高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4.3 正切函数的性质与图象教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4.3 正切函数的性质与图象教学设计及反思，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。


一、教学目标
1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，培养数学抽象的核心素养；
2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，提升直观想象的核心素养；
3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题，提升数学运算的核心素养
二、教学重难点
重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 .
难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题．

三、教学过程
（一）创设情境
情境：孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.
一儿曰：“我以日始出时去人近，而日中时远也。”
一儿曰：“日初出大如车盖。及日中，则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”
一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？” 孔子不能决也。两小儿笑曰：“孰为汝多知乎？”
事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题.
研究太阳光和地面的角度问题常常用到那个函数的性质与图象呢？
答：正切函数.
回顾：结合所学，你能说出正弦函数（余弦函数）的图象与性质的研究过程吗？
答：作函数图象→根据图象研究性质
y=sin x，x∈[0，2π]→y=sin x，x∈R→正弦函数的性质
根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的图象和性质？
答：正切函数的定义→部分性质→图象
研究图象→正切函数的性质
设计意图：通过重温“正弦函数的图象”，类比得出探索正切函数的图象与性质的可能思路：思考正切函数的部分性质（定义域和周期性），借助单位圆作出一个周期内的。第二步，根据图象探索新的性质.
探究新知
任务1：探索正切函数的周期性、奇偶性
思考：根据已有的知识准备，你能得到正切函数的哪些性质？
要求：
1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
答：定义域： {x|x≠π2+kπ，k∈Z}
周期性：由诱导公式 tan(π+x)=tanx，x∈R且x≠π2+kπ，k∈Z可知：
正切函数是周期函数，周期是π；
奇偶性：由诱导公式 tan(–x)=– tanx，x∈R 且x≠π2+kπ，k∈Z可知，
正切函数有奇偶性，是奇函数.
师生活动：通过回顾诱导公式，引导学生归纳正切函数的周期性与奇偶性．
设计意图：通过对已有的知识进行回顾，探究正切函数的性质，并为利用这些性质画出正切函数的图象作出铺垫．
任务2：探索正切函数的图象
探究：如何画出函数y=tanx, x ∈[0,π2) 的图象的图象？
答：设x ∈[0,π2) ，在直角坐标系中画出角x的终边与单位圆的交点B（x0, y0）过点B作x轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0）作x轴的垂线与角x的终边交于点T，则
tanx=y0x0=MBOM=ATOA=AT；由此可见，当x ∈[0,π2) 时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y=tanx, x ∈[0,π2) 的图象.

如图所示：

当x ∈[0,π2) 时，
1.随着x的增大，线段AT的长度也在增大
2.且当x趋向于π2时AT的长度趋向于无穷大
3.函数y=tanx, x ∈[0,π2)的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线 x =π2.
师生活动：学生观察图象，讨论交流.
思考：你能借助以上的结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？
答：根据正切函数是奇函数，只要画出y=tanx, x ∈[0,π2)的图象关于原点的对称图形，就可得到y=tanx, x∈(−π2，0]的图象.
借助正切函数的周期性，只要把函数y=tanx, x∈(−π2，π2)的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到函数 y=tanx,x≠π2+kπ，k∈Z的图象.
思考：类比五点法作图，正切函数的图象是否也能抓住几个关键点？
答：“三点”：(π4,1),(−π4,−1),(0,0)
“两线”：直线x=±π2​
师生活动：引导学生观察总结图象特征：正切曲线是由相互平行的直线x≠π2+kπ,k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下可无限接近相应的两条直线。
设计意图：培养学生的总结归纳能力．
任务3：探索正切函数的单调性与值域
做一做：观察正切函数的图象，完成下列填空.
总结：正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线x=π2+kπ，k∈Z 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的，图象无限接近这些直线但永不相交.
思考：正切函数在在整个定义域内是增函数吗？
正切函数在每一个区间−π2+kπ,π2+kπ，k∈Z上都单调递增；但是在整个定义域上不是增函数.
总结：
设计意图：通过对正切函数图象的分析，归纳总结单调性和最值，使学生理解正切函数的性质，突破难点．发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．
任务4：探索正切函数的对称性
探究：正切函数是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，除了原点之外，正切函数还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？
师生活动：学生观察正切函数的图象，分组讨论，共同归纳总结.
总结：正切函数的对称中心是 (kπ2，0)，k∈Z；无对称轴.
设计意图：学生通过观察正切函数的图象，尝试总结正切函数的对称性，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养，同时培养他们的团队合作意识.
（三）应用举例
例1求函数y＝tan(2x−π4)的定义域．
解：由2x−π4≠kπ+π2(k∈Z)，得x≠3π8+kπ2(k∈Z)，
所以函数的定义域为{x|x≠3π8+kπ2，k∈Z}.
总结：函数y＝Atan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的定义域是{x|x≠π2ω−φ2ω+kπω，k∈Z}
设计意图：通过例1的巩固训练，让学生加深对正切函数定义域的理解.并掌握“整体代换”思想.
例2 求函数y=tan2x−2tanx+3,x∈[π4,π3]的值域.
解：由题意，得 y=(tanx−1)2+2，
因为x∈[π4,π3]，
所以tanx∈[1 , 3]，
所以原函数的值域为[2 , 6−23].
总结：
1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即x≠π2+kπ，(k∈Z)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．
2.求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
例3 比较大小：tan1与tan4．
解：因为tan4＝tan[π＋(4－π)]＝tan(4－π)，
因为－ π2＜4－π＜1＜ π2，
且y＝tanx在区间(−π2，π2) 上单调递增
所以，tan(4－π)＜tan1，
即，tan1＞tan4.
师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解．
设计意图：初步应用正切函数的单调性解决比较大小的问题．
总结：运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小.
例4 求函数y=tanπ2x+π3的定义域、周期及单调区间．
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量x的取值应满足;
π2x+π3≠π2+kπ，k∈Z；即;x≠13+2k，k∈Z
所以，函数的定义域是xx ≠13+2k，k∈Z
设z=π2x+π3，又tanz+π=tanz，
所以tan⁡[π2x+π3+π]=tanπ2x+π3
即： tan⁡[π2x+2+π3]=tanπ2x+π3
因为∀x∈xx ≠13+2k，k∈Z,
都有tan⁡[π2x+2+π3]=tanπ2x+π3
所以，函数的周期为2．
由−π2+kπ0)，
解得ω=4，
故选C．
2.若函数y=tanx+φφ≥0的图象与直线x=2π没有交点，则φ的最小值为( )
A. πB. π2C. π4D. 0
解：函数y=tanx的图象与直线x=π2+kπ(k∈Z)没有交点．
若函数y=tanx+φφ≥0的图象与直线x=2π没有交点，
则2π+φ=π2+kπ(k∈Z)，φ=−3π2+kπ(k∈Z)，又φ⩾0，
则φ的最小值为π2．
故选：B．
3.已知函数f(x)=3tan(2x+π6)，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x))恒满足f(x+π2)=f(x)
B. 直线x=π6为函数y=f(x)图象的一条对称轴
C. 点(−π12,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心
D. 函数y=f(x)在(−7π12,5π12)上单调递增
解：对于A，根据正切型函数的周期公式，f(x)的最小正周期为π2，A正确；
对于B，正切型函数无对称轴，B错误；
对于C，由f(−π12)=3tan0=0，所以点(−π12,0)是函数y=f(x)图象的一个对称中心，C正确；
对于D，区间(−7π12,5π12)的长度为π，而f(x)的最小正周期为π2，故f(x)在该区间上不可能单调递增，D错误．
故选AC．
4.已知函数f(x)=3tanπ6−x4．
(1)求f(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f11π2的大小．
解：(1)函数f(x)=3tan (π6−x4)=−3tan (x4−π6)，
所以最小正周期T=π|ω|=π14=4π．
由kπ−π2