(安徽版)中考数学一轮复习专题训练专题19 圆（含答案）

这是一份(安徽版)中考数学一轮复习专题训练专题19 圆（含答案），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，综合题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·安徽）已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
2．（2022·宣州模拟）如图所示的是一圆弧形拱门，其中路面AB＝2m，拱高CD＝3m，则该拱门的半径为（ ）
A．B．2mC．D．3m
3．（2022·安徽模拟）如图，AB为的直径，点C，D在上．若，则的度数是（ ）
A．15°B．20°C．25°D．30°
4．（2022·安徽模拟）如图，点P是边长为6的等边内部一动点，连接BP，CP，AP，满足，D为AP的中点，过点P作，垂足为E，连接DE，则DE长的最小值为（ ）
A．2B．C．3D．
5．（2022·瑶海模拟）已知，如图，点C是以AB为直径的半圆O上一点，过点C作⊙O的切线CD，BD⊥CD于点D，若∠DCB=50°，则∠ABC的度数是（ ）
A．25°B．40°C．45°D．50°
6．（2022·蜀山模拟）如图，A、B表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点C表示射门点，连接AC、BC，则∠ACB就是射门角，在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大，球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，当∠ACB最大时就是带球线路ED上的最佳射门角，若AB=4，BD=1，则当球员甲在此次带球中获得最佳射门角时DC的长度为（ ）
A．2B．3C．D．
7．（2022·肥西模拟）如图，正比例函数y＝2x与反比例函数的图象交于A、B两点，点P在以为圆心，1为半径的⊙C上运动，点Q是AP的中点，则OQ长的最大值为（ ）
A．2B．C．D．
8．（2022·安庆模拟）如图，在⊙O中，OA⊥BC ，∠CDA=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．17.5°B．35°C．37.5°D．70°
9．（2022·蚌埠模拟）已知矩形MNPQ的顶点M，N，P，Q分别在正六边形ABCDEF的边DE，FA，AB，CD上，且．在点从移向（与不重合）的过程中，下列的判断中，正确的是（ ）
A．矩形MNPQ的面积与周长保持不变
B．矩形MNPQ的面积逐渐减小，周长逐渐增大
C．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐增大
D．矩形MNPQ的面积与周长均逐渐减小
10．（2022·雨山模拟）已知圆锥的底面半径为4，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A．24B．48C．12D．24
二、填空题
11．（2022·无为模拟）如图，P为的直径的延长线上一点，与相切于点C，的平分线交于点Q，于点D，交于点E．若，则的值为 ．
12．（2022·来安模拟）直线l与⊙O相切于点P，点A在直线l上，线段AO与⊙O相交于点B，若AB=2，∠OAP=30°，则劣弧PB的长为 ．
13．（2022·肥东模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点D是AC与⊙O的交点，若，则等于
14．（2022·蜀山模拟）如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点E为边BC的中点，以点A为圆心的弧经过点C，分别与AD、AE的延长线交于点F、G，则弧FG的长是 ．（结果保留π）
15．（2022·雨山模拟）如图，已知⊙上有三点，，，半径，，切线交延长线于点，则的周长为 ．
16．（2022·安庆模拟）已知⊙O的半径为5，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，DC是⊙O的切线，C是切点，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为 ．
17．（2022·蚌埠模拟）如图，中，，M是BC的中点，的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，连接DE．若，则的大小为 ．
18．（2022·雨山模拟）如图，在中，，，，点是内部的一个动点，连接，且满足，过点作交于点．
（1） ；
（2）当线段最短时，的面积为 ．
19．（2022·宣城模拟）如图， 是半圆O的直径，C、D是半圆上两点，且满足 ， ，则 ．
20．（2022·淮北模拟）如图，已知等边△ABC的边长为2，以AB为直径的⊙O与△ABC的边AC，BC分别相交于D，E两点，则扇形DOE的面积是 ．
三、综合题
21．（2022·安徽）已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．
（1）如图1，若CO⊥AB，∠D＝30°，OA＝1，求AD的长；
（2）如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD＝∠ACE，求证：CE⊥AB．
22．（2022·义安模拟）如图，是的外接圆，平分的外角，，，垂足分别是点M、N，且．
（1）求证：//；
（2）如图，延长交于E点，若，；求的半径长．
23．（2022·宣州模拟）如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．
（1）求证：BF是⊙O的切线．
（2）若BF＝3，，求BD的长．
24．（2022·涡阳模拟）已知，线段BC与⊙A相切于点B，BC=6，CD=3．
（1）求⊙A的半径；
（2）用尺规作BE∥AC交⊙A于点E，求BE的长．
25．（2022·安徽模拟）如图，在四边形ABCD中，，，以BC为直径的半与边AD相切于点E．
（1）求证：；
（2）若，求DE的长．
26．（2022·全椒模拟）如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接AC，CN与⊙O相切，，分别交AC，CN于点D，M．
（1）试猜想线段MD与MC的数量关系，并说明理由；
（2）连接BC，若AC＝6，∠B＝60°，求弧AC的长．
27．（2022·来安模拟）如图，是的直径，弦于点．点是的中点，连接并延长交于点，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的面积．
28．（2022·肥东模拟）如图，⊙O的直径CD分别与弦AB、AF交于点E、H，连接CF、AD、AO，已知CF=CH、．
（1）求证：AB⊥CD；
（2）若AE=4、OH=1，求AO的长；
29．（2022·瑶海模拟）已知，如图，△ABC内接于⊙O，CD是直径，过点C作CE⊥AB于点E，点G是AB的中点，连接OG，过点D作DF⊥AB于点F，连接DE．
（1）求证：CA•CB=CD•CE；
（2）若∠ABC=45°，AE=1、BC=3，求OG的长．
30．（2022·霍邱模拟）如图，已知AB为☉O的直径，AC，CD是弦．AB⊥CD于E．OF⊥AC于F．连接BC．
（1）求证：；
（2）若BE＝2cm，，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】解：连接，过点O作于点C，如图所示，
则，，
∵PA＝4，PB＝6，
∴，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
故答案为：D
【分析】先利用垂径定理和线段的和差求出，再利用勾股定理求出OP的长即可。
2．【答案】A
【解析】【解答】解：
∵CD为拱高，
∴CD过圆心，且CD⊥AB，
∴AD=BD=，
在CD上圆心为O，连结OA，
∴OA=OC，CD=3，
设OA=x，OD=3-x，
在Rt△OAD中，，即，
解得，
∴该拱门的半径为m．
故选择A．
【分析】先利用垂径定理可得AD=BD=，设OA=x，OD=3-x，利用勾股定理可得，即，求出x的值即可。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠BCD=180°，
∴∠A=180°-100°=80°，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠A=80°，
∴∠AOD=180°-∠ADO-∠A=20°，
故答案为：B.
【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A=80°，根据等腰三角形的性质得出∠ADO=∠A=80°，利用三角形内角和定理得出∠AOD=180°-∠ADO-∠A，即可得出答案.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，设△PBC外接圆的圆心为O，
∵PE⊥AC，D为AP的中点，
∴DE=AP，
∴当AP⊥BC时，AP的长最小，
∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，BF=CF=×6=3，
∴AF=3，
∵∠1=∠2，
∴∠PBC+∠2=60°，
∴∠BPC=120°，
∴∠CPF=60°，
∴PF=，
∴AP=2，
∴DE=AP=，
∴DE长的最小值为.
故答案为：D.
【分析】设△PBC外接圆的圆心为O，根据直角三角形斜边中线定理得出DE=AP，当AP⊥BC时，AP的长最小，求出AP的长，从而求出DE的长，即可得出答案.
5．【答案】B
【解析】【解答】解：如下图所示，连接OC．
∵CD是的切线，
∴OC⊥CD．
∴∠OCD=90°．
∵∠DCB=50°，
∴∠OCB=∠OCD-∠DCB=40°．
∵OB=OC，
∴∠ABC=∠OCB=40°．
故答案为：B．
【分析】连接OC，根据切线的性质可得∠OCD=90°，再求出∠OCB=∠OCD-∠DCB=40°，最后根据等边对等角的性质可得∠ABC=∠OCB=40°。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：如图所示，
圆O为△ABC的外接圆，当DE为圆O的切线时，∠ACB的角度最大，（备注：弧所对的角中，圆周角>圆外角）
过O点作OF⊥AB，则AF=BF，
∵AB=4，BD=1，
∴AF=2，DF=3，
∵OC⊥AC，∠D=90°，
∴四边形OCDF为矩形，
∴OC=DF=OA，
∴OF=，
∴CD=
故答案为：C．
【分析】如图，圆O为△ABC的外接圆，当DE为圆O的切线时，∠ACB的角度最大，过O点作OF⊥AB，则AF=BF，先证明四边形OCDF为矩形，再利用勾股定理求出OF=，即可得到CD=。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
正比例函数与反比例函数的图象交于、两点，
点关于原点对称，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
由圆的性质可知，当经过圆心时，取得最大值，最大值为，
联立，解得或，
，
，
，
点在1为半径的上运动，
，
，
长的最大值为，
故答案为：D．
【分析】联立正比例函数与反比例，求出点A、B的坐标，连接BP，连接BC并延长，由圆的性质可知，当经过圆心时，取得最大值，最大值为，由勾股定理得出BC的值，进而得出答案。
8．【答案】D
【解析】【解答】解：∵在⊙O中，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据圆周角的性质可得。
9．【答案】D
【解析】【解答】正六边形为轴对称图形，以EF之间的对称轴为y轴，以直线AD上的对称轴为x轴，建立平面直角坐标系．
设六边形的边长为2，
则，，
设直线ED的解析式为y=kx+b，
解得，
故ED的解析式为，
点M在线段ED上，故设M（x，y），
矩形NMQP中，N与M关于y轴对称，∴N（-x，y），
Q与M关于x轴对称，∴Q（x，-y），
∴，，
∴ 矩形的周长C=2（NM+MQ）=2(2x+2y)= =，
由于，故C的值会随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大，所以周长会不断减小；
矩形的面积
∵1时，S随x的增大而减小，所以面积也会逐渐减小．
故答案为：D．
【分析】设六边形的边长为2，则，，设直线ED的解析式为y=kx+b，得出k、b的值，推出ED的解析式，点M在线段ED上，由于，故C的值会随x的增大而减小，点M从E移动到D的过程中，x不断增大，所以周长会不断减小；1时，S随x的增大而减小，所以面积也会逐渐减小．
10．【答案】D
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为4，母线长为6，
∴圆锥的侧面展开图的面积是．
故答案为：D．
【分析】圆锥的侧面展开图的面积等于底面周长与母线乘积的一半。
11．【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接
∵
∴
∴
∵是的切线
∴
∵
∴，
∵
∴
∵是的角平分线
∴
∵
∴
在和中
∵
∴
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴
故答案为：．
【分析】连接，由切线的性质得出，结合，及角平分线的定义得出，利用等腰三角形三线合一的性质得出，，即可得出答案。
12．【答案】或
【解析】【解答】解：连接OP、PB，
∵AP是⊙O的切线，
∴OP⊥AP，即∠OPA=90°，
∵∠OAP=30°，
∴∠AOP=60°，
∵OB=OP，
∴△OPB是等边三角形，
∴∠OBP=60°，
∴∠BPA=60°-30°=30°，
∴∠BPA=∠OAP=30°，
∴PB=AB=2，
∴OB=OP=2，
∴劣弧PB的长为．
故答案为：．
【分析】连接OP、PB，先证△OPB是等边三角形，可推出∠BPA=∠OAP=30°，从而得出PB=AB=2，即得OB=2，再根据弧长公式计算即可.
13．【答案】或36度
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，，
∴，
∵BC是⊙O的切线，
∴，
∴．
故答案为：
【分析】由AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，从而求出∠ABD=90°-∠BAC=54°，由切线的性质可得，根据即可求解.
14．【答案】或
【解析】【解答】解：如图，连接
由题意知，
∴
由矩形的性质可知
∴
在中，由勾股定理得
∴
故答案为：．
【分析】先求出，再利用勾股定理求出AC的长，最后利用弧长公式可得。
15．【答案】
【解析】【解答】解：连接OA，
由圆周角定理得：∠AOP=2∠ABC=60°，
∵AP为⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
在Rt△AOP中，tan∠AOP=，OP=2OA=4，
∴AP=OA•tan∠AOP=2，
∴△OAP的周长为2+4+2=．
故答案为：．
【分析】同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半，再结合切线的定义可分别求出OP和AP的长，进而可求三角形的周长。
16．【答案】5
【解析】【解答】解：连接OC．
∵AB是圆O的直径，DC是圆O的切线，C是切点，
∴∠ACB=∠OCD=90°．
∵∠CAB=30°，
∴∠COD=2∠A=60°，
∴∠ODC=30°，
∴OD=2OC=10，
∴BD=OD-OB=10-5=5．
故答案为：5．
【分析】连接OC，先证明∠COD=2∠A=60°，求出∠ODC=30°，利用含30°角的直角三角形的性质可得OD=2OC=10，再利用线段的和差可得BD=OD-OB=10-5=5。
17．【答案】30°
【解析】【解答】解：∵，
∴△ABC是直角三角形
∵M是BC的中点，
∴AM＝BM＝，
∴△ABM是等腰三角形，
∴∠B＝∠BAM，
∵的内切圆与AB，BM分别相切于点D，E，
∴BD＝BE，
∴△BDE是等腰三角形，
∴∠BED＝∠BDE，
∵，
∴∠BED＝∠BMA，∠BDE＝∠BAM，
∴∠BMA＝∠BAM
∴∠B＝∠BMA＝∠BAM，
∴△ABM是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴∠C＝90°－∠B＝30°，
故答案为：30°．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出AM＝BM＝，证明△ABM是等边三角形，进而得出结论。
18．【答案】（1）90°
（2）
【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°，
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°；
故答案为：90°；
（2）设AB的中点为O，连接OP，∵∠ABC=90°，
则OP=OA=OB，
∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，
在Rt△BCO中，∠OBC=90°，BC=4，OB=3，
∴OC==5，
∴PC=OC-OP=5-3=2．
∴，
，
S△BCP．
故答案为：.
【分析】由于三角形APB是以AB为斜边的直角三角形，所以点P在以AB为直径的圆上，则当射线CP经过圆心时，CP最短；再结合相似三角形的知识即可。
19．【答案】6
【解析】【解答】解：∵∠ADC=120°，
∴∠B=60°，
∵ 是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×3=6，
故答案为：6．
【分析】先利用圆内接四边形的性质可得∠B=60°，再利用圆周角和三角形的内角和可得∠BAC=30°，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AB=2BC=2×3=6。
20．【答案】
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∵OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠B=∠C=60°，
∴∠AOD=∠BOE=60°，
∴∠DOE=60°，
∵OA=OD= AB=1，
∴扇形DOE的面积是 = ；
故答案为： ．
【分析】由△ABC是等边三角形，得出∠A=∠B=∠C=60°，推出∠DOE=60°，由OA=OD= AB=1，再利用扇形面积公式即可得解。
21．【答案】（1）解：∵OA=1=OC，COAB，∠D=30
∴CD=2⋅ OC=2
∴
∴
（2）证明：∵DC与⊙O相切
∴OCCD
即∠ACD+∠OCA=90
∵OC= OA
∴∠OCA=∠OAC
∵∠ACD=∠ACE
∴∠OAC+∠ACE=90
∴∠AEC=90
∴CEAB
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出OD的长，再利用线段的和差可得；
（2）先证明∠OCA=∠OAC，再结合∠ACD=∠ACE可得∠OAC+∠ACE=90，即∠AEC=90，从而可得CEAB。
22．【答案】（1）证明：，，
，
，
，
，
，
，
，
平分的外角，
，
，
；
（2）解：延长交于F点，连接CF，
∵AF是圆的直径，
∴∠ACF=90°，
由（1）得
∵
∴
∴
∴
，
∴，
，，
∴（负值舍去），即半径为．
【解析】【分析】（1）由三角形外角的性质可得∠DAC=2∠DAE，根据圆的概念及性质可证明AB=AC，再证明即可；
（2）延长交于F点，连接CF，证明，列出比例式求解即可。
23．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵C是的中点，
∴，
∴∠CAB=∠CBD，
∵CE=CF，BC⊥EF，
∴BE=BF，
∴∠FBC=∠CBE，
∴∠FBC=∠CBE=∠CAB，
∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠FBC+∠CBA=90°，
∴FB⊥AB，AB为直径，
∴BF为⊙O的切线；
（2）解：连结OC，交BD于G，
∵，OC为半径，
∴OC⊥BD，DG=BG=，
∵BF＝3，，
∴，
∴AF=9，
在Rt△ABF中AB=，
∴S△ABF=BC·AF=AB·BF，
∴，
∵sinA=sin∠CBG=，
∴，
在Rt△BCG中，
∴BD=2BG=．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠CAB=∠CBD，求出∠FBC=∠CBE，根据圆周角定理得出∠FBC=∠CBE=∠CAB，推出∠FBC+∠CBA=90°，根据切线的判定定理即可得出结论；
（2）在Rt△ABF中利用勾股定理得出AB，推出S△ABF=BC·AF=AB·BF，从而得出BC的值，在在Rt△BCG中利用勾股定理求出BG的值即可。
24．【答案】（1）解：设⊙A的半径为r，则AB=r，AC=r+3，
∵BC与⊙A相切于点B，
∴AB⊥BC，
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴r2+62=（r+3）2，
解得：r=；
（2）解：如图所示，BE即为所求，
作法：①以B为圆心，AB长为半径画弧，
②以A为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点P，
③连接BP交⊙A于点E，
线段BE即为所求；
连接AE，过点A作AH⊥BE于点H，
则∠AHB=90°，BE=2BH，
∵BE∥AC，
∴∠ABE=∠BAC，
∵∠AHB=∠ABC=90°，
∴△ABH∽△CAB，
∴，
∵AB=，AC=+3=，
∴BH=，
∴BE=2BH=．
【解析】【分析】（1）设⊙A的半径为r，则AB=r，AC=r+3，利用勾股定理列出方程r2+62=（r+3）2，求出r的值即可；
（2）先作出图形，再证明△ABH∽△CAB，可得，再将AB和AC的值代入计算可得BH的长，最后计算出BE的长即可。
25．【答案】（1）证明：如图，连接OE，
∵半与AD相切于点E，∴．
∵，∴，∴，∴．
∵，∴，∴
（2）解：如图，连接BE，∵，，∴，
∵，∴．
设，则，∵BC为的直径，∴．
∵，
∴，，
∴，∴，∴，即，
解得，即DE的长为．
【解析】【分析】（1）连接OE，根据切线的性质和平行线的判定得出OE∥CD，得出∠DCE=∠OEC，再根据等腰三角形的性质得出∠BCE=∠OEC，即可得出∠BCE=∠DCE；
（2）连接BE，先证出AB∥CD∥OE，得出AE=DE，设AE=DE=x，得出AD=AB=2x，根据相似三角形的判定与性质得出，求出x的值，即可得出答案.
26．【答案】（1）解：，
理由：连接OC，
∵与相切，
∴ ，，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴弧的长为．
【解析】【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得，再结合，，可得，再证明，即可得到；
（2）利用锐角三角函数可得，求出，再利用弧长公式求出答案即可。
27．【答案】（1）解：∵是的直径，弦，
∴，，
∴，
∵（公共角），
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵点是的中点，，
∴，，
∵于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1） 证明，利用相似三角形的性质即可求解；
（2）先求出AG，DF，AD的长，由，可得，据此求出△AED的面积， 利用即可求解.
28．【答案】（1）解：∵CF=CH，
∴∠F=∠CHF．
∵∠F=∠D，∠CHF=∠AHD，
∴∠D=∠AHD，
∴AH=AD．
∵=，
∴∠HAE=∠DAE．
∴AE⊥HD，即AB⊥CD．
（2）解：∵AH=AD，∠HAE=∠DAE，
∴HE=DE．
设OE=x．
∵OH=1，
∴HE=x+1=DE，
∴OD=2x+1=AO．
在Rt△OAE中，∵OE2+AE2=AO2，AE＝4，
∴x2+42=（2x+1）2，
解得x1=-3（舍去），x2=．
∴AO=2×+1=，
即AO的长等于．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质、圆周角定理及对顶角相等，可推出∠D=∠AHD，可得AH=AD，由=可得∠HAE=∠DAE，根据等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥HD，即得解；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得HE=DE，设OE=x，可得HE=x+1=DE，OD=2x+1=AO，在Rt△OAE中，由OE2+AE2=AO2建立关于x方程并解之即可.
29．【答案】（1）：证明：∵CD是直径，CE⊥AB
∴∠CBD=∠AEC=90°，
又∵∠A=∠CDB
∴△ACE∽△DCB
∴
∴AC∙CB=CD∙CE
（2）解：连接OA，如图，
∵∠ABC=45°，CE⊥AB，BC=
∴CE=BE=3
∴AC=
∴OA=OC=
∵点G是AB的中点，
∴AG=
∴OG=
【解析】【分析】（1）先证明△ACE∽△DCB可得，再化简可得AC∙CB=CD∙CE；
（2）连接OA，先利用勾股定理求出AC的长，再利用中点的性质求出AG的长，最后利用勾股定理求出OG的长即可。
30．【答案】（1）证明：∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC，
又∵OF⊥AC，
∴．
（2）解：∵AB为☉O的直径，AB⊥CD，，
∴，
在中，由勾股定理得，
∵，，
∴，
∴，即，
解得；
∴的长为cm．
【解析】【分析】（1）先证明∠ACB＝90°，即BC⊥AC，再结合OF⊥AC，可得OF//BC；
（2）先利用勾股定理求出BC的长，再证明可得，即，再求出即可。