北京市丰台区2023_2024学年高一数学上学期期中试题B卷含解析

这是一份北京市丰台区2023_2024学年高一数学上学期期中试题B卷含解析，共18页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题.等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟
第I卷（选择题共40分）
一、选择题.（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项.）
1. 已知集合，则（）
A. B. C. D.
2. 已知命题：，，则命题的否定为（）
A. ，B. ，
C，D. ，
3. 已知，则下列不等式中成立的是（）
A. B. C. D.
4. 下列四个函数中，与表示同一函数的是（）
A. B.
C. D.
5. 设，则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 充要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分䀠不必要条件
6. 下列图象中，表示定义域和值域均为的函数是（）
A. B.
C. D.
7. 下列函数中，既是偶函数又在上是增函数的是（）
A. B. C. D.
8. 已知是定义在R上奇函数，且当时，，则
A. B.
CD.
9. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象是如图所示的曲线ABC，则的值为（）
A. 3B. 0C. 1D. 2
10. 定义集合的新运算如下：，若集合，，则等于（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题.（本题共5小题，每小题5分，共25分.）
11. 函数的定义域为_________．
12. 计算______
13. 设，则函数的最小值为______；此时的值是______.
14. 比较两个值的大小：______（请用“>”，“=”“”，“=”“
【解析】
【分析】利用指数函数的性质比较大小.
【详解】因为，即，
又因为，即，
所以，
故答案为:.
15. 几位同学研究函数时给出了下列四个结论：
①的图象关于轴对称；
②在上单调递减；
③的值域为；
④当时，有最大值；
其中所有正确结论的序号是__________.
【答案】①，②，④
【解析】
【分析】
①利用定义研究函数奇偶性； ②化简整理函数，利用反比例函数平移可知函数的单调性；③④结合单调性与对称性，可求出函数的值域，可知当时，的最大值；
【详解】对于①，函数定义域为，关于原点对称，，即函数为偶函数，其图像关于轴对称，故①正确；
对于②，当时，，利用反比例函数性质，可知函数在上单调递减，故②正确；
③由函数在上单调递减，知在上的值域为，当时，的值域为，利用偶函数对称性知的值域为，故③错误；
④由③知，当时，有最大值；
故答案为：①，②，④
【点睛】关键点睛：本题考查含绝对值函数的奇偶性，单调性，值域，解题的关键在于研究函数时一定先求函数的定义域，利用定义域将绝对值函数写成分段函数，利用偶函数只研究上的性质，即可知道函数在定义域上的性质。
三、解答题.（本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16. 已知全集，其子集，，求：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集定义直接计算；
（2）先根据补集定义求集合和集合的补集，然后再求利用并集定义可得答案.
【小问1详解】
，
【小问2详解】
，，，
，
，
.
17. 已知二次函数.
（1）当时，解关于不等式；
（2）若的解集是，解关于的不等式
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）将代入，解二次不等式即可得解；
（2）由题意得是方程的两根，从而求得，进而解二次不等式即可得解.
【小问1详解】
当时，，
则不等式，即为
即，解得，
所以的解集为.
【小问2详解】
因为的解集是，
所以是方程即的两根，
则，解得，
所以可化为，
即，解得或，
所以的解集为或.
18. 已知函数.
（1）求的值；
（2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间；
（3）若，求的取值范围.
【答案】（1）8 （2）图象见解析，减区间为，增区间为
（3）
【解析】
【分析】（1）先得出，进而即可得出答案；
（2）根据函数图象，直接写出单调区间；
（3）分别求出当时以及时，不等式的解，即可得出答案.
【小问1详解】
由已知可得，，
所以，.
【小问2详解】
如图，作出函数的图象
由图象可知，函数的单调减区间为，单调增区间为
【小问3详解】
当时，由可得，，解得，所以；
当时，由可得，，根据指数函数的性质解得，所以.
综上所得，的取值范围.
19. 已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断函数在区间上的单调性，并利用函数单调性的定义证明你的结论.
【答案】（1）奇函数，证明见解析
（2）单调递增，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断，从而求解；
（2）利用函数单调性的定义，先求定义域，再在定义域上任取不相等的两个值，最后再作差，根据结果进行判断单调性，从而求解.
【小问1详解】
由题意知：的定义域为，
，
所以得：为奇函数.
【小问2详解】
函数在区间上是单调递增；
证明如下：
，且令，
所以：
因为，所以，，
所以：，
即，得函数在区间上单调递增.
故：函数在区间上单调递增.
20. 已知二次函数的最小值为1，且.
（1）求的解析式；
（2）若在区间上不单调，求实数的取值范围；
（3）当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意设出二次函数的顶点式，再由得，从而得解；
（2）由题意得，解之即可得解；
（3）将问题转化为在区间上恒成立，从而分类讨论二次函数的最小值即可得解.
【小问1详解】
根据题意，二次函数满足，可得函数的对称轴为，
又函数的最小值为，可设，
又因为，可得，解得，
所以函数的解析式为.
【小问2详解】
由函数，其对称轴为，
要使得函数在区间上不单调，
则满足，解得，
故实数的取值范围为.
【小问3详解】
由函数，
若在上，恒成立，
则在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则开口向上，对称轴为，
又在上恒成立，即，
当，即时，在上单调递增，
则，解得，则；
当，即时，
，解得，则；
当，即时，在上单调递减，
，解得（舍去）；
综上，实数的取值范围为．
21. 计划建造一个室内面积为1500平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留1.5米宽的通道，两个养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，两个养殖池的总面积为平方米，如图所示：
（1）将表示为的函数，并写出定义域；
（2）当取何值时，取最大值？最大值是多少？
（3）若养殖池的面积不小于1015平方米，求温室一边长度的取值范围.
【答案】（1），
（2）x为30时，y取最大值为1215
（3）
【解析】
【分析】（1）按题意给出另一边长，再表示面积即可，由边长为正得定义域；
（2）整理面积的表达式，利用不等式即可给出最大值；
（3）解不等式即可由面积范围求边长范围.
【详解】（1）依题意得：温室的另一边长为米，则养殖池的总面积，
因为，解得
∴定义域为
（2）由（1），，又，
所以，
当且仅当，即时上式等号成立，
所以.
当时，.
当为30时，取最大值为1215.
（3）养殖池的面积不小于1015平方米即
所以，解得
故的取值范围为.
x
1
2
3
2
3
0
x
1
2
3
2
3
0