【湖北卷】湖南省长沙市周南中学2024-2025学年2025届高三上学期第四阶段（12月）模拟考试（12.3-12.4）数学试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则为( )
A. B. C . D.
2.在复平面内，若i是虚数单位，复数与关于虚轴对称，则=( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则=( )
A. −2 B. 0 C. 1 D. 2
4.下列命题中真命题是（ ）
A. 命题的否定；
B. 已知直线平面，直线平面，则“”是“”的必要不充分条件；
C. 若随机变量服从正态分布，，则；
D. 圆上的点到直线距离为1的点恰有3个.
5．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
6．在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至.从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水，清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（ ）
A．25.5尺B．34.5尺C．37.5尺D．96尺
已知，若函数在区间上恰好有5个最大值，4个最小值，则实数的取值范围是 ( )
A.B．C． D．
在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（ ）
A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1
C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某超市在两周内的蓝莓每日促销量如图所示，根据此折线图，下面结论正确的是（ ）
A．这14天日促销量的众数是214 B．这14天日促销量的中位数是196
C．这14天日促销量的极差为195 D．这14天日促销量的第80百分位数是243
10.已知椭圆：（）与双曲线：有相同的焦点，，且它们的离心率之积为，点P是与的一个公共点，则（ ）
A．椭圆的方程为
B．三角形PF1F2为等腰三角形
C．过点F2作E的一条渐近线的垂线，垂足为M, 则三角形MF1F2面积为
D．对于上的任意一点，
11.如图，在棱长为4的正方体中，E，F分别是棱，的中点，P是正方形内的动点，则下列结论正确的是（ ）

A．若平面，则点P的轨迹长度为
B．若，则点P的轨迹长度为
C．若P是正方形的中心，Q在线段EF上，则的最小值为
D．若P是棱的中点，三棱锥的外接球球心为O，则平面A1BCD1截球O所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
已知，则 的最大值为 .
抛物线 的焦点为F，A为y轴正半轴上的一点，射线FA与抛物线交于点B，与抛物线准线交于点M. 若成等差数列，则 .
已知数列，等可能取或1，数列满足，且，则的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(13分)
在中，角A，B，C 对应的的三边分别是a，b，c，且.
（1）求角C的值;
（2）若，求的面积．
16．（15分）
如图，在三棱柱中，，，侧面是正方形，为的中点，二面角的大小是．
（1）求证：平面平面；
（2）若E为线段BD的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
17.（15分）
数列为等差数列，为正整数，其前n项和为，数列为等比数列，且，数列是公比为64的等比数列，．
（1）求；
（2）求证．
（17分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点D在椭圆上，且.
求椭圆的方程；
过点的动直线与椭圆交于两点（不与椭圆的左、右顶点重合）.
①当的倾斜角为时，求的面积；
②点P为椭圆的右顶点，直线PA、PB分别与轴相交于点M、N，求证：以MN 为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.
19．（17分）
定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
(1)当时，判断是否为极值可差比函数，并说明理由；
(2)是否存在a使的极值差比系数为？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求的极值差比系数的取值范围．