山东省滨州市阳信县集团校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4

这是一份山东省滨州市阳信县集团校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共8个小题，每小题涂对得3分，满分24分．
1. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，顶点坐标为，对称轴为．根据抛物线的解析式直接写出顶点坐标即可．
【详解】解：∵是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
抛物线的顶点坐标是．
故选：D．
2. 抛物线与坐标轴的交点个数为（ ）.
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】求出抛物线与x轴和y轴的交点即得答案.
【详解】解：对，当x=0时，，所以抛物线与y轴的交点为（0，－2），
当y=0时，，解得：，所以抛物线与x轴的交点为（，0）与（，0）；
所以抛物线与坐标轴共有3个交点.
故选D.
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，属于基础题型，掌握求解的方法是关键.
3. 对于抛物线，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标是；④时，随的增大而减小．其中正确结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线，则在对称轴右侧，随的增大而减小，据此可得答案．
【详解】解：抛物线解析式为，
∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，故①正确，②③错误，
∴当时，随的增大而减小，故④正确，
∴正确的有2个，
故选：B．
4. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到抛物线的解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象向上平移加，向右平移减，可得函数解析式．
【详解】将化为顶点式，得.
将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛
物线的解析式为.
故选B.
【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，函数图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
5. 已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为（ ）

A. x1＝1，x2＝3B. x1＝0，x2＝3C. x1＝﹣1，x2＝1D. x1＝﹣1，x2＝3
【答案】D
【解析】
【分析】分析知一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为函数与x轴的交点的横坐标，由函数图象知函数的对称轴为x＝1，其一交点为（3，0）根据对称关系求出另一点坐标，从而求出方程的解．
【详解】解：由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可知：
函数的对称轴x＝1，
与x轴的交点为（3，0），设另一交点为（x，0）
则有1＝，
∴x＝﹣1，
∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为：x1＝﹣1，x2＝3．
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数的图像与性质及与一元二次方程的关系是解题的关键．
6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由y=a+bx+c的图象判断出a＞0，b＞0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限，即可得到结论．
【详解】∵y=a+bx+c的图象的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴b＞0，
∴一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限．
考点：二次函数和一次函数的图象
7. 如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：
①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1，
其中正确的是（ ）
A. ①②③B. ①③④C. ①③⑤D. ②④⑤
【答案】C
【解析】
【详解】试题解析：∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴抛物线的对称轴为直线x=-=1，
∴2a+b=0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b=-2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴x=1时，二次函数有最大值，
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，所以③正确；
∵抛物线与x轴的一个交点为（4，0）
而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（-2，0），所以④错误；
∵抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n（m≠0）交于A（1，3），B点（4，0）
∴当1＜x＜4时，y2＜y1，所以⑤正确．
故选C．
考点：1.二次函数图象与系数的关系；2.抛物线与x轴的交点．
8. 如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用抛物线刻画，斜坡可以用直线刻画．下列结论错误的是（ ）
A. 小球落地点与点O的水平距离为
B. 当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为
C. 小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势
D. 小球与斜坡的距离的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，令，解得，，即可判断A；把代入得，求解即可判断B；将抛物线解析式化为顶点式即可判断C；设抛物线上一点的坐标为，作轴交直线于，则，表示出，结合二次函数的性质即可判断D，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：令，解得，，
∴小球落地点与点O的水平距离为，故A正确，不符合题意；
把代入得，
解得：，，
∴当小球抛出高度达到时，小球与点O的水平距离为或，故B错误，符合题意；
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而减小，
∴小球与点O的水平距离超过时呈下降趋势，故C正确，不符合题意；
设抛物线上一点的坐标为，
作轴交直线于，则，
，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
∴小球与斜坡距离的最大值为，故D正确，不符合题意；
故选：B．
二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，满分24分．
9. 形状与开口方向都与抛物线相同，顶点坐标是的抛物线对应的函数解析式为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据顶点坐标是，设出函数解析式：，再根据形状与开口方向都与抛物线相同，，即可得解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为：，设抛物线的解析式为，
∵该抛物线的形状与开口方向和抛物线相同，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式．明确抛物线的形状和开口方向相同时，两个函数的二次项系数相同，是解题的关键．
10. 已知点、都在二次函数图象上，且，则、的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式确定出对称轴，再根据二次函数的增减性解答．
【详解】解：的对称轴为直线，
，
时y随x的增大而增大，且函数的最大值为，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，解题关键是数量掌握二次函数的增减性，二次函数的对称轴．
11. 将抛物线向左平移_______个单位后经过点．
【答案】3
【解析】
【分析】直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案．
【详解】解：∵将抛物线向左平移后经过点，
∴设平移后解析式为：，
则，
解得：或（不合题意舍去），
故将抛物线向左平移3个单位后经过点．
故答案为3．
【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键．
12. 抛物线，当时，y的最小值与最大值的和是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据解析式得到抛物线顶点坐标为2,3，且抛物线开口向下，则y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，再根据自变量的取值范围推出当时，函数有最小值，据此求出最小值即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为2,3，且抛物线开口向下，
∴y的最大值为3，离对称轴越远，函数值越小，且对称轴为直线，
∵，
∴当时，当时，函数有最小值，最小值为，
∴y的最小值与最大值的和是，
故答案为：．
13. 投掷铅球是中考体育测试选择项目之一，体育老师为提高小明同学的体育成绩，对其推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度与水平距离之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是_______m.
【答案】10
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．根据铅球落地时，高度，把实际问题可理解为当时，求的值即可．
【详解】解：令函数式中，，
，
解得，（舍去），
即铅球推出的距离是．
故答案为：10．
14. 如图，已知抛物线与直线交于两点，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系，旨在考查学生的数形结合能力．确定抛物线与直线的交点坐标是解题关键．
【详解】解：由图象可知，当时，抛物线位于直线上方，
∴不等式的解集是：，
故答案为：
15. 初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：该二次函数y＝ax2+bx+c在x＝3时，y＝___．
【答案】-4
【解析】
【分析】由表格可知，（0，-2），（2，-2）是抛物线上两对称点，可求对称轴x=1，再利用对称性求出横坐标为3的对称点（-1，-4）即可．
【详解】观察表格可知，当x=0或2时，y=-2，
根据二次函数图象的对称性，
（0，-2），（2，-2）抛物线上两对称点，
对称轴为x==1，顶点（1，-2），
根据对称性，x=3与x=-1时，函数值相等，都是-4．
故答案为：-4
16. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：
①当时，；
②若且，则；
③若，则；
其中说法正确的有________．（填写正确结论的序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数图象，二次函数性质等，利用数形结合法得到字母系数的关系式是解题的关键．由抛物线开口向下，对称轴为直线，得到当时，，据此可判断①；根据题意可得直线和直线关于对称轴对称，则，据此可判断②；先由对称轴公式得到，再由，得到，点的坐标为，把代入抛物线解析式中求出，则点的坐标为，据此可判断③．
【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，，
当时，，即，故①正确；
当且时，则直线和直线关于对称轴对称，
，故②错误；
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
，
点的坐标为，
把代入抛物线解析式中得，
，
，
点的坐标为，
，故③正确；
故答案为：①③
三、解答题：本大题共6个小题，满分72分．解答时请写出必要的演推过程．
17. 已知：二次函数中的x和y满足下表：
（1）可求得m的值为__________；
（2）求出这个二次函数的解析式；
（3）当时，则y的取值范围为____________________．
【答案】（1）3；（2）；（3）．
【解析】
【分析】（1）先求得对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得；
（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式；
（3）利用图表和抛物线的性质即可得出答案．
【详解】解：（1）∵抛物线过点（1，0），（3，0），
∴抛物线对称轴为直线，
∴点（0，3）关于对称轴的对称点是（4，3），
∴m＝3，
故答案为3；
（2）把点（0,3）、（1,0）、（3,0）代入设抛物线解析式得
，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣4x+3，
故答案为y＝﹣4x+3；
（3）由抛物线的性质得当x=2时，y有最小值-1，
由图表可知抛物线y＝a+bx+c过点（0，3），（3，0），
因此当0＜x＜3时，则y的取值范围为是﹣1≤y＜3．
【点睛】此题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法求函数解析式的方法与步骤是解决问题的关键．
18. 如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标．
【答案】（1），顶点坐标为
（2）点P的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了学生对二次函数的理解，及利用函数和几何综合知识点解决最值问题，综合性很强，难度相对比较大．
（1）将点，代入，得其解析式，从而求出的值及抛物线的顶点坐标；
（2）利用“将军饮马”思路，点关于抛物线对称轴对称的点是点，进而解决问题；
【小问1详解】
解：将点代入得，，，
∴抛物线解析式为
，
∴抛物线的顶点坐标为；
【小问2详解】
如下图，点与点是关于直线成轴对称，根据其性质有，，

当点、点、点共线时，为最小值，即为的最小值，
由抛物线解析式为，可得点坐标为，点坐标为，对称轴为，
设直线的解析式为，
将点，点，代入得，，解得，
∴直线的解析式为，
当x=2时，，
∴当的值最小时，点的坐标为2,3．
19. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点，连接AD，BD．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）8
【解析】
【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数关系式以及三角形面积求法，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）将代入解析式，再由对称轴为，进而可以计算得解；
（2）利用点坐标得出的面积．
【小问1详解】
解：（1）抛物线与轴交于点，点．，
，对称轴．
，．
所求解析式为：；
【小问2详解】
解：由，
．
点，点，
，
；
20. 某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件，如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元），设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
（3）若获得月利润不低于2000元，试确定销售单价x的取值范围？
【答案】（1）（且x为正整数）
（2）65元，最大月利润为2250元
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，二次函数与不等式的实际应用，依据题意建立等式是解题关键．
（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：元，每月的销售量为，根据利润（售价进价）销售量，即可解答；
（2）由（1）知函数关系式，利用二次函数的性质即可解答；
（3）根据二次函数的性质即可解答．
【小问1详解】
解：设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），
则每件商品的利润为：元，
总销量为：件，
商品利润为：
，
．
∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，
∴且x为正整数；
【小问2详解】
解：，
，
当时，最大月利润2250元．
这时售价为（元）．
【小问3详解】
解：当时，即
解得：，
，
当时，
则．
21. 阅读以下材料，完成课题研究任务：
【研究课题】设计公园喷水池
【素材1】某公园计划修建一个如图1所示的喷水池，其示意图如图2，水池中心处立着个实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点A处汇合，且在过的任一平面上抛物线路径如图所示，为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为．
【素材2】距离池面的位置，围绕石柱还修了一个半径为的圆形小水池，此时小水池恰好不影响水流．
【任务解决】
（1）请结合题意写出下列点的坐标：B________、C________．
（2）求实心石柱的高度．
（3）为了节约水资源，水流在喷水池中循环使用，喷水池半径至少为多少米？
【答案】（1），
（2）实心石柱的高度为；
（3）喷水池的半径至少为米．
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
（1）根据题意写出点的坐标即可；
（2）设抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可；
（3）令，解方程求得的值即可求解．
【小问1详解】
解：由题意得点B的坐标为，点C的坐标为，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：设抛物线的解析式为，
把点C的坐标为代入得，
解得，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴实心石柱的高度为；
【小问3详解】
解：令，即，
解得，
答：喷水池的半径至少为米．
22. 综合与探究
如图，二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，且，是线段上的一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点的横坐标为．当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少；
（3）若点是直线上的一个动点，在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）二次函数解析式为
（2）当时，有最大值，且最大值为
（3）存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，且或或或
【解析】
【分析】（1）根据，，运用待定系数法即可求解；
（2）根据，，求出直线的解析式，根据点的横坐标为，可用含的式子表示点的坐标，由此可得的长关于的二次函数，根据最值的计算方法即可求解；
（3）根据题意可求出的长，根据菱形的性质，分类讨论：第一种情况：如图所述，点在直线下方；第二种情况：如图所示，点在直线上方；图形结合，即可求解，
第三种情况，为菱形的对角线时．
【小问1详解】
解：∵二次函数的图像与轴交于两点，与轴交于点，点的坐标为，
∴，
∵，
∴，则，
把，代入二次函数解析式得，
，解得，，
∴二次函数解析式为．
【小问2详解】
解：由（1）可知，二次函数解析式为，且，，
∴设直线所在直线的解析式为，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点的横坐标为，直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点，
∴点的横坐标为，
∴，，
∴，
∴当时，有最大值，且最大值为．
【小问3详解】
解：∵二次函数的图像与轴交于两点，且，
∴令时，，则，，
∴，且
在中，，，
∴，
第一种情况：如图所述，点在直线下方，

四边形是菱形，则，，
且直线的解析式为，
∴设直线所在直线的解析为，把点代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设，过点作轴于点，
∴，，
∴，
整理得，，
∴，
∴当时，，即；
当时，，即；
第二种情况：如图所示，点在直线上方，

四边形是菱形，，，
且，，
∴直线的解析式为，
设，
∴，
整理得，，
解得，（与点重合，不符合题意，舍去），，即，
∴设所在直线的解析式为，
把点代入得，，
∴直线的解析式为，
根据题意，设，
∴，
整理得，，
∴，即，，
，不合题意，
∴；
第三种情况，为菱形的对角线时，如图所示：
作的垂直平分线，交于P，交于N，
在直线上截取，连接、得菱形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
设直线为，
代入，，
得，
解得，
，
与联立，
得，
解得，
，
将点P向右平移个单位再向上平移个单位得到点C ，
将点也做相同的平移得到点，即，
综上所述，存在点使得以点为顶点的四边形是菱形，
且或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数与特殊四边形的综合，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像的性质，菱形的判定和性质等知识是解题的关键．
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…

﹣4
﹣2
…
x
…
0
1
2
3
4
5
…
y
…
3
0
0
m
8
…