人教版数学九年级下册分层训练第二十八章 锐角三角函数（A卷·知识通关练）（2份，原卷版+解析版）

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班级 姓名 学号 分数 第二十八章 锐角三角函数（A卷·知识通关练）核心知识1 锐角三角函数 1．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，那么下列各式中正确的是（　　）A．tanA＝ B．cotA＝ C．sinA＝ D．cosA＝【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，∴AB＝＝2，∴tanA＝＝＝，cotA＝＝＝，sinA＝＝＝，cosA＝＝＝．故选：B．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝4，那么下列各式中正确的是（　　）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝＝，∴sinA＝＝，cosA＝＝．tanA＝＝＝，cotA＝＝．故选：A．3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，AC＝6，则AB等于（　　）A．6 B． C．10 D．8【解答】解：∵tanA＝，∴cosA＝．∴．∴AB＝10，故选：C．4．已知α为锐角，且，那么α的正切值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，∵sinA＝sinα＝＝，∴设BC＝5x，AB＝13x，∴AC＝＝＝12x，∴tanA＝＝＝，即α的正切值为．故选：A．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝（　　）A． B． C． D．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵sinA＝，∴cosB＝sinA＝，故选：A．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，那么tanA＝　　．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，∴BC＝＝∴tanA＝＝，故答案为：．7．Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为 　　．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，得AB为斜边．由tanA＝＝2，得BC＝2AC．在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理，得AB＝＝AC．cosB＝＝＝，故答案为：．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝24，sinA＝，则BC＝　　．【解答】解：∵∠C＝90°，∴sinA＝＝，设BC＝5x，AB＝24x，∴AC＝＝x，即x＝24，解得x＝，∴BC＝．故答案为：．9．已知在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，那么cosA的值是 　　．【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AC＝6，∴cosA＝＝＝．故答案为：．核心知识2．解直角三角形 10．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tanB的值为（　　）A． B． C． D．1【解答】解：如图：在Rt△ABD中，AD＝3，BD＝3，∴tanB＝＝＝1，故选：D．11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，BC＝，则AC的长为（　　）A． B．3 C． D．2【解答】解：∵∠C＝90°，sinA＝＝，BC＝，∴AB＝BC＝×＝2，∴AC＝＝＝＝．故选：C．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（　　）A． B．3 C． D．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，∴sinA＝＝＝，∴AB＝3，∴AC＝＝＝．故选：A．13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，下列结论正确的是（　　）A．sinC＝ B．sinC＝ C．sinC＝ D．sinC＝【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，cosC＝，tanC＝，故A、B不符合题意；在Rt△BAC中，sinC＝，故C符合题意；∵∠B+∠BAD＝90°，∠B+∠C＝90°，∴∠C＝∠BAD，在Rt△BAD中，cos∠BAD＝，∴cosC＝cos∠BAD＝，故D不符合题意；故选：C．14．在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，那么下列结论正确的是（　　）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．以上均不正确【解答】解：在△ABC中，已知AC＝3，BC＝4，AB＝5，则△ABC是直角三角形，且AB是斜边．因而sinA＝，cosA＝，tanA＝，cotA＝．所以，结论成立的是cosA＝．故选：B．15．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin∠ABC的值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：如图：连接AD，由题意得：AD＝BD＝3，∠ADB＝90°，∴∠ABC＝∠BAD＝45°，∴sin∠ABC＝sin45°＝，故选：B．16．已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（　　）A． B． C． D．6【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，∴AB＝2AE，AE＝ED，∵BC＝6，AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝3，设AE＝DE＝x，则AB＝2x，∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，在Rt△AEB中，根据勾股定理得，（2x）2＝x2+（x+3）2，∴2x2﹣6x＝9，在Rt△AEC中，根据勾股定理得，AC2＝x2+（x﹣3）2，∴AC2＝2x2﹣6x+9，∴AC2＝18，∴AC＝3（负值舍去）．故选：B．17．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（　　）A． B． C． D．【解答】解：法一：如图，连接AC，在Rt△BEC中，BC＝＝5，∵AD⊥BC，∴＝8，即，解得AD＝，在Rt△ADB中，BD＝，∴sin∠BAD＝．法二：在Rt△BEC中，BC＝＝5，∵AD⊥BC，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠ABD+∠CBE＝90°，∴∠BAD＝∠CBE，∴sin∠BAD＝sin∠CBE＝．故选：C．核心知识3．解直角三角形的应用 18．如图，沿AB方向架桥BD，以桥两端B、D出发，修公路BC和DC，测得∠ABC＝150°，BC＝1800m，∠BCD＝105°，则公路DC的长为（　　）A．900m B．900m C．900m D．1800m【解答】解：如图，过点C作CE⊥BD，垂足为E，∵∠ABC＝150°，∴∠CBE＝180°﹣150°＝30°，∠BCE＝150°﹣90°＝60°，又∵∠BCD＝105°，∴∠DCE＝105°﹣60°＝45°，在R△BCE中，∠CBE＝30°，BC＝1800m，∴CE＝BC＝900（m），在Rt△CDE中，∠DCE＝45°，∴CD＝CE＝900（m），故选：B．19．图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上．图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当∠ABC＝130°，∠BCD＝70°时，则托板顶点A到底座CD所在平面的距离为（　　）（结果精确到1mm）．（参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75，≈1.41，≈1.73）A．246 mm B．247mm C．248mm D．249mm【解答】解：延长DC，过点A作AE⊥CD，垂足为E，过点B作BF⊥AE，垂足为F，过点B作BG⊥CD，垂足为G，由题意得：EF＝BG，BF∥ED，∴∠FBC＝∠BCD＝70°，∵∠ABC＝130°，∴∠ABF＝∠ABC﹣∠FBC＝60°，在Rt△ABF中，AB＝200mm，∴AF＝AB•sin60°＝200×＝100（mm），在Rt△BCG中，BC＝80mm，∴BG＝BC•sin70°≈80×0.94≈75.2（mm），∴EF＝BG＝75.2（mm），∴AE＝AF+EF＝100+75.2≈248（mm），∴托板顶点A到底座CD所在平面的距离约为248mm，故选：C．20．如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，BD∥CE，∠ABD＝α，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（　　）A．（2+15sinα）m B．（2+15tanα）m C．17tanαm D．17sinαm【解答】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE，∴∠AEC＝∠BCE＝90°．∵BD∥CE，∴BD⊥AE，BD⊥BC．∴∠ADB＝∠BDE＝∠DBC＝90°．∴四边形BCED是矩形．∴DE＝BC＝2m．∵AD＝ABsin∠ABD＝15sinα（m），∴AE＝DE+AD＝2+15sinα（m）．故选：A．21．如图，小明为了测量遵义市湘江河的对岸边上B，C两点间的距离，在河的岸边与BC平行的直线EF上点A处测得∠EAB＝37°，∠FAC＝60°，已知河宽30米，则B，C两点间的距离为（　　）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．（18+25）米 B．（40+10）米 C．（24+10）米 D．（40+30）米【解答】解：作AD⊥BC于点D，如图，∵BC∥EF，∴∠DBA＝∠EAB，∠DCA＝∠CAF，∵∠EAB＝37°，∠CAF＝60°，∴∠DBA＝37°，∠DCA＝60°，∵AD＝30米，tan∠DBA＝，tan∠DCA＝，∴＝，＝，解得BD＝40米，CD＝10米，∴BC＝BD+CD＝（40+10）米，故选：B．22．如图，已知A、C两点的距离为5米，∠A＝α，则树高BC为（　　）A．5sinα米 B．5cosα米 C．5tanα米 D．米【解答】解：在Rt△ABC中，∵tanα＝，∴BC＝AC•tanα＝5tanα（米），故选：C．23．如图，一条河的两岸互相平行，为了测量河的宽度PT（PT与河岸PQ垂直），测量得P，Q两点间距离为m米，∠PQT＝α，则河宽PT的长为（　　）A．msinα B．mcosα C．mtanα D．【解答】解：由题意得：PT⊥PQ，∴∠APQ＝90°，在Rt△APQ中，PQ＝m米，∠PQT＝α，∴PT＝PQ•tanα＝mtanα（米），∴河宽PT的长度是mtanα米，故选：C．24．如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故选：B．25．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知BC＝6m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　）A．（4+3sinα）m B．（4+3tanα）m C．（4+）m D．（4+）m【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图，∵它是一个轴对称图形，∴AB＝AC，∵AD⊥BC，∴BD＝BC＝3m，在Rt△ADB中，∵tan∠ABC＝，∴AD＝BD•tanα＝3tanαm．∴房顶A离地面EF的高度＝AD+BE＝（4+3tanα）m，故选：B．26．某学校安装红外线体温检测仪（如图1），其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上自由调节（如图2）．已知最大探测角∠OBC＝67°，最小探测角∠OAC＝37°．测温区域AB的长度为2米，则该设备的安装高度OC应调整为（　　）米．（精确到0.1米．参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）A．2.4 B．2.2 C．3.0 D．2.7【解答】解：设BC＝xm，∵AB＝2m，∴AC＝（x+2）m，∵∠OBC＝67°，∠OAC＝37°∴tan∠OBC＝tan67°≈，tan∠OAC＝tan37°≈，∵OC＝BC•tan∠OBC＝BC•tan67°≈x，OC＝AC•tan∠OAC＝AC•tan37°≈（x+2），∴x＝（x+2），解得：x＝，∴OC≈x＝≈2.2m，故选：B．27．如图1是一种可折叠手机平板支架，由托板、支撑板和底座组成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB＝17cm，支撑板长CD＝12cm，底座长DE＝13cm，托板AB固定在支撑板的端点C处，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动，当∠ACD＝2∠D＝60°时，点A到点D的距离恰好是点C到直线DE的距离的2倍，则BC＝　5　cm．为了观看舒适，把AB绕点C旋转，再将CD绕点D旋转，使点B与点E重合，则此时点A到直线DE的距离为 　　cm．【解答】解：如图，过点A作AF⊥DE于F，延长AB，DE交于点H，作CG⊥DH，垂足为G．∵∠ACD＝2∠CDH＝60°，∴∠CDH＝30°，∴∠H＝∠ACD﹣∠CDH＝30°，∴∠H＝∠CDH，∴CH＝CD＝12cm，∵CG⊥DH，∠H＝30°，∴CG＝CH＝6cm，即点C到直线DE的距离为6cm，∴点A到直线DE的距离为12cm，即AF＝12cm．∵CG⊥DE，AF⊥DE，∴CG∥AF，∴△CHG∽△AHF，∴＝，即＝，∴AH＝24cm，∴AC＝AH﹣CH＝12cm，∴BC＝AB﹣AC＝17﹣12＝5cm．旋转后图形如下：过点A作AG⊥BD于G，交CD于H．∵BC＝5cm，CD＝12cm，BD＝13cm，∴BC2+CD2＝BD2，∴△BCD是直角三角形，且∠BCD＝90°，∴∠D+∠B＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠D，∴cosA＝cosD＝＝．在Rt△AGB中，AG＝AB•cosA＝17×＝cm．即此时点A到直线DE的距离为cm．故答案为：5，．