四川省德阳市2024-2025学年高三上学期第一次诊断考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份四川省德阳市2024-2025学年高三上学期第一次诊断考试数学试卷（Word版附答案），共10页。试卷主要包含了设满足，则，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
说明：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷，第Ⅰ卷1—2页，第Ⅱ卷2—4页，考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效．考试结束后，将答题卡交回．
2．本试卷满分150分，120分钟完卷．
第Ⅰ卷（选择题共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．
1．设集合，集合，则集合（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
3．生物兴趣小组在研究某种流感病毒的数量与环境温度之间的关系时，发现在一定温度范围内，病毒数量与环境温度近似存在线性相关关系，为了寻求它们之间的回归方程，兴趣小组通过实验得到了下列三组数据，计算得到的回归方程为：，但由于保存不妥，丢失了一个数据（表中用字母m代替），则（ ）
A．B．C．D．m的值暂时无法确定
4．已知数列的前n项和为，且，则数列的前10项和为（ ）
A．B．C．D．
5．底面相同的圆柱和圆锥有相等的侧面积，且圆柱的高恰好是其底面的直径，则圆柱与圆锥的体积之比为（ ）
A．2B．C．D．
6．设满足，则（ ）
A．120B．C．40D．
7．函数单调递增，且，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．设为双曲线的左右焦点，O为坐标原点，P为C的一条渐近线上一点，且，若，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布，则
B．数据的平均数为2，则的平均数为6
C．数据2，4，6，8，10，12，14的第60百分位数是10
D．随机变量X服从正态分布，且，则
10．定义在R上的函数满足，则下列结论正确的有（ ）
A．B．为奇函数
C．6是的一个周期D．
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数有两个极值
B．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
C．当时，若b是a与c的等差中项，直线与曲线有三个交点，则
D．当时，若，则
第Ⅱ卷（非选择题共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．某中学田径队有男运动员28人，女运动员21人，按性别进行分层随机抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为14的样本，如果样本按比例分配，则男运动员应该抽取的人数为_______
13．已知，则_______
14．若关于x的方程有且仅有两个实根，则实数m的取值范围为_______
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分13分）平面向量，满足
（1）若在上的投影向量恰为的相反向量，求实数t的值；
（2）若为钝角，求实数t的取值范围．
16．（本题满分15分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知的面积
（1）若，求b的值；
（2）求内角C取得最大值时的面积．
17．（本题满分15分）已知函数的定义域为D，
（1）若，求函数的值域；
（2）若，且，求实数的取值范围．
18．（本题满分17分）甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放人另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为
（1）求；
（2）求的解析式；
（3）求．
19．（本题满分17分）若函数与在各自定义域内均能取得最大值，且最大值相等，则称与为“等峰函数”．
（1）证明函数与是“等峰函数”；
（2）已知与为“等峰函数”．
①求实数a的值；
②判断命题：“，且”的真假，并说明理由．
温度x（℃）
6
8
10
病毒数量y（万个）
30
22
m
德阳市高中2022级第一次诊断考试
数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．C 8．B
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9．AC 10．ACD 11．BD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．8 13． 14．
四、解答题（本大题共5小题，共77分）
15．僻：（1）由题意得，从而，亦即
又
所以
即
（2）为钝角
所以的取值范围为
16．解：（1）由知
由于，所以由余弦定理得
，从而
即
（2）中有
（当且仅当，即时取等号）
此时，角取到最大值．
17．解：（1）因为，由得
令，则
从而的值域为
（2）由于，且，所以方程的两根分别为
且
又，即
亦即，从而
所以
即实数的取值范围为
18．解：（1）记第次交换后甲袋中恰有两个自球的概率为，则第次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为
由题意得．
（2）由（1）知
所以，且
从而数列是以为首项，为公比的等比数列
所以
即
（3）显然的所有可能取值为0，1，2
且
即，从而
所以的分布列为
所以
19．解：（1），由于，所以当
即时，；对于函数，
所以函数在上单调递增，从而当时，
函数与是“等峰函数”
（2）①
当时，若；若，即函数在上单调递减，在上单调递增，无最大值；
当时，在上单调递增，无最大值；
当时，若；若，即函数在
上单调递增，在上单调递减，所以当时，
因为，所以时，时，，即函数在上单调递增，在上单调递减，从而当时，
由于与为“等峰函数”，所以
即
将上式两端取自然对数得，即
令，则
所以在上单调递增，又，从而
②命题为真命题，理由如下：
先考察方程的实根情况，令
由①知在上单调递增，在上单调递减，所以
在上单调递增，又，
所以存在唯一，使得，即方程在上有唯一实根，且
其次考察方程的实根情况，令
由①知在上单调递减，
且
所以存在唯一，使得，即，
由于，所以，且，由在上的单调性知
最后考察方程的实根情况，令
由①知在上单调递增，且
所以存在唯一，使得，即
由于，所以，且，
由在上的单调性知
所以，又，所以
即，从而得知命题为真命题
②另解
先考察方程的实根情况，令
由①知在上单调递增，在上单调递减，所以
在上单调递增，又，
所以存在唯一，使得，即方程在上有唯一实根，且
易知：使即
令，则成等比数列．
故只要即可
又
所以成立
故原命题为真0
1
2