北京市怀柔区2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析

这是一份北京市怀柔区2023_2024学年高二数学上学期期中试题含解析，共21页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上等内容，欢迎下载使用。
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 在同一坐标系中，表示直线与正确是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题为判断函数图像，根据一次函数的斜率大于0，可以排除B，D，再看的取值符号相同，即可得到本题答案.
【详解】由一次函数可知，函数为增函数，故排除B，D选项，A选项中，由可知，函数中的，故不符合，A错误，C选项两个函数图像都符合的情况，故C正确.
故选：C
2. 已知直线l过点，且与直线垂直，则直线l的一般式方程为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意设直线方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程
【详解】因为直线与直线垂直，所以设直线方程为，
因为直线过点，所以，得，
所以直线方程为，
故选：B.
3. 已知直线.则下列结论正确的是（）
A. 点在直线上B. 直线的倾斜角为
C. 直线在轴上的截距为8D. 直线的一个方向向量为
【答案】B
【解析】
【分析】逐个分析各个选项.
【详解】对于A项，当，时，代入直线方程后得，∴点不在直线l上，故A项错误；
对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴，又∵，∴，故B项正确；
对于C项，令得：，∴直线l在y轴上的截距为，故选项C错误；
对于D项，∵直线l的一个方向向量为，∴，这与已知相矛盾，故选项D错误.
故选：B.
4. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用两点间的斜率公式代入计算可得斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系得出结果.
【详解】由两点的坐标代入两点间的斜率公式可得，
设直线的倾斜角为，可知，所以.
故选：B
5. 直线的斜率为（）
A. 1B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将直线方程转化为斜截式，从而得到其斜率．
【详解】由，得，
所以直线的斜率为．
故选：C．
6. 已知向量，，且，那么实数等于（ ）
A. 3B. -3C. 9D. -9
【答案】D
【解析】
【分析】运用空间向量共线列式计算即可.
【详解】∵，，且，
∴，
解得，，
∴．
故选：D．
7. 若，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可求得结果.
【详解】由可知，
根据向量减法的坐标运算法则可得，
即.
故选：C
8. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（）
A. 3B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据距离公式计算即可.
【详解】.
故选：A.
9. 已知点和点，则向量（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量的坐标的定义，即可求解.
【详解】由和点，所以.
故选：A
10. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算即可.
【详解】解法一当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为，即；
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为直线过点，所以，
解得，此时直线方程为.
故选：
解法二易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符合题意.
设直线方程为，
则时，，时，，
由题意知，
解得或，即直线方程为或.
故选：
11. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据直线平行求出斜率，在代入点斜式方程求解即可.
【详解】因为直线与直线平行，所以直线的斜率为，又直线经过点，
所以直线的方程为，即.
故选：D.
12. 如图，在三棱锥O－ABC中，D是BC的中点，若，，，则等于（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量的线性运算计算即可.
【详解】因为D为BC的中点，所以，
又，
所以．
故选:C．
13. 已知点，，，过的直线（不垂直于轴）与线段相交，则直线斜率的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意画出图形，数形结合得答案．
【详解】解：点，，，
如图，
，，
且过的直线（不垂直于轴）与线段相交，
直线需绕点逆时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，，
直线需绕点顺时针旋转至倾斜角为（不含，此时斜率范围为，．
综上，直线斜率的取值范围是．
故选：C．
14. 下列利用方向向量､法向量判断线､面位置关系的结论中，正确的是（）
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，则
B. 直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C. 两个不同的平面的法向量分别是，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量是，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，由不重合两直线方向向量平行可判断；对于B，要考虑直线可能在面内；对于C，由两法向量垂直可得两平面垂直；对于D，直线方向向量与法向量平行，则直线与面垂直.
【详解】对于A，两条不重合直线的方向向量分别是，
则，所以不平行，即不平行，故A错误；
对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即或，故B错误；
对于C，两个不同的平面的法向量分别是，
则，所以，故C正确；
对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是，
则，所以，即，故D错误．
故选：C．
第II卷（非选择题）
二、填空题
15. 已知点，，则线段中点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用中点坐标公式直接求解作答.
【详解】点，，所以线段中点的坐标为.
故答案为：
16. 已知向量，若，则k的值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据向量垂直列出方程，求出.
【详解】因为，所以，解得.
故答案为：.
17. 已知直线，则当实数___________时，.
【答案】
【解析】
【分析】根据两直线平行的条件列方程求解的值即可.
【详解】若，则，解得或，
当时，和重合，舍去，所以.
故答案为：.
18. 已知，，三点共线，则＝_____．
【答案】6
【解析】
【分析】利用可得出关于的等式，由此可求得实数的值.
【详解】由于、、三点共线，则，
即，解得.
故答案为：6.
19. 已知直线：，：，若，则实数______
【答案】
【解析】
【分析】根据已知条件结合直线垂直的性质列式求解即可.
【详解】因为直线：，：，且，
所以，解得
故答案为：.
20. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是________．
①直线平面
②三棱锥的体积为定值
③异面直线AP与所成角的取值范围是
④直线与平面所成角的正弦值的最大值为
【答案】①②④
【解析】
【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断.
【详解】
对于①，连接，
，，，平面，平面，
平面，平面，
，同理，，
，平面，平面，
直线平面，故①正确；
对于②，∥，平面，平面，∥平面，
点在线段上运动，点到平面的距离为定值，
又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确；
对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，
当点位于点时，与所成的角为，
当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为，
异面直线与所成角的取值范围是，故③错误；
对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，
则，，，，，，
设平面的法向量，则，即，
令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：
，
当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确.
故答案为：①②④
三、解答题
21. 已知四棱锥中，底面ABCD是正方形，平面ABCD，，E是PB的中点.
（1）求直线BD与直线PC所成角的余弦值；
（2）求证：平面
（3）求点到平面的距离.
【答案】（1）
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量法计算异面直线所成角的余弦值；
（2）利用数量积坐标运算得线线垂直，利用线线垂直证明线面垂直；
（3）利用点到平面距离向量公式直接计算即可.
【小问1详解】
以点为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图空间直角坐标系.
由题意，，，，，，
设直线BD与直线PC所成的角为，
因为，，所以，
所以直线BD与直线PC所成角的余弦值为；
【小问2详解】
因为，，，
所以，，
所以，又平面，
所以平面；
【小问3详解】
由（2）知，为平面的一个法向量，
设点到平面的距离为，则为向量在向量上的投影的绝对值，
由，得，
所以点到平面的距离为.
22. 求满足下列条件的直线方程：
（1）经过点，且与直线平行
（2）经过点和
（3）倾斜角是，在y轴上的截距是7
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行关系设所求直线方程为，代入点运算求解即可；
（2）根据直线的两点式方程运算求解；
（3）根据题意可得直线的斜率，利用斜截式运算求解.
【小问1详解】
因为所求直线与直线平行，设所求直线方程为，
代入点，即，解得，
所以所求直线方程为.
【小问2详解】
因为直线经过点和，
所以所求直线方程为，即.
【小问3详解】
因为直线的倾斜角是，则直线的斜率，
且直线在y轴上的截距是7，所以所求直线方程为，即.
23. 如图，四棱锥的底面是矩形，⊥平面，，.
（1）求证：⊥平面；
（2）求二面角余弦值的大小；
（3）求点到平面距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到，，从而得证；
（2）（3）利用空间向量法计算可得.
【小问1详解】
证明：建立如图所示的直角坐标系，
则、、．
在中，，，
∴．
∴、，
∴，，，
∵，，
即，，
又，平面，
∴⊥平面；
【小问2详解】
由（1）得，．
设平面的法向量为，
则，即，故平面的法向量可取为，
∵平面，
∴为平面的一个法向量．
设二面角的大小为，由图易得为锐角，
依题意可得，即二面角余弦值．
【小问3详解】
由（1）得，，
设平面的法向量为，则，
∴，故可取为．
∵，
∴到平面的距离为.
24. 已知三角形的顶点为.
（1）求边上的中线所在直线方程.
（2）求边上的高线所在直线方程.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）求得BC的中点坐标，结合A点坐标，求得中线方程；
（2）求得BC的斜率，从而求得其上的高的斜率，且过，求得高的方程
【小问1详解】
BC的中点坐标为，
故中线的斜率，
则边BC上的中线所在直线的方程为即；
小问2详解】
边BC的斜率为，则其上的高的斜率为，且过，
则边BC上的高所在直线的方程为即
25. 如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）证明：在线段上存在点，使∥平面，并求线段的长.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析，
【解析】
【分析】（1）根据已知，利用勾股定理、直线与平面垂直的判定定理进行证明.
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式进行计算求解.
（3）建立空间直角坐标系，利用空间向量的数量积运算计算求解.
【小问1详解】
证明：，，
，同理
又，平面ABCD
平面.
【小问2详解】
如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则
平面的法向量为，设平面的法向量为
，由有：，取
，
设二面角的平面角为，由图形可知，，
二面角的余弦值为.
【小问3详解】
假设存在点，使∥平面，令，，
，由∥平面，，
，即，解得
存在点，为的中点，即.
26. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面为等腰直角三角形，且，点为棱上的点，平面与棱交于点．
（1）求证：；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面与平面所成锐二面角的大小．
条件①：；
条件②：平面平面；
条件③：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)由底面是正方形得，用线面平行的判定定理证得平面，再用线面平行的性质定理证得；
(2) 若选条件①②，由平面平面得，，由为正方形得，即可建立空间直角坐标系，由点的坐标求出向量的坐标，从而求出平面和平面的法向量，代入夹角公式即可求出平面与平面所成锐二面角的大小；若选条件①③，易证得平面，从而证得，所以平面，从而得到，又因为，则可说明为等腰直角三角形，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解；若选条件②③，由平面平面，可证平面，所以，，又由平面，可证，结合可得点为的中点，则可得，即可建立与①②相同的空间直角坐标系，下面用与①②相同的过程求解.
【小问1详解】
证明：因为底面是正方形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为平面与交于点，平面，平面平面
所以．
【小问2详解】
选条件①②，则，平面平面.
因为侧面为等腰直角三角形，且，即，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，所以，，
又由为正方形得．
以点为坐标原点，，，分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，所以点为的中点，则,
从而，，， ,
设平面的法向量为，则，
令，可得,
设平面的法向量为，则，
令，可得，
所以，
则两平面所成的锐二面角为．
选条件①③，则，．
侧面为等腰直角三角形，且，即，，
因为，，且两直线在平面内，可得平面，
因为平面，则．
又因为，，且两直线在平面内，
则平面，
因为平面则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点.
又因为，所以为等腰直角三角形，
则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下用与①②相同的过程求解．
选条件②③，则平面平面，．
因为侧面为等腰直角三角形，且，
即，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，平面，所以，，
又由为正方形得．
因为，，且两直线在平面内，则平面，
因为平面，则，
因为，所以为等腰三角形，所以点为的中点，则.
则可建立与①②相同的空间直角坐标系，以下的过程与①②相同．
27. 如图，在四棱锥中，，，底面为正方形，分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可.
【小问1详解】
∵，分别为，的中点，
∴，
又平面，平面，
故平面.
【小问2详解】
由题可知DA、DC、DP两两垂直，故以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
设，
则，
∴，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，故，
∴，
故直线与平面所成角的正弦值为.