初中数学北师大版（2024）九年级下册4 解直角三角形课时练习

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级下册4 解直角三角形课时练习，共19页。
A.
B.
C.
D.
2、小明想要测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，同一时刻，一根长为米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为米，则树的高度为（ ）．
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
3、如图所示是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为，直径是河底线，弦是水位线，，且，于点．已测得．根据需
要，水面要以每小时的速度下降，则经过 小时能将水排干．
4、如图所示，在中，，，，求的面积．
5、小红在学习了教科书上相关内容后自制了一个测角仪（图①），并尝试用它来测量校园内一座教学楼的高度（如图②）．她先在处测得楼顶的仰角，再向楼的方向直行米到达处，又测得楼顶的仰角，若小红的目高（眼睛到地面的高度）为米，请你帮助她计算出这座教学楼的高度．（结果精确到米，参考数据：，，）
6、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为米．
(1) 求新传送带的长度．（计算结果保留根号）
(2) 如果需要在货物着地点的左侧留出米的通道，试判断距离点米的货物是否需要挪走，并说明理由．（计算结果精确到米，参考数据：，，，）
7、如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机欲测量一岛屿两端、的距离，飞机在距海平面垂直高度为米的点处测得端点的俯角为，然后沿着平行于的方向水平飞行了米，在点测得端点的俯角为，求岛屿两端、的距离（结果保留根号）．
8、如图，一艘货轮在处发现其北偏东方向有一海盗船，立即向位于正东方向处的海警舰发出求救信号，并向海警舰靠拢，海警舰立即沿正西方向对货轮实施救援，此时距货轮海里，并测得海盗船位于海警舰北偏西方向的处．
(1) 求海盗船所在处距货轮航线的距离．
(2) 若货轮以海里/时的速度在处沿正东方向海警舰靠拢，海盗以海里/时的速度由处沿正南方向对货轮进行拦截，问海警舰的速度应为多少时才能抢在海盗之前去救货轮？（结果保留根号）
9、一副直角三角板按如图所示放置，点在的延长线上，，，，，，则的长为 ．
10、学校校园内有一小山坡，如图所示，经测量，坡角，斜坡长为米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡的坡比是（即为与的长度之比）．，两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度为 ．
11、如图所示，内接于⊙，，锐角，则⊙的半径为 ，的面积的最大值为 ．
12、在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上的一点，点是第一象限内一点，且，设，则的取值范围是 ．
13、如图，四边形中，，，，，，求的长．
14、如图所示，在四边形中，对角线、相交于点，，，，．求的长和的面积．
15、小鹏学完解直角三角形知识后，给同桌小艳出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”请你帮小艳解答这道题．（精确到，参考数据：，，）
16、超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在处，离益阳大道的距离（）为米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，．
(1) 求、两点的距离．
(2) 请判断此车是否超过了益阳大道千米/小时的限制速度？
（计算时距离精确到米，参考数据：，，，，千米/小时米/秒）
17、如图，某防洪指挥部发现长江边一处长米，高米，背水坡的坡角为的防洪大堤（横断面为梯形）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽米，加固后背水坡的坡比．
(1) 求加固后坝底增加的宽度．
(2) 求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）
18、如图，在中，，，为边上一个动点，过点作，交于点，连结．
(1) 如图，若，请直接写出：当 时，的面积最大．
(2) 如图，若为任意锐角，则当点在上何处时，的面积最大？
19、如图所示，在中，斜边，若，，则（ ）．
A. 点到的距离为
B. 点到的距离为
C. 点到的距离为
D. 点到的距离为
20、黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中，千米，千米，请据此解答如下问题：
(1) 求该岛的周长和面积；（结果保留整数，参考数据，，）
(2) 求的余弦值．
21、如图所示，在中，，，的平分线与的外角平分线交于点，连接，则的值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
22、如图所示，在中，为边上一点，，，，若的面积为，则 ．
参考答案
1 、【答案】 B;
2 、【答案】 A;
3 、【答案】
中，，，
∴．
由勾股定理得：．
∴将水排干需要的时间为：（小时）．
4 、【答案】如图，过点作于点．
∵在直角中，，，
∴，．
∵在直角中，，，
∴，
∴．
∴．
5 、【答案】
∵，，
∴．
∴．
在中，
∴．
答：这座教学楼的高度约为米．
6 、【答案】1) 如图，作于点，中，
．
在中，
∵，
∴．
即新传送带的长度约为米．
(2) 在中，，
在中，．
∴．
∵．
∴货物应挪走．
7 、【答案】 过点作于点，过点作于点，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
∴，．
由题意可知：米，米．
在中，，米．
∴（米）．
在中，，米．
∴（米）．
∴（米）．
答：岛屿两端、的距离为米．
8 、【答案】 (1) 作于点，
在直角三角形中，∵，∴．
在直角三角形中，∵，∴，∴．
∵，
∴．
(2) ∵海盗以海里/时的速度由处沿正南方向对货轮进行拦截，
∴海盗到达处用的时间为，
∴警舰的速度应为海里/时．
9 、【答案】 过点作于点，
在中，，，，
∴．
∵，
∴．
，
在中，，，
∴，
∴，
∴．
10 、【答案】 ;
【解析】 在中，，
∴，，
∵斜坡的坡比是，
∴，
∴．
11 、【答案】作直径，连接，如图，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴⊙的半径．
当点到的距离最大时，的面积的最大值，此时点优弧的中点，如图．
的延长线交于，连接，
∵点优弧的中点，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
∴的面积．
12 、【答案】 在以为圆心，以为半径作圆周上，只有当与圆相切（即到点）时，最小，
，，由勾股定理得：，
∵，
∴，，
∴，
，
随着的移动，越来越大，
∵在第一象限，
∴不到轴点，
即，
∴．
13 、【答案】 过点作于，过点作于．
∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
14 、【答案】过点作于点，
∵，，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
在中，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴；
∴．
15 、【答案】 如图，作于点，于点．
∵，
，
∴．
根据题意，得，．
在中，，
∴（）．
在中，，
∴（）．
∴矩形的周长（）．
16 、【答案】 (1) 在中，，，，
∴（米）．
(2) ∵此车速度（米/秒） （米/秒）（千米/小时）．
∴此车没有超过限制速度．
17 、【答案】 (1) 分别过点、作、交于、．
∵四边形是梯形，且，
∴平行且等于．
故四边形是矩形．
∴．
在中，
（米）．
在中，
，
∴（米）．
∴（米）．
答：加固后坝底增加的宽度为米．
(2) 加宽部分的体积坝长

（立方米）．
答：完成这项工程需要土石（）立方米．
18 、【答案】 (1) ．
(2) 如图，过点作于．
∴．
设．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
在中，，，
∴．
∴．
∵为任意锐角，
∴．
∴．
∴当时，有最大值．
即在中点时，的面积最大．
19 、【答案】 到的距离是指的长，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故A、B选项错误；
过作于，则的长是点到的距离，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，故C选项正确，D选项错误．
20 、【答案】 (1) ∵千米，，
∴，千米．
又∵，
∴（千米）
∴周长（千米）
面积（平方千米）．
(2) ．
21 、【答案】 D;
22 、【答案】 ;