北京市通州区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析

这是一份北京市通州区2023_2024学年高一数学上学期期中试题含解析，共15页。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的含义即可.
【详解】根据交集的含义知，
故选：B
2. 命题:的否定是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.
【详解】命题：为存在量词命题，
其否定为：.
故选：D
3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂函数、指数函数以及对勾函数的奇偶性和单调性即可得到答案.
【详解】对A，函数的定义域为，不关于原点对称，则其不是奇函数，故A错误；
对B，，根据指数函数的性质知其不是奇函数，故B错误；
对C，设，，而，则在区间不是单调递增，故C错误；
对D，根据幂函数的图象与性质知是奇函数且其在区间上单调递增，故D正确.
故选：D.
4. 已知函数的对应关系如下表所示，函数的图象如图所示,则的值为（）
A. 9B. 6C. 3D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据函数图像和表格计算得到答案.
【详解】.
故选：B.
5. 有限集合中元素的个数记作，若都为有限集合,则“”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据集合新定义以及集合交集、子集的含义即可判断.
【详解】因为，所以，又因为都为有限集合，
所以，则正向可以推出，
若，举例，，但，则反向无法推出，
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 设函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性即可得到不等式，解出即可.
【详解】的对称轴为，且开口向上，
则要使其在区间上增函数，需，解得，
则其取值范围为，
故选：C.
7. 下列命题中正确的是（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【详解】举例说明判断ABC，利用不等式性质推理判断D.
【分析】对于A，由，得，取，显然，A错误；
对于B，由，取，显然，B错误；
对于C，由，取，显然，C错误；
对于D，由，得，则，而，
因此，所以，D正确.
故选：D
8. 向体积相同且高为的花瓶中，注水注满为止.如果注水量与水深的函数关系式如图所示，那么花瓶的形状是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】确定花瓶形状为下宽上窄的形状，对比选项得到答案.
【详解】根据函数图像知：开始阶段相同的高度下体积增加得快，结束阶段增加得慢，
故花瓶形状为下宽上窄的形状，对比知B满足.
故选：B
9. 我们知道函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为:函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则函数的对称中心是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】，根据定义域得到，根据得到，得到对称中心.
【详解】，为奇函数，
定义域为关于原点对称，故，，
，即，
即，故，
故，即对称中心为.
故选：A.
10. 公园内常设有如图所示的护栏，柱与柱之间是一条均匀悬链.数学中把这种两端固定的一条(粗细与质量分布)均匀、柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为(其中为非零常数,为无理数,，则以下结论正确的是（）
A. 若，则为奇函数
B. 若，则函数的最小值为2
C. 若，则方程没有实数根
D. 若，则函数为单调递增函数
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定的函数，结合函数的相关概念逐项分析判断即可得解.
【详解】显然函数的定义域为R，
对于A，当时，，函数是偶函数，A错误；
对于B，当，，函数，B错误；
对于C，由，得或，当时，，
当时，，因此方程没有实数根，C正确；
对于D，当时，有，而函数是减函数，也为减函数，
因此函数是减函数，D错误.
故选：C
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 函数的定义域是_______.
【答案】
【解析】
【分析】函数的定义域满足，解得答案.
【详解】函数的定义域满足，解得，故函数定义域为.
故答案为：
12. 不等式的解集为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【详解】或，解第一个不等式组，得，第二个不等式组的解集为空集.
故答案为：
【点睛】本题考查了分式不等式的解集，考查了数学运算能力，属于基础题.
13. 能说明“”为假命题的一个实数的值为_______.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】取得到，恒成立，得到答案.
【详解】取，则，恒成立，故“”为假命题.
故答案为：
14. 设函数，若当时，存在实数，使得，则的值为_______.若存在最大值，则实数的最小值为_______.
【答案】 ①. 18 ②. 0
【解析】
【分析】根据给定条件，求得，再利用指数运算计算即得；分段讨论函数的取值情况，求出有最大值的的范围即得.
【详解】当时，，由，得，解得，
所以；
当时，在上单调递增，，
当时，在，上单调递增，当时，，
当，恒成立，又，则不存在最大值，即不符合题意，
当时，当时，恒有，而，则函数有最大值0，符合题意，
当时，在上单调递减，，，
当，即时，函数有最大值，
因此函数有最大值时，
所以实数的最小值为0.
故答案：18；0
15. 狄利克雷函数定义为:当自变量取有理数时，函数值为1当自变量取无理数时，函数值为0.以下关于狄利克雷函数的性质:
①的值域为；
②若，则有成立；
③函数的图象关于轴对称；
④不存在，使得为等腰直角三角形.
其中表述正确的是_______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据狄利克雷函数的性质一一分析即可.
【详解】对于①，函数的值域为，故①正确；
对于②，若均为有理数，则为有理数，，，，
则，故②错误；
对于③，若x是有理数，则是有理数，则，
若x是无理数，则是无理数，则，
故对任意 ,都有，故函数是偶函数，③正确；
对于④，若为等腰直角三角形，不妨设角为直角，
则的值R 可能性只能为或，
由等腰直角三角形的性质得，所以，这与矛盾，
故不存在，使得为等腰直角三角形.
故答案为：①③④.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知全集，集合.
（1）求和;
（2）设集合，若，求实数的取值范围.
【答案】（1），；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）化简集合A，利用交集、补集、并集的定义求解即得.
（2）利用交集运算的结果列出不等式求解即可.
小问1详解】
依题意，，则，
，所以.
【小问2详解】
集合，而，
因此或，解得或，
所以实数的取值范围是或.
17. 已知指数函数的图象过点.
（1）求函数的解析式
（2）试比较这三个数的大小，并说明理由;
（3）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2），理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）设函数为，代入数据计算得到答案.
（2）根据指数函数的单调性计算得到答案.
（3）根据指数函数单调性得到，解得答案.
【小问1详解】
设函数为，则，解得，即；
【小问2详解】
函数在上单调递减，且，
故，即；
【小问3详解】
函数在上单调递减，，即，
故，解得，即.
18. 已知函数.
（1）证明:为偶函数;
（2）用定义证明:在区间上单调递减.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用奇偶函数的判定方法即可；
（2）利用定义法进行取值作差变形判定即可.
【小问1详解】
因为，所以的定义域为.
对于任意，因为，
所以为偶函数.
【小问2详解】
当时，.
任取，且，
那么，
因为，所以，从而，
即.所以是上的减函数.
19. 刚刚结束的2023年杭州亚运会给人们留下了深刻印象，也带火了很多杭州特色产品.某小组通过对一款杭州特产龙井茶的某官网销售情况的调查发现:该商品在过去30天内，销售单价(单位:百元)与时间(单位:天)的函数关系近似满足(为常数),日销售量(单位:件)与时间的部分数据如下表所示:
已知第5天的日销售收入为216百元.
（1）求的值；
（2）给出以下三种函数模型(1)；(2)；(3).
请根据上表中的数据，选择你认为最合适的一种函数来描述与的变化关系，并求出函数的解析式;
（3）记该商品在这30天内的日销售收入为(单位:百元)，求的最大值.
【答案】（1）
（2），
（3）
【解析】
分析】（1）由代入计算可得；
（2）首先判断，再代入数据计算可得；
（3）由求出的解析式，再根据二次函数的性质计算可得.
【小问1详解】
由题意得，解得．
【小问2详解】
由表中的数据知，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，
而①，③中的函数为单调函数，故只能选②，即．
由表中数据可得，，
即，解得，
故，．
【小问3详解】
由（1）可得，
依题意
，，
所以当时取得最大值，即，
即的最大值为.
20. 设函数，函数，用表示中的较大者，记为，再从条件（1）、条件（2）这两个条件中选择一个作为已知.
条件（1）:
条件（2）:恒成立.
（1）求不等式的解集;
（2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围;注:如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）选择条件①代入计算即可求得值，再列出不等式解出即可；选择条件②根据二次函数的最值即可得到的值；
（2）求出分段函数，再分离参数，利用基本不等式即可得到答案.
【小问1详解】
若选择条件①因为，
所以，故.
所以，
因为，故，
解得或，
所以不等式解集为.
若选择条件②恒成立，故最小值为，
所以对称轴方程为，所以，故.以下同条件条件①.
【小问2详解】
不论是条件①或是条件②均可以得到，
因为，
根据（1）中条件①的同种方法即可得到当时，，
所以，
又因为当，不等式恒成立，
故当，不等式恒成立，
即恒成立，.
因为，
当且仅当时等号成立，故，即.
21. 已知正整数集合,对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有,则称集合具有性质.记是集合中的最大值.
（1）判断集合和集合是否具有性质，直接写出结论；
（2）若集合具有性质，求证：；
（3）若集合具有性质，求的最大值.
【答案】（1）集合具有性质；集合不具有性质；
（2）证明见解析（3）
【解析】
【分析】（1）根据定义直接判断得到答案.
（2）确定，变换，计算得到证明.
（3）确定，得到，确定，再根据均值不等式计算最值得到答案.
【小问1详解】
，则；
；，
故集合具有性质；
，故，
故集合不具有性质；
【小问2详解】
，
故，故，即，
集合具有性质，故，
.
【小问3详解】
集合具有性质，则，，，，
，
故，
又，故，即，，，
当为偶数时当且仅当，即时等号成立，
当为奇数时等号不成立，，故，即，
故，
综上所述：，故的最大值为.
【点睛】关键点睛：本题考查了集合综合应用，意在考查学生的计算能力，转换能力和综合应用能力，其中根据集合中元素的大小关系，确定，再利用绝对值的性质计算是解题的关键.
0
3
6
3
0
6
5
10
15
20
25
30
180
310
390
420
400
330