山东省日照市东港区田家炳实验中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份山东省日照市东港区田家炳实验中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、，未知数x的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、，即，未知数x的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
C、是一元二次方程，符合题意；
D、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如，其中a、b、c是常数，且的方程叫做一元二次方程．
2. 关于的一元二次方程的一个根是，则实数的值为（ ）
A. B. C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查对一元二次方程的解，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，把代入方程得到一个关于的方程，求出方程的解即可．
【详解】解：一元二次方程的一个根是，
将代入得：，
解得：，
故选：A．
3. 抛物线的对称轴、顶点坐标分别是（ ）
A. 直线，B. 直线，
C. 直线，D. 直线，
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线的顶点坐标公式解答即可．
本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握坐标公式是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴、顶点坐标分别是直线，．
故答案为：A．
4. 某小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，到第三天统计得出三天共揽件662件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分别求出第二天、第三天的揽件数，根据“三天共揽件662件”即可列出方程．
【详解】解：第二天的揽件数为：
第三天的揽件数为：
∵三天共揽件662件
∴
故选：D
【点睛】本题考查了一元二次方程与增长率问题．注意“三天共揽件662件”，而不是“第三天揽件662件”．
5. 已知，，是二次函数的图象上的三个点，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质．
【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为直线，开口向下，
则图象上的点离对称轴越远则的值越小，
∵，，，
∴，
∴，
故选：．
6. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（ ）
A. 2022B. 2023C. 2024D. 2025
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考査了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的定义，正确将原式变形为是解题的关键．
根据一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程解的定义得到，，再把原式变形为，由此代值计算即可．
【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
故选：D．
7. 一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致即可判断．
【详解】解：A、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项错误；
B、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项正确；
C、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项错误；
D、由抛物线可知，，由直线可知，，即，故本选项错误．
故选：B．
8. 规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案.
【详解】解：∵，
∴，即，
∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，且，
解得且，
故选：D．
9. 矩形中，．动点E从点C开始沿边向点B以的速度运动，同时动点F从点C出发沿边向点D以的速度运动至点D停止．如图可得到矩形，设运动时间为x（单位：），此时矩形去掉矩形后剩余部分的面积为y（单位：），则y与x之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识，根据题意写出其解析式是解题的关键．根据题意写出函数解析式，分情况讨论即可．
【详解】解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论：
当时，，
此时函数的图象为抛物线的一部分，
它的最高点为抛物线的顶点，最低点为；
当时，点E停留在B点处，
故，此时函数的图象为直线的一部分，
它的最上点可以为，它的最下点为．
结合四个选项的图象知选A项．
故选：A．
10. 如图所示是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2，则下列结论：
①；
②方程一定有一个根在和之间；
③方程定有两个不相等的实数根；
④；
⑤对于任意实数，都有．其中，正确结论的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查的是图象法求一元二次方程的近似值、抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数与方程的关系等知识点，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴,
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在2、3之间，
∴与x轴的另一个交点在、0之间，
∴方程一定有一个根在和0之间，故②错误；
∵抛物线与直线有两个交点，
∴方程一定有两个不相等的实数根，故③正确；
∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间，
∴，
∵图象与y轴交点的纵坐标是2，
∴，
∴，
∴．故④错误．
∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线，
∴当时，的最大值为，
∴对于任意实数，都有，
∴对于任意实数，．
故⑤正确；
综上，①③⑤正确，共3个．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为_____．
【答案】y＝（x﹣3）2+2
【解析】
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y＝x2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+2，
故答案是：y＝（x﹣3）2+2
【点睛】考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
12. 用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了配方法解方程，先移项再配方得，与对比，得，然后代入进行计算，即可作答．
【详解】解：
∵用配方法解方程时，可将方程变为的形式
∴
∴
故答案为：
13. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4．
【答案】1
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键
设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：设t秒后的面积等于4，
由题意得：，则，
∵，
∴，整理得：，
解得：，，
∵点从点C到点A的时间为，
∴，不合题意，舍去，
∴1秒后，的面积等于4．
故答案为：1．
14. 已知函数，当时的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．先化为顶点式，求得开口方向与对称轴，进而得出最小值，根据x的范围得出时，求得函数的最大值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，
当时，
当时，y的最小值为，
当时，y的值为，
当时，y的值为，
∴y的取值范围是，
故答案为：．
15. 如图，一座抛物线型拱桥．当桥下水面宽度是4时，拱高为2．此时若平顶船的顶部与桥拱之间的距离不少于0.3，则能顺利从桥下通过．当一艘宽2的平顶船能从拱桥下通过，则它高出水面的高度不得超过______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，以水面所在水平线为轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为轴，建立坐标系，用待定系数法求出函数表达式，进而求解．
【详解】解：如图，以水面所在水平线为轴，过拱桥顶点作水平线的垂线，作为轴，建立坐标系，则抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为：，
木船宽，
把代入得：，
船顶点与桥拱之间的间隔应不少于，
木船的高不得超过．
故答案为：．
16. 如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第__________个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查了图形变化的规律、一元二次方程的应用等知识点，能根据所给图形发现“〇”和“●”的个数变化规律是解题的关键．
根据所给图形，依次求出“〇”和“●”的个数，发现规律，再利用规律列出一元二次方程求解即可．
【详解】解：由所给图形可知，
第1个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第2个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第3个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
第4个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
…，
所以第n个“小屋子”中图形“〇”的个数为：，“●”的个数为：；
由题知，解得，
又n为正整数，则，即第12个“小屋子”中图形“〇”个数是图形“●”个数的3倍．
故答案为：12．
三、解答题（共8大题，72分）
17. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），；（2），
【解析】
【分析】（1）利用配方法即可求出结果；
（2）移项，再提取公因式即可求出结果．
【详解】解：（1）方程整理得：
配方得：即
开方得：
解得：，
（2）方程整理得：
提取公因式得：
解得：，
【点睛】本题考查解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
18. 已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；
（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程．
（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出实数的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合（1）的结论即可确定的值．
【小问1详解】
解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
当方程有实数根时，实数的取值范围为；
【小问2详解】
解：方程两实数根分别为，，
，．
，
，
，
整理，得：，
解得：，．
，
实数的值为1．
19. 已知二次函数．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出它的图象；
（2）时，x取值范围是______；
（3）若，则y的取值范围是______；
（4）把所画的图象如何平移，可以得到函数的图象？请写出一种平移方案．
【答案】（1）见解析 （2）或
（3）
（4）向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位单位（方法不唯一）
【解析】
【分析】（1）化成顶点式，得到顶点坐标，根据对称性，列表描点连线即可；
（2）根据图象即得时，或；
（3）根据点与点0,3对称，顶点为，时，，得到当时，，得到当时，；
（4）利用平移的性质“左加右减，上加下减”即可求得．
【小问1详解】
列表：给出x一些值求出对应的y值，增入表中，
描点、连线：以表中每一对x、y的值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点，而后用平滑的曲线把各点顺次连接起来，就得到函数的部分图象；
【小问2详解】
由图知，二次函数图象开口向上，交x轴于点1,0和点，
∴当时，或；
故答案为：或；
【小问3详解】
∵二次函数图象对称轴为直线，顶点为，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵点与点0,3对称，时，，
∴当时，，
∴当时，；
故答案为：；
【小问4详解】
∵函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到函数的图象，
∴函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数的图象（方法不唯一）．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握描点法画二次函数图象，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数与方程与不等式的关系，二次函数图象平移，是解决问题的关键．
20. 如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的长方形花圃．
（1）设花圃的一边为，则的长可用含x的代数式表示为_________m；
（2）当的长是多少米时，围成的花圃面积为63平方米？
（3）围成的花圃面积能否80平方米？若能，请求出的长度；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米
（3）不能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、根的判别式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当时，方程无实数根”
（1）设花圃的一边为，则的长为；
（2）令该面积等于63平方米，求出符合题意x的值，即是所求的长．
（3）不能，根据花圃的面积为即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程没有实数根，即不能围成的花圃．
【小问1详解】
解：的长可用含x的代数式表示为，
故答案为：；
【小问2详解】
解：依题意有，
解得；
当时，符合题意；
当时，不符合题意，舍去，
故当的长是7米时，围成的花圃面积为63平方米．
【小问3详解】
解：不能，理由如下：
依题意得：，
整理得：，
∵，
∴该方程没有实数根，
∴不能围成的花圃．
21.
【任务一】
①利用材料二判断最适合描述、分别与的函数关系的是（ ）
A．、 B．、 C．、
②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与的函数关系式．
【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？
【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至少，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到）
【答案】任务一：①B；②；；任务二：超速；任务三：限速
【解析】
【分析】本题考查一次函数与二次函数应用，解题的关键是求函数的解析式；
（1）①根据材料二分析判定即可；
②，将，代入可求，将，代入可求；
（2），代入与作比即可；
（3）如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可．
【详解】解：（1）①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，B选项合适；
故选：B．
②设，将，代入得：，
解得：，
∴，
设，将，代入得，
解得：，
故；
（2）超速，理由：
，
当时，
∴超速；
（3）要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为，
∴，
列式得，
解得，
故应限速．
22. 某数学兴趣小组在暑假开展社会实践活动，销售某品牌书包，平均每天可以销售20个，每个盈利12元，为了扩大销售，增加盈利，该小组决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个．
（1）若每个书包降价元，则可多卖__________个，每个盈利__________元；
（2）若该兴趣小组同学想要一天盈利300元，每个书包应降价多少元；
（3）该兴趣小组同学想要一天盈利最大，应降价多少元，所得最大利润是多少元？
【答案】（1），
（2）每个书包降价6元
（3）当降价4元时利润最大，最大利润为320元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解决本题的关键是：
（1）根据每个书包降价元，利用每个书包每降价1元，平均每天可以多卖5个，即可得出降价后书包多卖个，每个盈利元；
（2）利用书包降价后每天盈利每个的利润卖出的个数降低的价格）增加的件数），把相关数值代入即可求解；
（3）由（2）得关系式：，配方后可解答．
【小问1详解】
解：若每个书包降价元，则可多卖个，每个盈利元；
故答案为：，；
【小问2详解】
设每个书包降价元，可盈利300元，
则，
解得：（舍去），，
每个书包降价6元；
【小问3详解】
设每个书包降价元，最大利润为元，
则
，
，
当时，有最大值，最大值320；
答：当降价4元时利润最大，最大利润为320元．
23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的表达式为
（2）点的坐标为
（3）存在，满足条件的点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示，根据分类，由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【小问1详解】
解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，即抛物线的表达式为；
【小问2详解】
解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点C0,−3，
设直线，将、C0,−3代入得，解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，此时点的坐标为；
【小问3详解】
解：存在，
当为直角三角形时，分三种情况：①；②；③；如图所示：
设，
、C0,−3
，
当时，即抛物线上的点（在第一象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点（在第三象限，），由勾股定理可得，则，即，解得（舍去）或，
；
当时，即抛物线上的点，由勾股定理可得，则，即，解得（与重合，舍去）或（与重合，舍去）或或，
、；
综上所述，满足条件的点的坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、二次函数与直角三角形综合、两点之间距离公式、解一元二次方程等知识，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
x
……
0
1
2
3
4
5
……
y
……
8
3
0
0
3
8
……2
“道路千万条，安全第一条”
刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素
材料一
反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离．
制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离．
材料二
汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据．
速度
反应距离
制动距离
10
40
材料三
经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足．