广东省东莞市七校联考2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)

这是一份广东省东莞市七校联考2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于( )
A.B.C.D.
2．已知向量,,若,则( )
A.B.C.3D.
3．在中，已知，，，点D为线段的中点，则边上的中线的长为( )
A.6B.C.D.7
4．已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为( )
A.B.C.D.
5．已知抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，点M为抛物线与椭圆的公共点，且轴，则椭圆的离心率为( )
A.B.C.D.
6．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术，如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为，下底直径为，喉部（中间最细处）的直径为，则该塔筒的高为( )
A.B.C.D.
7．如图①，在中，分别为上的点，
.如图②，将沿折起，当四棱锥的体积最大时，点E到平面的距离为( )
A.B.C.D.
8．已知椭圆：和圆，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B.若椭圆上存在点P，使得，则椭圆离心率e的取值范围是( ).
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知圆,直线.则以下命题正确的有( )
A.直线l恒过定点
B.y轴被圆C截得的弦长为
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最长时,直线的方程为
10．已知为双曲线的两个焦点，P为双曲线C上任意一点，则( )
A.
B.双曲线C的离心率为
C.双曲线C的渐近线方程为
D.
11．如图，已知正方体的棱长为2，N为底面的中心，P为线段上的动点（不包括两个端点），M为线段的中点，则( )
A.与共面
B.平面平面
C.存在点P使得
D.当P为线段的中点时，过A，M，N三点的平面截此正方体所得截面的面积为
三、填空题
12．已知向量，，若，则__________.
13．已知点在焦点为F的抛物线上，若，则__________.
14．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点P到，的距离比为，则点P到直线的距离的最大值是__________.
四、解答题
15．已知两直线和的交点为P.
(1)直线l过点P且与直线平行，求直线l的一般式方程；
(2)圆C过点且与相切于点P，求圆C的一般方程.
16．如图，平行六面体中，，.
(1)以向量{}为基底表示向量，求对角线的长度；
(2)求异面直线与所成角的余弦值.
17．己知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，且椭圆C经过点，长轴长为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于两点，求弦长；
(3)若直线l与椭圆相交于两点，且弦的中点为，求直线l的方程.
18．在三棱锥中，平面平面，为等腰直角三角形，，，，M为的中点.
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)在线段上是否存在点N使得平面平面？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
19．已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，点是双曲线C上的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
(i)求m的取值范围；
(ii)设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.
参考答案
1．答案：D
解析：设直线的倾斜角为，
由直线，可得斜率为，
即，所以，故D正确
故选：D
2．答案：D
解析：因为,所以,即.
因为
所以.
故选:D.
3．答案：A
解析：由中点坐标公式得
由两点间的距离公式得
故选：A
4．答案：B
解析：圆和圆，
两圆方程作差
得两圆的公共弦所在直线的方程为，
即.
故选B.
5．答案：C
解析：设椭圆的右焦点为，
抛物线的焦点为，
椭圆的左焦点为，
由题意可得，所以，
将代入抛物线方程解得，
所以，
由椭圆的定义可得，所以，
在中，由勾股定理得，
即，即，
所以，解得(舍去)，
即椭圆的离心率为.
故选：C.
6．答案：C
解析：该塔筒的轴截面如图所示，以喉部的中点O为原点，建立平面直角坐标系，
设A与B分别为上，下底面对应点.设双曲线的方程为，
因为双曲线的离心率为，所以.
又喉部（中间最细处）的直径为，所以，，所以双曲线的方程为.
由题意可知，，代入双曲线方程，得，，
所以该塔筒的高为.
故选:C.
7．答案：B
解析：
8．答案：D
解析：由知，.
又PA，PB为圆O的切线
所以，
所以四边形OAPB为正方形.
故
即.
9．答案：CD
解析：对于A,直线,
即,
由
解得,故直线过定点,故A错误;
对于B,圆
当时,,故y轴被圆C截得的弦长为,故B错误;
对于C,直线过定点,
故点P在圆内,则直线l与圆C恒相交,故C正确;
对于D,当直线l被圆C截得弦长最长时,直线过圆心
则,解得,
故直线方程为:
即,故D正确.
故选:CD
10．答案：BD
解析：由双曲线方程可知,,由双曲线的定义可得或A错误;
双曲线的离心率为,选项B正确;
双曲线的渐近线方程为,
即C错误；
D正确.
故选:BD
11．答案：AB
解析：A选项中，因为N为底面的中心，所以C，N，A三点共线，
又因为，即：P，M，N，C共面，
所以与共面，所以A正确；
B选项中，因为，，，平面
所以平面，因为平面，所以平面平面，所以B正确；
C选项中，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系：
所以，，设，
因为P为线段上不包括两个端点的动点即：，若时，，
因为，，，
因为，所以，即，所以C错误；
D选项中，当P为线段中点时，作出过A，M，N三点的平面，如图所示：
所以，，
因为，，所以，，
因为，所以，
，所以D错误.
故选：AB.
12．答案：-1
解析：由题意得,
解得.
13．答案：3
解析：由抛物线的定义知,
解得
14．答案：
解析：设点,
由,
得,
整理得,
因此点P的轨迹是以为圆心,
为半径的圆,点
到直线的距离为,
所以点P到直线l最大距离为.
故答案为:.
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)直线l与直线平行
故设直线l为，
联立方程组，
解得.
直线和的交点.
又直线l过点P，则，解得，
即直线l的方程为.
(2)设所求圆的标准方程为，
的斜率为，故直线的斜率为1，
由题意可得
解得
故所求圆的方程为.
化为一般式：.
16．答案：(1)3
(2)
解析：(1)以向量{}为基底
则有，
因为，
以三角形为等腰直角三角形，所以，
又因为，
所以三角形为边长为1的等边三角形，
，
所以
所以,即对角线的长度为3.
(2)因为，，
，，
所以
所以
即异面直线与所成角的余弦值为.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)由题意设椭圆C的方程为，
因为椭圆经过点
又因为长轴长为，
所以椭圆C的标准方程为.
(2)由已知设直线l的方程为
设，.
将直线代入
得，
所以，，
(3)法一：设
则中点是，
于是，
即，
由于在椭圆上
故，
两式相减得到，
即，
故，显然，
于是，
故直线的方程是
整理得
经检验，直线与双曲线有两个交点，合乎题意.
法二：①当直线l的斜率不存在时，的中点在x轴上，不符合题意.
②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为，
设，则中点是
于是，即，
联立
化简得，
由于，根据韦达定理，
解得
故直线的方程是
整理得
18．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)若D为中点，连接、
又M为AB的中点.
∴，
由，则，
又为等腰直角三角形，
，有，
由，则面，
∵面
∴
(2)由(1)可构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，
∴，
则，，，
若为面的一个法向量，
则
令，即
若为面的一个法向量，
则
令，即，
∴，
则平面与平面所成角的余弦值为.
(3)若存在N使得平面平面
且，，
则，，
，，
若是面的一个法向量，
则
令，则，
∴，
可得.
∴存在N使得平面平面，此时
19．答案：(1)
(2)(i)或.
(ii)证明见解析
解析：(1)由题意可知
因为，所以.
因为，，
得，
又因为在双曲线上
则，
所以.
所以双曲线C的方程为.
(2)(i)由题意知直线l的方程为.
联立，
化简得，
因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，
即满足：，
所以或.
(ii)，
直线AD的方程为
直线BE的方程为.
联立直线AD与BE的方程，得，
所以
所以，
所以
.
所以点Q的横坐标始终为1
故点Q在定直线上