广东省阳江市第二中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份广东省阳江市第二中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题（解析版）-A4，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（本试卷满分120分，考试时间120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列方程中，是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】、中含有一个未知数，最高次数为，不符合题意；
、中含有两个未知数，不符合题意；
、是一元二次方程，此选项说法正确，符合题意；
、中含有一个未知数，最高次数为，不符合题意；
故选：．
2. 已知是方程的一个根，则的值是（ ）
A. 2B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先由是方程的一个根，得出，再计算式子，即可作答．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
∴，
故选：A．
3. 将一元二次方程配方成的形式，则的值为（ ）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键．
对原方程移项，利用完全平方公式的特点对其配方．
【详解】
∴，
故选B．
4. 已知是方程的两个根，则的值是（ ）
A. B. C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系“若是一元二次方程的两个根，则有”，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系求解即可得．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
故选：C．
5. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示：
其中完全正确是（ ）
A. 甲B. 甲和乙C. 乙D. 都不正确
【答案】C
【解析】
【分析】分别利用解一元二次方程因式分解法，进行计算逐一判断即可解答．本题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解；
乙利用解一元二次方程因式分解法，计算正确；
故选：C．
6. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案．
【详解】解：∵一元二次方程的根为，
∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根，
∴，
∴满足要求的方程为：，
故选：D．
【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键．
7. 已知是方程一个根，则代数式的值是（ ）
A. 20B. 18C. 10D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，先由是方程的一个根，得出，再整理式子，最后整体代入即可作答．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
即
∴，
故选：A．
8. 如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角各剪去1个边长相等的小正方形，然后将纸板沿虚线折起，做成1个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去的小正方形的边长为，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为，宽为．根据该无盖纸盒的底面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设剪去的小正方形的边长为，
该无盖纸盒的底面长为，宽为．
依题意得：．
故选：D．
9. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k＞B. k≥C. k＞且k≠1D. k≥且k≠1
【答案】C
【解析】
【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
10. 【数学文化】我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得．根据此法，图中正方形的面积是（ ）
A. 49B. 64C. 81D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】通过解方程求得的值；然后利用正方形的面积公式得到，代入求值即可．本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
【详解】解：依题意，正方形的边长为
∴正方形的面积为
由得到：．
解得：，（负值舍去），
∴正方形的面积，
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 一元二次方程的一次项系数为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式“一元二次方程的一般形式是，其中，是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项”，熟记一元二次方程的一般形式是解题关键．根据一元二次方程的一般形式求解即可得．
【详解】解：一元二次方程的一次项系数为，
故答案为：．
12. 一元二次方程的根是_____．
【答案】
【解析】
【分析】利用因式分解法把方程化为x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可．
【详解】解：或，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
13. 已知一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为________________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据根的判别式的意义得到△，然后解关于的方程即可．
【详解】解：根据题意得△，
解得．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．
14. 庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有___________队参加比赛
【答案】10
【解析】
【详解】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=45场，依此等量关系列出方程求解即可．
解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：=45，
整理，得：x2-x-90=0，
解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．
15. 方程的两根恰为一直角三角形的两边长，则此三角形的斜边长为______．
【答案】或
【解析】
【分析】此题主要考查一元二次方程的解法以及勾股定理的综合应用．通过解一元二次方程求出直角三角形的两边的长，然后分两种情况计算是解题关键．
【详解】解：解方程得，，
当为斜边时，斜边长为，
当为直角边时，斜边长为，
故答案为：或．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16. 用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；
（2）利用配方法解一元二次方程即可得．
【小问1详解】
解：，
，
，
或，
或，
所以方程的解为．
【小问2详解】
解：，
，
，
，
，
，
所以方程的解为．
17. 已知关于的方程是一元二次方程，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行解答即可；本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2．
【详解】解： 关于的方程是一元二次方程，
，
∴，
解得：．
18. “世界荔枝看中国，中国荔枝看广东．”广东的荔枝品种繁多，果肉鲜嫩多汁，香甜可口，且含有丰富的维生素C和蛋白质，是夏季消暑的最佳选择．进入荔枝成熟期以来，荔枝大量上市，某水果经销商统计了6月份到8月份的荔枝销量，已知6月份销售1000千克，8月份销售1440千克，求6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率．
【答案】6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率为．
【解析】
【分析】利用8月份的荔枝销量月份的荔枝销量月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率），即可列出关于的一元二次方程，此题得解．本题考查了实际问题与一元二次方程 ：增长率问题，先列式，再解方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设6月份到8月份荔枝销售量月平均增长率为，
根据题意，得．
,
，
∴，（舍去），
∴6月份到8月份荔枝销售量的月平均增长率为．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小还9分，共27分）
19. 已知关于的一元二次方程，求证：无论取何值，方程总有实数根．
【答案】见详解
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；本题考查了一元二次方程根的判别式：根据判别式判断一元二次方程根的情况，正确记忆根的判别式是解题的关键．
【详解】证明： ，
∴，
无论取何值，方程总有两个实数根．
20. 【实践活动】学校课外兴趣活动小组准备利用长为的墙和一段长为的篱笆围起一个矩形苗圃园，设平行于墙的一边的长为．

（1）如图①，矩形苗圃园的一边靠墙，另三边均由篱笆围成．当苗圃园的面积为时，用含的代数式表示的长，并求的值．
（2）如图②，如果矩形苗圃园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边均由篱笆围成．当苗圃园的面积为时，求的值．
【答案】（1），6
（2）当苗圃园的面积为时，x的值为12
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程在面积问题中的应用，一元一次不等式组的应用，找出等量关系式是解题的关键．
（1）根据“一段长为的篱笆”可求，根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解；
（2）先表示，再根据矩形的面积，列出方程，求出的解根据实际情况进行检验，即可求解．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴，
当苗圃园的面积为时，，
整理得：，
解得：，
∵矩形苗圃园的一边靠墙，
∴，
∴．
∴当苗圃园面积为时，x的值为6．
故答案为：，6．
【小问2详解】
∵四边形是矩形，
∴，
当苗圃园的面积为时，，
整理得：，
解得：，
由题意可得：
解得：，
∴．
答：当苗圃园的面积为时，x的值为12．
21. 英德红茶以香气持久、茶汤红亮、滋味浓甜等特点备受人们的喜爱．某茶商购进一批英德红茶，进价为80元盒，销售价为120元/盒时，每天可售出20盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，每盒英德红茶每降价2元，平均每天可多售出4盒．若在让利于顾客的情况下，每盒英德红茶降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【答案】20元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设每盒英德红茶降价元时，商家平均每天能盈利1200元，根据每天的利润（每盒的售价进价）每天售出的盒数建立方程，解方程可得的值，再根据要让利于顾客即可得出答案．
【详解】解：设每盒英德红茶降价元时，商家平均每天能盈利1200元，
由题意得：，
解得或，
因为要让利于顾客，
所以，
答：在让利于顾客的情况下，每盒英德红茶降价20元时，商家平均每天能盈利1200元．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：
如：解方程，
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：，，
我们称小明这种解法为“平均数法”．
（1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程．
解：原方程可变形，得：．
直接开平方并整理，得：．上述过程中的表示的数分别为_____，_____，_____，_____；
（2）请用“平均数法”解方程：．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
【小问1详解】
解：原方程可变形，得：．
，
．
直接开平方并整理，得．
上述过程中的表示的数分别为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：原方程可变形为．
，
，
．
直接开平方并整理，得．
23. 定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，分别以，为横纵坐标得到点，则称点M为该一元二次方程的衍生点．
（1）若方程为，请直接写出该一元二次方程的衍生点M的坐标；
（2）关于x的一元二次方程，当它的衍生点M距原点最近时，求出此时m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）因式分解法求出方程的两个根，根据衍生点的定义，写出M的坐标即可；
（2）先求出点的坐标，得到点所在的直线，进而得到当点所在的直线时，两点距离最近，进行求解即可．
本题考查解一元二次方程，一次函数与几何的综合应用，掌握衍生点的定义，是关键．
【小问1详解】
解：∵，
解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，
解得：，
∴，
∴点在直线上，
如图：当直线时，M距原点最近，
∵，
∴当时，，当时，，
∴直线与对称轴的交点为，，
∴为等腰直角三角形，
∴当时，为的中点，
∴；
∴．
甲
乙
两边同时除以，得．
移项，得．
．
或，解得．