辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份辽宁省沈阳市第七中学2024-2025学年上学期九年级10月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 某几何体如图水平放置，其左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据从左边看得到的图形是左视图，看的见的棱用实线，看不见的棱用虚线．据此可得答案．
【详解】解：左视图为．
故选：C
2. 将左边配成完全平方后，得方程（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确进行配方，注意：解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法．
移项，配方（方程两边都加上4，即可得出选项．
【详解】解：，
，
，
，
故选：B．
3. 下列四幅图形中，表示两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行投影的定义判断即可．本题考查平行投影，解题的关键是掌握平行投影的定义．
【详解】解：这里属于平行投影，两棵小树在同一时刻同一地点阳光下的影子的图形可能是：
故选：A．
4. 下列各组图形中，一定相似的是（ ）
A. 两个平行四边形B. 两个正方形
C. 两个矩形D. 两个菱形
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是相似图形的概念，掌握对应角相等，对应边的比相等的多边形，叫做相似多边形是解题的关键．根据相似图形的概念逐项进行判断即可．
【详解】解：A、任意两个平行四边形对应边的比不一定相等，对应角也不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
B、任意两个正方形的对应角相等，对应边的比也相等，故一定相似，故此选项符合题意；
C、任意两个矩形对应角相等，但对应边的比不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
D、任意两个菱形的对应边的比相等，但对应角不一定相等，故不一定相似，此选项不符合题意；
故选：B．
5. 在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的任意两个，能使灯泡发光的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
同时闭合、，灯泡会发光，根据题意，列出表格，数出所有的情况数和符合条件的情况数，根据概率公式，即可解答．
【详解】解：同时闭合、，灯泡会发光，
根据题意列出表格如下：
由表可知，应该有6种情况，能使灯泡发光的情况有2种，
∴能使灯泡发光的概率．
故选：A．
6. 已知两个三角形相似，它们的对应高之比为，则它们的周长比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的对应高之比等于相似比，周长之比等于相似比解答即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：相似三角形的的对应高之比为，
∴相似三角形的的相似比为，
∴它们的周长比为，
故选：．
7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，以原点O为位似中心，相似比为2，把放大，则点A的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或计算．
【详解】解：当位似图形与在y轴同侧时，
∵，相似比为2，
∴；
当位似图形与在y轴两侧时，
∵，相似比为2，
∴；
故选：D．
8. 校园里一片小小的树叶蕴含着“黄金分割”，如图，为AB的黄金分割点（），如果AB的长度为，那么叶片的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据题意可得，据此即可求解，掌握黄金比是解题的关键．
【详解】解：∵为AB的黄金分割点，，
∴，
∴
∵AB的长度为，
∴，
故选：．
9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. 且D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程二次项系数不为0，以及当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
根据题意得出，以及，即可解答．
【详解】解：∵为一元二次方程，
∴，
解得，
∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得：，
∴k的取值范围是且，
故选：B．
10. 如图，已知点E为正方形内一点，为等边三角形，连结，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，周角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．结合正方形的性质以及等边三角形的性质，可以知道，以及和为等腰三角形，利用三角形内角和求得和，最后利用周角求得的度数．
【详解】四边形是正方形
，
为等边三角形
，
，，
同理
故选：B．
二、填空题（每题3分，共21分）
11. 若＝，则的值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】由＝可得 ，代入计算即可.
【详解】解：∵＝，
∴，
则
故答案为4.
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12. 如图，是反比例函数的图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，设，，用含的式子表示出和面积之和，即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键．
【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意两点，
∴设，，
∵轴于点，轴于点，
∴ ，，，，
∵和面积之和，
∴，
∴，
故答案为：-7．
13. 如图，在中，，，是斜边AB的中点，连接CD，以CD为边作正方形，若的面积是，则正方形的周长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半，正方形的性质，由的面积先求出，进而利用勾股定理求出AB，再直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半求出CD即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：∵，，的面积是，
∴，
∴，
∴，
∵是斜边AB的中点，
∴，
∴正方形的周长为，
故答案为：．
14. 某校团体操表演队伍有行列，后又增加了人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加的行数，设增加了行，根据题意列方程________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设增加了行，则增加的列数为，
由题意得，，
故答案为：．
15. 为了加强视力保护意识，小明想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有，小亮设计了一个方案：如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A、B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，已知视力表的全长为，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，则镜面至少为________．
【答案】
【解析】
【分析】过作于，延长交于，则，根据平行线的性质得到，，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
【详解】解：过作于，延长交于，
则，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为： ．
16. 如图，在矩形中，，，将矩形绕点D顺时针旋转得到矩形，但A、B、C分别对应点、、，当恰好经过点A时，连接，则的长为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形对边相等，四个角都是直角；旋转前后对应边相等，对应角相等；相似三角形对应边成比例．
连接，根据勾股定理求出，则，进而得出，通过证明，得出，即可解答．
【详解】解：连接，
∵四边形为矩形，
∴，，，
根据旋转可得：，，，，
根据勾股定理可得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
17. 对于平面直角坐标系中的图形和直线，给出如下定义：若图形上有点到直线的距离为，那么称这个点为图形到直线的“距点”，如图，双曲线和直线，若图形到直线的“距点”有且只有个，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】由直线可得是等腰直角三角形，得到，设点为图形到直线的“2距点”，作交于，则， 作轴交于，则，，得是等腰直角三角形，可得，即得，先找图形到直线的“2距点”只有个时，即只有个解，即或只有个解，分两种情况解得当，时，点为图形到直线的“距点”， 作出当，时的图象，通过图象发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为2，再根据临界点即可求解．
【详解】解：令直线与轴、轴分别交于点、点，
对于直线，当x=0时，，当时，，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设点为图形到直线的“2距点”，作交于，则， 作轴交于，则，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
先找图形到直线的“2距点”只有个时，即只有个解，
则或只有个解，
∵x>0，
∴，
∴，
当时，即，
则，
解得，
此时，，
解得，
即点为图形到直线的“距点”；
当时，即，
则，
解得，
此时，，
解得，
即点为图形到直线的“距点”；
作出当，时的图象如下：
通过作图发现，当时图形在直线上方必定还有两个点到直线的距离为2，
∴当图形到直线的“2距点”只有个，当图形到直线的“2距点”只有个，
∴当图形到直线的“2距点”只有个时，的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，一元二次方程根的问题，利用数形结合的数学思想作出草图，找到满足条件的临界点是解题的关键．
三、解答题（共69分）
18. 解下列方程
（1）；
（2）．
【答案】（1），；
（2），．
【解析】
【分析】（）移项，利用因式分解法解答即可求解；
（）移项，利用配方法解答即可求解；
本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，．
19. 在某次数学活动中，有两个可以自由转动的转盘A、B，如图所示，转盘A被分成四个相同的扇形，分别标有数字1、2、3、4，转盘B被分成三个相同的扇形，分别标有5、6、7，同时转动两个转盘，停止后记下每个转盘指针所指区域内对应的数字（如果指针指在分界线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），请用画树状图或列表法求所得两数之和为9的概率．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法，画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；解题关键是掌握：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：根据题意画出树状图如下：
一共有12种情况，两数之和为的情况有3种，
∴P（两数之和为），
答：所得两数之和为的概率为．
20. 如图，点是菱形对角线的交点，过点作，过点作，CE与DE相交于点，连接，交BD于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求线段的长度．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（）由，可得四边形是平行四边形，由菱形的性质可得，据此即可求证；
（）利用菱形和矩形的性质可得，，进而证明可得即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴四边形矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是菱形，
∴，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键．
21. 如图1，在等边中，点D在BC边上，且，，E和F分别是边和边上的动点，连接、，当时，设的长为x，的长为．
（1）求与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）设函数，在图2的平面直角坐标系中分别画出、的图象；
（3）根据图象直接写出当时x的取值范围．（结果保留一位小数）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数他图象．
（1）通过证明，得出，即可解答；
（2）根据函数解析式，列表，描点，连线，即可画出图象；
（3）求出时的函数值，结合图象，找出反比例函数图象高于一次函数图象时x的取值范围即可．
【小问1详解】
解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
整理得：．
【小问2详解】
解：根据题意，列出表格如下：
如图所示，即为所求：
【小问3详解】
解：当时，，
解得：（负值舍去），
由图可知，
当时，．
22. 2023年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
（1）据统计某款莲莲玩偶在某电商平台6月份的销售量是万件，8月份的销售量是万件，求月平均增长率；
（2）某实体店该款莲莲玩偶的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，经市场调查发现，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了尽快减少库存，商家决定降价促销，若想要销售该款莲莲玩偶每天获利1050元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）月平均增长率为
（2）售价应降低25元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用．
（1）设月平均增长率为x，根据题意，得出6月份的销售量8月份销售量，列出方程求解即可；
（2）设售价降低y元，根据总利润=单件利润×销售量，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：设月平均增长率为x，
，
解得：（舍去），
答：月平均增长率为．
【小问2详解】
解：设售价降低y元，
，
解得：，
当时，，
当时，，
∵，
∴售价应降低25元．
23. 如图，在矩形中，，，点从点出发向终点匀速运动，点从点出发向终点匀速运动，速度均为每秒个单位长度，过点作于点，分别以、为邻边作平行四边形，设点、的运动时间为秒（）．
（1）当为________秒时，沿直线BM折叠，点与点重合；
（2）当为________秒时，点与点重合；
（3）当点落在线段CD上时，求的值；
（4）求为何值时，平行四边形的面积为．
【答案】（1）32
（2）
（3）
（4）或或平行四边形的面积为．
【解析】
【分析】（1）连接，根据题意可得，在中，，建立方程，解方程，即可求解；
（2）在，，，根据勾股定理表示出，建立方程，解方程即可求解；
（3）点落在线段CD上时，证明，得出，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（4）先求得，进而分类讨论，根据平行四边形的面积为建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：在矩形中，，，
∴，，
∴，
如图所示，连接，
∵点从点出发向终点匀速运动，点从点出发向终点匀速运动，速度均为每秒个单位长度，设点、的运动时间为秒（），
∴，
∵沿直线BM折叠，点与点重合，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
故答案：32．
【小问2详解】
解：∵，
∴当点与点重合，；
∵，，，，
在中，；
在中，；
在中，；
∴；
解得：；
故答案为：．
【小问3详解】
解：点落在线段CD上时，如图所示，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴；
又，
∴，
∴即，
解得：；
【小问4详解】
解：由（3）可得，
∴即，
∴；
∵，
∴，
由（3）可得，
∴；
依题意，，
当即时，，
解得：或（舍去）；
当时，，
解得：或；
综上所述，或或平行四边形的面积为．
……
1
2
4
6
……
……
8
4
2
……
……
1
2
4
6
……