山东省邹平市魏桥镇初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省邹平市魏桥镇初级中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物变化．如图为部分“卦”的符号，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．
【详解】解：A.是中心对称图形；
B.不是中心对称图形；
C.不是中心对称图形；
D.不是中心对称图形；
故选A．
2. 某村从2022年开始大力发展乡村民宿旅游产业，据统计，该村2022年乡村民宿旅游收入约为2000万元，2024年该村乡村民宿旅游收入达到3380万元，则该村2022年到2024年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该村2022年到2024年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，利用2024年该村乡村民宿旅游收入年该村乡村民宿旅游收入（1+增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【详解】解：设该村2022年到2024年乡村民宿旅游收入的年平均增长率约为x，
依题意得：，
解得：（不合题意，舍去）．
故选：C．
3. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得且，
解得且．
故选：D．
4. 下列说法正确的是( )
A. “任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件
B. “购买1张彩票，中奖”是不可能事件
C. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，说明正面朝上的概率是0.3
D. 某射击运动员射击一次只有中靶与不中靶两种可能的结果，故他击中靶的概率是0.5
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件和不可能事件的概念，以及概率的计算方法求解即可．
【详解】解：A、“任意画一个三角形，其内角和是180°”是必然事件，故选项正确，符合题意；
B、“购买1张彩票，中奖”是随机事件，故选项错误，不符合题意；
C、抛掷一枚质地均匀的硬币10次，有3次正面朝上，不能说明正面朝上的概率是0.3，故选项错误，不符合题意；
D、他击中靶的概率不是0.5，故选项错误，不符合题意．
故选：A．
【点睛】此题考查了必然事件和不可能事件的概念，以及概率的计算，解题的关键是熟练掌握必然事件和不可能事件的概念，以及概率的计算．
5. 近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为20的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（ ）
A. 8B. 12C. 0.4D. 0.6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，理解并熟练运用概率公式是解题关键．
【详解】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴点落在阴影部分的概率为，
设阴影部分面积为S，则，
即：，
∴黑色阴影的面积为12，
故选：B．
6. 关于抛物线y＝x2﹣2x，下列说法错误的是（ ）
A 该抛物线经过原点
B. 该抛物线的对称轴是直线x＝1
C. 该二次函数的最小值是0
D. 当x＜0时，y随x增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】令，求得的值判断，将抛物线的解析式化为顶点式，得到函数图象的对称轴和顶点坐标判断和，然后结合开口方向得到函数的增减性判断．
详解】解：A、令，，故选项正确，不符合题意；
B、，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，故选项正确，不符合题意；
C、函数图象开口向上，
函数的最小值为，故选项错误，符合题意；
D、当时，随增大而减小，故选项正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题的关键是会将二次函数的解析式化为顶点式得到二次函数的性质．
7. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ）
A. 点B. 点C. 点D. 点
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上，连接，，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交于点M，则M为旋转中心．
【详解】解：连接，， 作的垂直平分线，作的垂直平分线，交到在M处，所以可知旋转中心的是点M．如下图：
故选∶A．
8. 已知AB＝12 cm，过A，B两点画半径为8 cm的圆，则能画的圆的个数为( )
A. 0个B. 1个C. 2个D. 无数个
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．
【详解】分别以A、B为圆心，以8cm为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，
得以C为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
以D为圆心，以8cm为半径的圆经过点A和点B，
即能画的圆的个数是2个．
故选：C．
【点睛】本题考查了两圆相交的性质，能找出圆的圆心是解此题的关键．
9. 如图，点、、在上，，连接，过点作交于点，交于点．若点是的中点，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，余弦，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，利用余弦的定义求出，再根据圆周角定理得到，然后计算即可．
【详解】解：连接，如图，
∵点D是半径中点，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
10. 如图，的半径为2，将的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时，点经过的路径长为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查旋转对称图形，解题的关键是求出第一次重合的旋转角，然后根据弧长公式计算是解题的关键．
【详解】解：∵的内接正六边形绕点顺时针旋转，第一次与自身重合时旋转角为60°，
∴点经过的路径长为，
故选C．
11. 在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的弧多次复制并首尾连接而成，现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒米的速度沿曲线向右运动，则在第2023秒时点P的纵坐标为（ ）
A. 1B. 0C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意和图形，可以求得的长，得到点P纵坐标的规律：以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，然后即可得到在第2023秒时点P的纵坐标，本题得以解决．
【详解】解：
的长为：，
（秒），
如图，作于E，与交于点D．
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴第1秒时点P纵坐标为1；
第2秒时点P纵坐标为0；
第3秒时点P纵坐标为；
第4秒时点P纵坐标为0；
第5秒时点P纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，，0四个数为一个周期依次循环，，
故在第2023秒时点P的纵坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是找出点P纵坐标的规律：以1，0，，0四个数为一个周期依次循环．
12. 如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论：
①一个圆的“半径三角形”有无数个；
②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形；
③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，或；
④若一个圆的半径为，则它的“半径三角形”面积最大值为．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①②④
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的“半径三角形”的概念判断①②；根据圆周角定理、等腰三角形的概念判断③；根据垂径定理求出，根据勾股定理求出，求出的最大面积，判断④．
【详解】如图，，即的长度等于半径，
，即的长度等于半径，
以为边的圆的内接三角形有无数个，故①结论正确；
为等边三角形，
，
当点在优弧上时，，
当点在劣弧上时，，
当点在圆上移动时，可能是，
一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形，直角三角形或钝角三角形，故②正确；
由以上可知，可以是或，
当，时，
，
当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，或，
故③正确；
过作于，
，
，
当点为优弧的中点时，的面积最大，
，
故④错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，圆周角定理，等腰三角形的性质，灵活运用分情况讨论思想是解本题的关键．
二、填空题：每小题4分，共24分．
13. 将二次函数配方可得y＝_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用完全平方公式配方即可．
【详解】解：∵=（x-6）2+3，
∴二次函数配方后得到函数解析式为y=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的表达式，解题的关键是熟知二次函数的一般式和顶点式互化．
14. 已知是的二次函数，表中列出了部分与的对应值：则该二次函数有__________（填“最小值”或“最大值”）．
【答案】最大值
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的最值判断，先运用待定系数法求函数解析式，根据解析式判断即可．
【详解】解：设解析式为，把，代入得：
，解得：，
∴解析式为，
∵，
∴抛物线有最大值，
故答案为：最大值．
15. “青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是________．
【答案】
【解析】
【分析】连接，过点O作于点D，交于点C，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而可得出的长．本题考查的是垂径定理的应用和勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【详解】解：连接，过点O作于点D，交于点C，如图所示：
∵，
∴，
由题意得：，
在中，
，
∴，
即水的最大深度为，
故答案为：．
16. 如图，是半圆O的直径，将半圆O绕点A逆时针旋转，点B的对应点为，连接，若，则图中阴影部分的面积是 ________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查计算不规则图形的面积，设旋转后与半圆O交于点C，连接，根据求解即可．
【详解】解：设旋转后与半圆O交于点C，连接，过点C作于点D，如图，

，
，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，将面积为25的正方形的边的长度增加，变为面积为22的矩形．若正方形和矩形的周长相等，则的值是________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了矩形、正方形的性质，一元二次方程的解法等．根据正方形的面积可得正方形的边长为，再根据正方形和矩形的周长相等，可得，再由矩形的面积建立方程求解即可得出答案．
【详解】∵正方形的面积为，
∴正方形的边长为，
由题意得：，
∵正方形和矩形的周长相等，
，
，
∵矩形的面积为，
，即，
解得：，
，
，
故答案为：
18. 已知抛物线y＝ax2+bx+c如图所示，它与x轴的两交点的横坐标分别是－1，5．对于下列结论：①abc＞0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝－1，x2＝5；③9a－3b＋c＜0；④当x＜2时，y随着x的增大而增大．
其中正确的结论是_________（填写结论的序号）．
【答案】②③④
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴，以及与y轴的交点即可判断①；根据抛物线与x轴的交点即可判断②；根据图形即可判断③；求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下、顶点在y轴右侧、抛物线与y轴交于正半轴，
∴a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-1，5．
∴方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=5，故②正确；
∵当x=-3时，y＜0，
∴9a-3b+c＜0，故③正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标分别是-1，5，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向下，
∴当x＜2时，y随着x的增大而增大，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】此题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
三、解答题
19. 某校开展以“奋斗百年路•启航新征程”为主题的活动来庆祝建党百年．活动分为两个阶段：第一阶段是宣讲红色故事，有以党建党史、文化传承、人物传记为素材的3个宣讲项目（分别用A、B、C表示）；第二阶段是主题文艺创作，有文学创作、美术创作、舞蹈创作、音乐创作4个项目（分别用D、E、F、G表示）．要求参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．若小明参加该活动，请用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有可能的结果，并求小明恰好抽中项目C和E的概率．
【答案】所有结果见解析，概率为
【解析】
【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率．
【详解】解：列表如下：
由表可以看出，共有12种等可能结果，其中小明恰好抽中项目C和E的结果只有1种，
∴小明恰好抽中项目C和E的概率为．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及概率公式，正确列出表格是解题的关键．
20. 如图，要设计一幅宽20 cm，长40 cm的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为1∶2．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，则每个横彩条的宽度应是多少cm？
【答案】每个横彩条的宽度是（）cm
【解析】
【分析】设每个横彩条的宽度是xcm，则每个竖彩条的宽度是2xcm，空白部分可合成长为（40−2×2x）cm，宽为（20−2×2x）cm的矩形，利用矩形的面积计算公式，结合空白部分所占面积是图案面积的（1−），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将符合题意的值代入2x中可求出每个横彩条的宽度．
【详解】设每个横彩条的宽度是xcm，则每个竖彩条的宽度是2xcm，根据题意，得
（40﹣2×2x）（20﹣2x）＝40×20×（1﹣），
整理得： ，
解得： x1＝，x2＝（不合题意，舍去），
答：每个横彩条的宽度是（）cm．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 已知某商品的进价为每件24元，现在售价为每件32元，每天可售出200件．经市场调查发现：若该商品每件涨价1元，则每天就会少卖5件．
（1）在进价不变的条件下，要使每天所得的销售利润为2160元，且销量尽可能大，那么该商品每件应涨价多少元？
（2）在进价不变的条件下，要使该商品的每件销售利润不少于25元，那么每件涨价多少元时每天获得利润最大？所获最大利润是多少元？
【答案】（1）每件商品应涨价4元
（2）每件涨价17元时每天的销售利润最大，最大利润为2875元
【解析】
【分析】（1）设每件商品涨价元，根据利润＝每件商品的利润×销量列出方程，解方程可得答案；
（2）设每件商品涨价元时销售该商品获得的利润为元，根据（1）的思路可得关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质可得最大值．
【小问1详解】
解： 设每件商品涨价元，由题意得：
，
解得：，，
当时，销量为：（件），
当时，销量为：（件），
∵使销量尽可能大，
∴不合题意，舍去，取，
答：每件商品应涨价4元．
【小问2详解】
解：设每件商品涨价元时销售该商品获得的利润为元，由题意得：
，
∴当时，随的增大而减小，
∵每件商品的利润至少为25元，
∴，
解得：，
∴当时，利润最大，最大利润为：
（元）．
答：每件涨价17元时每天的销售利润最大，最大利润为2875元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用和一元一次不等式的应用．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程，函数关系式和不等式进行解答．
22. 如图所示，草坪上的喷水装置高，喷头一瞬间喷出的水流呈抛物线状，喷出的抛物线水流在与喷水装置的水平距离为处，达到最高点，点距离地面．
（1）请建立适当的平面直角坐标系，求出该坐标系中水流所呈现的抛物线的解析式；
（2）这个喷水装置的喷头能旋转，它的喷灌区域是一个扇形，如图2所示，求出它能喷灌的草坪的面积（取，结果保留整数）．
【答案】（1）；
（2）这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
【解析】
【分析】（）利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（）令，求出图象与轴的交点坐标，进而得出扇形的半径，即可得出的值；
本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求扇形的面积，利用数形结合得出对应点的坐标与线段的长是解题的关键．
【小问1详解】
解：以点为坐标原点，原点与水流落地点所在直线为轴，喷水装置所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知，抛物线顶点，
设抛物线对应的函数解析式为，
由抛物线经过点，可得，
解得，
；
【小问2详解】
解：令，
解得，（舍去），
，
喷灌面积，
答：这个喷水装置能喷灌的草坪的面积约为．
23. 如图，在中，、分别平分和．延长交的外接圆于点，连接，，．
（1）若，求的度数．
（2）求证：点是的外心．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据角平分线的定义得到，于是得到结论；
（2）根据角平分线的定义得到，求得，得到，求得，于是得到结论．
【小问1详解】
解：平分，
，
，
；
【小问2详解】
证明：分别平分和，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
∴点B，E，D在以C为圆心的同一圆上，
∴点C是的外心．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，等腰三角形的判定，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
24. 如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线与抛物线交于点，与直线交于点．
①当取得最大值时，求的值和的最大值；
②当是等腰三角形时，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）①当时，有最大值，最大值为；②或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）①先求出，进而求出直线的解析式为，则，进一步求出，由此即可利用二次函数的性质求出答案；②设直线与x轴交于H，先证明是等腰直角三角形，得到；再分如图3-1所示，当时， 如图3-2所示，当时， 如图3-3所示，当时，三种情况利用等腰三角形的定义进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴交于和两点，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴抛物线顶点P的坐标为，
设抛物线解析式，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解：①∵抛物线解析式为，点C是抛物线与y轴的交点，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线与抛物线交于点，与直线交于点
∴，
∴
，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为；
②设直线与x轴交于H，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
如图3-1所示，当时，
过点C作于G，则
∴点G为的中点，
由（2）得，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
如图3-2所示，当时，则是等腰直角三角形，
∴，即，
∴点E的纵坐标为5，
∴，
解得或（舍去），
∴
如图3-3所示，当时，过点C作于G，
同理可证是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
∴，
∴
综上所述，点E的坐标为或或
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判断，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
0
1
2
0
1
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F
G
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