广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2025届高三上学期第三次考试（10月）数学试题（原卷版）-A4

这是一份广东省珠海市北京师范大学（珠海）附属高级中学2025届高三上学期第三次考试（10月）数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了单项选择题，选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：赵凌昊 审题人：王蕾
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3. 若，则的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C D.
4. 已知向量，，若与垂直，则等于（ ）
A. B. C. 3D. 6
5. 甲､乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲､乙到不同社区不同安排方案共有（ ）
A. 6种B. 18种C. 36种D. 72种
6. 已知圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知函数，若，都有成立，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数（，且），，若函数在区间上恰有3个极大值点，则的取值范围为（ ）
A. B. ．C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法中， 正确的是（ ）
A. 数据的第百分位数为
B. 已知随机变量服从正态分布，；则
C. 已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则
D. 若样本数据方差为，则数据的方差为4
10. 设正实数，满足，则（ ）
A. 有最小值4B. 有最小值
C. 有最大值D. 有最小值
11. 设函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 存在实数使得B. 方程有唯一正实数解
C. 方程有唯一负实数解D. 有负实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中常数项是______．（用数字作答）
13. 已知随机事件满足，则_______．
14. 对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的前12项和________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若，证明：为直角三角形.
16. 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
17. 在直三棱柱中，在上，且．

（1）证明：；
（2）当四棱锥的体积为时，求平面与平面所成二面角的正弦值．
18. 某校组织知识竞赛，有两类问题．若A类问题中每个问题回答正确得20分，否则得0分；若B类问题中每个问题回答正确得50分，否则得0分．已知李华同学能正确回答A类问题的概率为，能正确回答B类问题的概率为．
（1）若李华从这两类问题中随机选择一类问题进行回答，求他回答正确的概率；
（2）若李华连续两次进行答题，有如下两个方案：
方案一：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，若答对，则第二次继续回答该类问题；若答错，则第二次回答另一类问题．
方案二：第一次答题时，随机选择两类问题中的一类问题回答，无论是否答对，第二次回答另一类问题．
为使累计得分的期望最大，李华应该选择哪一种方案？
19. 已知（，且）.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）当时，求证：在上单调递增；
（3）设，已知，有不等式恒成立，求实数a的取值范围.