限可知：a＞0，由二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象开口向下可知：a＞0，一致，符合题意；
B、由直线y＝ax﹣b的图象经过第一、二、四象限可知：a＜0，由二次函数y＝﹣ax2﹣b的图象开口向下可知：a＞0，矛盾，不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a、b的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．
8．（3分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+5，平移后得到新的抛物线y＝x2+2x+6，则水平平移的方向和距离为（ ）
A．向左平移3个单位B．向右平移3个单位
C．向左平移2个单位D．向右平移2个单位
【分析】将抛物线的函数表达式化为顶点式，根据平移的规律“左加右减，上加下减”即可得出答案
【解答】解：∵平移后得到新的抛物线y＝x2+2x+6＝（x+1）2+5，
∴把原抛物线y＝（x﹣1）2+5向左平移2个单位可得到新抛物线．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键．
9．（3分）我国古代数学著作《增减算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池而至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．“大意为：一块正方形水池，测量出除水池外图内可耕地的面积恰好是72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（ ）
A．B．
C．π（x+3）2﹣x2＝72D．（x+6）2﹣x2＝72
【分析】直接利用圆的面积减去正方形面积，进而得出答案，
【解答】解：设正方形的边长是x步，则列出的方程是：
，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正方形的性质以及由实际问题抽象出一元二次方程，正确表示出圆的面积是解题关键．
10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线，结合图象分析下列结论：
①abc＞0；
②对于任意实数m，都有；
③当x＜0时，y随x的增大而增大；
④3a+3b+c＝0；
⑤若x1，x2（x1＜x2）为方程a（x+3）（x﹣2）＝1的两个根，则﹣3＜x1＜x2＜2．
其中正确结论的个数有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
【分析】依据题意，根据抛物线开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝﹣，再结合二次函数的性质逐个进行判断可以判断得解．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向下，
∴a＜0．
又∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0．
又∵对称轴是直线x＝﹣＝﹣，
∴b＝a＜0．
∴abc＞0，故①正确．
由题意，当x＝﹣时，y取最大值为a﹣b+c，
∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a﹣b+c．
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
∴a﹣b≥am2+bm，故②错误．
由题意，∵对称轴是直线x＝﹣，且开口向下，
∴当x＜﹣时，y随x的增大而增大，故③错误．
∵抛物线与x轴交于点（﹣3，0），
∴9a﹣3b+c＝0．
又∵b＝a，
∴9a﹣3b+c＝9a﹣3a+c＝6a+c＝0．
∴3a+3b+c＝3a+3a+c＝6a+c＝0，故④正确．
由题意，∵对称轴是直线x＝﹣，且与x轴交于点（﹣3，0），
∴抛物线与x轴的另一交点为（2，0）．
∴抛物线为y＝a（x+3）（x﹣2）．
∴方程a（x+3）（x﹣2）＝1的根可以看作直线y＝1与抛物线y＝a（x+3）（x﹣2）的交点的横坐标．
∵y＝1在x轴上方，
∴若x1，x2（x1＜x2）为方程a（x+3）（x﹣2）＝1的两个根，则﹣3＜x1＜x2＜2，故⑤正确．
综上，正确的有①④⑤共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、根的判别式、根与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）抛物线y＝（x+5）（x﹣1）的对称轴为 直线x＝﹣2 ．
【分析】利用二次函数图象的对称性，结合与x轴的两个交点坐标推导即可．
【解答】解：∵y＝（x+5）（x﹣1）与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0），
∴对称轴为直线x＝＝﹣2．
故答案为：直线x＝﹣2．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的对称轴公式．
12．（3分）某种药品原价为25元/盒，经过两次连续降价后售价为16元/盒，则平均每次降价的百分率是 20% ．
【分析】设这种药品每次降价的百分率是x，因为是连续两次降价所以可列方程为25（1﹣x）2＝16求解即可．
【解答】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x，
则第一次下调后的价格为25（1﹣x），第二次下调的价格为25（1﹣x）2，
根据题意列得：25（1﹣x）2＝16，
解得：x＝0.2＝20%，或x＝1.8＝180%（舍去），
则这种药品平均每次降价的百分率为20%．
故答案为：20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，可根据题意列出方程，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
13．（3分）二次函数y＝﹣x2+2x+3在﹣1≤x≤2范围内，y的最大值与最小值之和为 4 ．
【分析】将二次函数解析式利用配方法转化为顶点式，求得对称轴直线和顶点坐标，结合二次函数的最值作答即可．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，则该函数图象的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是（1，4）．
所以当x＝1时，y的最大值是4．
当x＝﹣1时，y最小值＝﹣（﹣1﹣1）2+4＝0．
所以y的最大值与最小值之和为：4+0＝4．
故答案为：4．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质和二次函数的最值，解题时，运用了配方法求得二次函数的最大值．
14．（3分）如果一条抛物线的形状与的形状和开口方向均相同，且顶点坐标是（﹣4，2），那么它的函数解析式为 y＝﹣（x+4）2+2 ．
【分析】设抛物线的顶点式为y＝﹣（x﹣h）2+k，再由顶点坐标是（﹣4，2），确定解析式即可．
【解答】解：∵一条抛物线的形状与的形状和开口方向均相同，
∴a＝﹣，
∵顶点坐标是（﹣4，2），
∴它的函数解析式为y＝﹣（x+4）2+2．
故答案为：y＝﹣（x+4）2+2．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及用待定系数法求二次函数解析式，熟悉二次函数的顶点式y＝a（x﹣h）2+k是解答本题的关键．
15．（3分）无论x取任何实数，代数式都有意义，则k的取值范围为 ﹣2≤k≤2 ．
【分析】令y＝x2﹣kx+3，则y是x的二次函数，根据二次根式有意义的条件，利用二次函数的图象性质即可求得答案．
【解答】解：令y＝x2﹣kx+3，
则y是x的二次函数，
∵1＞0，
∴其图象开口向上，
∵无论x取任何实数，原二次根式都有意义，
∴Δ＝k2﹣12≤0，
解得：﹣2≤k≤2，
故答案为：﹣2≤k≤2．
【点评】本题考查二次函数的图象性质，二次根式有意义的条件，结合已知条件求得Δ＝k2﹣12≤0是解题的关键．
三、解答题（一）（每小题7分，3小题，共21分）
16．（7分）选择适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣7x﹣8＝0；
（2）．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵x2﹣7x﹣8＝0，
∴（x+1）（x﹣8）＝0，
则x+1＝0或x﹣8＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝8；
（2）∵a＝1，b＝﹣2，c＝1，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×1＝8＞0，
则x＝＝，
∴x1＝+，x2＝﹣．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．（7分）二次函数y＝ax2+bx﹣3中的x，y满足下表：
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若y≥﹣3，请直接写出x的取值范围．
【分析】（1）把x＝﹣1，y＝0和x＝1，y＝﹣4代入y＝ax2+bx﹣3中，求出a，b即可；
（2）由表直接得出x的取值即可．
【解答】解：把x＝﹣1，y＝0和x＝1，y＝﹣4代入y＝ax2+bx﹣3中，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；
（2）∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
∵x＝0或2时，y＝﹣3，
∴当x≤0或x≥2时，y≥﹣3．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质以及用待定系数法求二次函数解析式，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
18．（7分）已知方程x2﹣5x﹣1＝0的两根为x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
（1）；
（2）；
【分析】（1）由根与系数的关系得到x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，再根据进行求解即可；
（2）由根与系数的关系得到x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，再根据进行求解即可．
【解答】解：（1）根据根与系数的关系得x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，
∴；
（2）∵x1+x2＝5，x1x2＝﹣1，
∴．
【点评】本题考查根与系数的关系、一元二次方程的一般形式，解答本题的关键是明确x1+x2＝﹣，x1x2＝．
四、解答题（二）（每小题9分，3小题，共27分）
19．（9分）如图，抛物线y＝﹣x2+mx与直线y＝x+b交于点A和点B，直线AB与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）求点A的坐标，并结合函数图象，求出不等式﹣x2+mx＞x+b的解集．
【分析】（1）把点C（0，﹣2）代入y＝x+b中，求出b确定一次函数解析式，然后求出点B的坐标，再将B的坐标代入二次函数解析式即可解答；
（2）联立解析式，求出点A，结合函数图象求出解集即可．
【解答】解：（1）点C（0，﹣2）代入y＝x+b中，b＝﹣2，
∴一次函数解析式为y＝x﹣2，
当y＝0时，x﹣2＝0，
解得x＝2，
∴B（2，0），
把B（2，0）代入y＝﹣x2+mx中，
得﹣4+2m＝0，
解得m＝2，
∴二次函数解析式为y＝﹣x2+2x；
（2）令x2+2x＝x﹣2，
解得x＝2或x＝﹣1，
∴A（﹣1，﹣3），
∴不等式﹣x2+mx＞x+b的解集为﹣1＜x＜2．
【点评】本题考查了二次函数与不等式以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法求解析式就是将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组，再解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
20．（9分）已知在△ABC中，底边BC与对应的高AD的长度之和为30．
（1）设BC边长为x，直接写出△ABC的面积S与x的函数关系式 S＝﹣x2+15x ，其中x的取值范围是 0＜x＜30 ；
（2）当BC＝ 15 时，△ABC的面积达到最大，最大值是 ；
（3）当底边BC与高AD的比值为2：1时（如图），其周长是否有最小值？如果有，请求出；如果没有，请说明理由．
【分析】（1）由BC＝x，AD+BC＝30，得到AD＝30﹣x，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）根据底边BC与对应的高AD的长度之和为30，底边BC与高AD的比值为2：1，得到BC＝20，AD＝10，设CD＝m，则BD＝20﹣m，根据勾股定理得到AB＝＝，AC＝＝，如图，设DE＝MN＝10，EN＝20，EP＝20﹣m，PN＝m，则求AB+AC＝+的最小值，即求图形PD+PM的距离和最小，作点M关于直线EN的对称点M′，连接DM′交EN于P′，当点P与点P′重合时，PD+PM的距离和最小，过M′作M′H⊥DE交DE的延长线于H，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）∵BC＝x，AD+BC＝30，
∴AD＝30﹣x，
∴S＝AD•BC＝x（30﹣x）＝﹣x2+15x（0＜x＜30），
故答案为：S＝﹣x2+15x，0＜x＜30；
（2）S＝﹣x2+15x＝﹣（x﹣15）2+，
∵﹣＜0，
∴x＝15时，S的最大值为，即当BC＝15时，△ABC的面积达到最大，最大值是．
故答案为：15，；
（3）其周长有最小值，
理由：∵底边BC与对应的高AD的长度之和为30，底边BC与高AD的比值为2：1，
∴BC＝20，AD＝10，
设CD＝m，则BD＝20﹣m，
∴AB＝＝，AC＝＝，
∵BC＝20一定，
∴△ABC的周长取最小值时，只有AB+AB最小，
∴AB+AC＝+，
如图，设DE＝MN＝10，EN＝20，EP＝20﹣m，PN＝m，
则求AB+AC＝+的最小值，
即求图形PD+PM的距离和最小，
作点M关于直线EN的对称点M′，连接DM′交EN于P′，
当点P与点P′重合时，PD+PM的距离和最小，
过M′作M′H⊥DE交DE的延长线于H，
∴EH＝NM′＝MN＝10，
∴DH＝20，
∴DM′＝＝，
∴AB+AC＝+的最小值为20+20，
∴△ABC的最小值为20+20．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积，轴对称﹣最短路径问题，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握轴对称﹣最短路径问题是解题的关键．
21．（9分）广东省2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．已知某品种荔枝的成本价为每千克20元．品种每天的销量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设该品种荔枝每天的销售利润为W元．
（1）诸写出利润W与销售价x之间的函数关系式： w＝﹣2x2+120x﹣1600 ；
（2）该产品销售价格为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，要想获得每天150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【分析】（1）利用每千克利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出二次函数最值；
（2）利用w＝150，进而解方程得出答案．
【解答】解：（1）由题意得出：w＝（x﹣20）•y
＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600，
故w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600，
故答案为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）由题意可得：
w＝（x﹣20）（﹣2x+80）
＝﹣2x2+120x﹣1600
＝﹣2（x﹣30）2+200，
∵﹣2＜0，
∴x＝30时，w有最大值200，
答：售价为30元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润是200元；
（3）当w＝150时，可得﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x1＝25，x2＝35，
∵35＞28，
∴x2＝35不合题意，应舍去，
答：该农户若要每天获利150元，售价应定为每千克25元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法，正确得出w与x之间的函数关系是解题关键．
五、解答题（三）（第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）根据以下素材，探索完成任务．
【分析】任务1：利用待定系数法可得抛物线的函数表达式；
任务2：根据该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面至少1m，灯笼长0.4m，计算悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m；
任务3：介绍两种方案：分别挂7盏和8盏．
【解答】解：任务1：
以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为（0，0），且过点B（10，﹣5），
设抛物线的解析式为：y＝ax2，
把点B（10，﹣5）代入得：100a＝﹣5，
∴a＝﹣，
∴抛物线的函数表达式为：y＝﹣x2；
任务2：
∵该河段水位再涨1.8m达到最高，灯笼底部距离水面不小于1m，灯笼长0.4m，
∴当悬挂点的纵坐标y≥﹣5+1.8+1+0.4＝﹣1.8，
即悬挂点的纵坐标的最小值是﹣1.8m，
当y＝﹣1.8时，﹣x2＝﹣1.8，
∴x＝±6，
∴悬挂点的横坐标的取值范围是：﹣6≤x≤6；
任务3：
方案一：如图2（坐标轴的横轴），从顶点处开始悬挂灯笼，
∵﹣6≤x≤6，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m，
∴若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，1.6×4＞6，
若顶点一侧悬挂3盏灯笼时，1.6×3＜6，
∴顶点一侧最多悬挂3盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂7盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣1.6×3＝﹣4.8；
方案二：如图3，
∵若顶点一侧悬挂5盏灯笼时，0.8+1.6×（5﹣1）＞6，
若顶点一侧悬挂4盏灯笼时，0.8+1.6×（4﹣1）＜6，
∴顶点一侧最多悬挂4盏灯笼，
∵灯笼挂满后成轴对称分布，
∴共可挂8盏灯笼，
∴最左边一盏灯笼的横坐标为：﹣0.8﹣1.6×3＝﹣5.6．
【点评】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握不同坐标系中求解析式，能把实际问题转化为抛物线是解题的关键．
23．（14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．
【分析】（1）将A，B，C三点代入y＝ax2+bx+c解方程组即可；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，求出直线AB的解析式，则点D的坐标为（m，﹣m﹣2），即可求出MD的长度，进一步求出△MAB的面积S关于m的函数关系式，由函数的思想即可求出其最大值；
（3）设P（x，x2+x﹣2），分情况讨论，①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，则Q（x，﹣x），可列出关于x的方程，即可求出点Q的坐标；②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，即可写出点Q的坐标．
【解答】解：（1）设此抛物线的函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
将A（﹣2，0），B（0，﹣2），C（1，0）三点代入，
得，，
解得，，
∴此函数解析式为：y＝x2+x﹣2；
（2）如图1，过点M作y轴的平行线交AB于点D，
∵M点的横坐标为m，且点M在第三象限的抛物线上，
∴设M点的坐标为（m，m2+m﹣2），﹣2＜m＜0，
设直线AB的解析式为y＝kx﹣2，
把A（﹣2，0）代入，
得，k＝﹣1，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣2，
∵MD∥y轴，
∴点D的坐标为（m，﹣m﹣2），
∴MD＝﹣m﹣2﹣（m2+m﹣2）＝﹣m2﹣2m，
∴S△MAB＝S△MDA+S△MDB
＝MD•OA
＝×2（m2﹣2m）
＝﹣m2﹣2m
＝﹣（m+1）2+1，
∵﹣2＜m＜0，
∴当m＝﹣1时，S△MAB有最大值1，
综上所述，S关于m的函数关系式是S＝﹣m2﹣2m（﹣2＜m＜0），S的最大值为1；
（3）设P（x，x2+x﹣2），
①当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ＝OB，
∴Q的横坐标等于P的横坐标，
又∵直线的解析式为y＝﹣x，
则Q（x，﹣x），
由PQ＝OB，得|﹣x﹣（x2+x﹣2）|＝2，
即|﹣x2﹣2x+2|＝2，
当﹣x2﹣2x+2＝2时，x1＝0（不合题意，舍去），x2＝﹣2，
∴Q（﹣2，2）；
当﹣x2﹣2x+2＝﹣2时，x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣，
∴Q（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）；
②当BO为对角线时，OQ∥BP，A与P应该重合，OP＝2，四边形PBQO为平行四边形，
则BQ＝OP＝2，Q横坐标为2，
代入y＝﹣x，
得Q（2，﹣2），
综上所述，点Q的坐标为（﹣2，2）或（﹣1+，1﹣）或（﹣1﹣，1+）或（2，﹣2）．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝ax2+bx﹣3
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y＝ax2+bx﹣3
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？
素材1
图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽20m，拱顶离水面5m．据调查，该河段水位在此基础上再涨1.8m达到最高．

素材2
为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂40cm长的灯笼，如图3．为了安全，灯笼底部距离水面不小于1m；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为1.6m；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布．

问题解决
任务1
确定桥拱形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
探究悬挂范围
在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围．
任务3
拟定设计方案
给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标．