数学八年级下册16.1 二次根式学案

这是一份数学八年级下册16.1 二次根式学案，共9页。学案主要包含了学习目标，学习过程，二次根式的性质，代数式及其写法，二次根式的乘法，二次根式的除法，最简二次根式，二次根式的加减等内容，欢迎下载使用。
一、学习目标：
1.掌握二次根式的概念和性质;
2.理解最简二次根式的概念;
3.掌握二次根式的四则运算;
4.利用二次根式解决一些综合性的数学问题.
重点：掌握二次根式的概念和性质;掌握二次根式的四则运算.
难点：利用二次根式解决一些综合性的数学问题
二、学习过程：
知识梳理
一、二次根式的概念
一般地，我们把形如___________的式子叫做二次根式，“____”称为二次根号.
【深度理解】________________________________________________________
______________________________________________________________________________________________________________________________________
二、二次根式的有意义的条件
1.单个二次根式如有意义的条件：________
2.多个二次根式相加如有意义的条件：_________
3.二次根式作为分式的分母如或有意义的条件：________
4.二次根式与分式的和如或有意义的条件：_______________
三、二次根式的性质
性质一：一般地，__________________
即一个非负数的算术平方根的平方等于_________.
注意：___________________________________________________________.
性质二：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的_________.
四、代数式及其写法
思考：到现在为止，初中阶段所学的代数式主要有哪几类？
【归纳】代数式书写格式注意事项：
1.________________________________________________________________
2.________________________________________________________________
3.________________________________________________________________
4.________________________________________________________________
5.________________________________________________________________
六、二次根式的乘法
1.二次根式的乘法法则：__________________________
即：二次根式相乘，________不变，________相乘.
语言表述：____________________________________________________.
2.积的算术平方根的性质：__________________________
语言表述：____________________________________________________.
七、二次根式的除法
1.二次根式的除法法则： (a≥0，b＞0)
即：二次根式相除，________不变，________相除.
语言表述：___________________________________________.
当二次根式根号外的因数(式)不为1时，可类比单项式除以单项式法则，易得
2.二次根式的商的算术平方根的性质:
语言表述：_______________________________________________.
八、最简二次根式
(1) _________________________；
(2) _________________________________________.
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做___________________.
在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为__________，并且______中不含二次根式.
九、二次根式的加减
1.化成_______________后，被开方数________的几个二次根式，叫做___________________.
2.二次根式加减时，可以先将二次根式化成_______________，再将被开方数_____的二次根式(________________)进行合并.
加减法的运算步骤：
(1)______________________________________；
(2)______________________________________；
(3)______________________________________.
简单说成“__________________________”
十、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算：
二次根式的混合运算的顺序：________________________________________
__________________________________________________________________.
考点解析
考点1：二次根式的相关概念有意义的条件
例1.下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
例2.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

例3.已知,求3x+2y的算术平方根.
【迁移应用】
【1-1】下列式子：①；②；③；④；⑤，是二次根式的有（ ）
A．①③⑤ B．①③ C．①②③ D．①②③⑤
【1-2】使式子有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
【1-3】已知a，b为等腰三角形的两条边长，且a，b满足，求此三角形的周长．
考点2：二次根式的性质及其应用
例4.若，求a-b+c的值.
例5.已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示,化简．
例6.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简：++
+.
【迁移应用】
【2-1】下列计算正确的是（ ）
A．B． C． D．
【2-1】成立的条件是（ ）
A．x≥3 B．x＞3 C．x≤3 D．x＜3
【2-3】若，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．1
【2-4】如图，实数a，b，c是数轴上A，B，C三点所对应的数，化简．
考点3：二次根式的运算及典型应用
例7.计算：
例8.计算：

例9.已知，，求的值．
例10.化简求值：．
【迁移应用】
【3-1】下列各式计算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【3-2】计算：
(1)； (2);
【3-3】先化简，再求值：,其中
考点4：二次根式的实际应用
例11.把两张面积都为18的正方形纸片各剪去一个面积为2的正方形，并把这两张正方形纸片按照如图所示叠合在一起，做出一个双层底的无盖长方体纸盒．求这个纸盒的侧面积（接缝忽略不计）．
例12.某居民小区有块形状为矩形的绿地，长为米，宽为米，现在要矩形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛（即图中阴影部分），每个长方形花坛的长为米，宽为米．
(1)求矩形的周长．（结果化为最简二次根式）
(2)除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【迁移应用】
【4-1】如图，用四张一样大小的长方形纸片拼成一个面积是125的正方形ABCD，，图中空白部分是一个小正方形，求这个小正方形的周长．
【4-2】已知a,b,c满足.
(1)求a,b,c的值；
(2)以a,b,c为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
【4-3】为了表示对老师的敬意，张昊同学特地做了两张大小不同的正方形的画送给老师，其中一张面积为800cm2，另一张面积为450cm2.他想：如果再用金色细彩带把画的边镶上会更漂亮．他手上现有1.2m长的金色细彩带．请你帮他算一算，他的金色细彩带够用吗？如果不够用，还需买多少厘米的金色细彩带？(≈1.414，结果保留整数)
考点5：二次根式中的规律性问题
例13.观察下列等式：
①；
②；
③
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算： ．
【迁移应用】
【5-1】将一组数，2，，2，，…，2按图中的方法排列：
若3的位置记为（2，3），2的位置记为（3，2），则这组数中最大数的位置记为______．
【5-2】观察下列等式：
第1个等式：a1=，
第2个等式：a2=，
第3个等式：a3==2-，
第4个等式：a4=，
…
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an=__________.
(2)a1+a2+a3+…+an=_________
【5-3】观察下列各式及证明过程：
①；
②；
③．
验证：；
．
（1）按照上述等式及验证过程的基本思想，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用（为正整数，且）表示的等式．