汉寿县第一中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)

这是一份汉寿县第一中学2025届高三上学期11月期中考试数学试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合，集合，( )
A.B.C.D.
2．已知复数，则( )
A.B.C.D.
3．已知命题p:，，则为( )
A.，B.，
C.，D.，
4．已知平面，，和直线l，则“”的充分不必要条件是( )
A.内有无数条直线与平行
B.且
C.且
D.内的任何直线都与平行
5．下列四个图象可能是函数图象的是( )
A.B.
C.D.
6．在数列中，，，则的通项公式为( )
A.B.
C.D.
7．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间t（单位：分钟）后的温度T满足，其中是环境温度，h称为半衰期，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在.经测量室温为，茶水降至大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从降至开始大约还需要等待( )（参考数据：，，）
A.3分钟B.5分钟C.7分钟D.9分钟
8．已知函数有三个零点，则t的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下面命题为假命题的是( )
A.若，，则
B.函数的单调减区间是
C.的最小值是2
D.与是同一函数
10．已知函数的图象过点，下列说法中正确的有( )
A.若，则在上单调递减
B.若把的图象向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则的最小值为2
C.若在上有且仅有4个零点，则
D.若，且在区间上有最小值无最大值，则
11．如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，点E为棱的中点，点P在侧面内运动（包含边界），且与平面所成角的正切值为，则( )
A.长度的最小值为
B.存在点P，使得
C.存在点P，使得
D.棱长为1.5的正方体可以在此空心棱台容器内部任意转动
三、填空题
12．在数列中，，若，则________.
13．已知椭圆的左焦点为，椭圆C上的一点P到左焦点的距离为6，点M是线段的中点，O为坐标原点，则________.
14．编号为1,2,3,4的四个小球，有放回地取三次，每次取一个，记m表示前两个球号码的平均数，记n表示三个球号码的平均数，则m与n之差的绝对值不超过0.2的概率是________.
四、解答题
15．在中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长.，.
（1）求角A的值；
（2）若，求的面积.
16．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在实数a，使得在具有单调性？若存在，求所有a的取值构成的集合；若不存在，请说明理由.
17．如图，在斜三棱柱中，点O、E分别是、的中点，与交于点F，平已知，.
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
18．已知椭圆的短轴长为2，且其右焦点F也是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点F作直线、满足，直线与椭圆交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，求四边形面积的最小值.
19．已知空间向量列，如果对于任意的正整数n，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数n，均有，，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数q称为“公比”.
(1)若是“等差向量列”，“公差向量”，，；是“等比向量列”，“公比”，，.求；
(2)若是“等差向量列”，，记，且，等式对于和2均成立，且，求m的最大值.
参考答案
1．答案：A
解析：，
故选：A.
2．答案：C
解析：，
故，，
所以，
故选：C
3．答案：A
解析：由题意知命题p:，为存在量词命题，
其否定为全称量词命题：，，
故选：A
4．答案：B
解析：A.内有无数条直线与平行,则，可能相交或平行，故不能推出.
B.且,则.反之不成立，满足条件.
C.且,则，可能相交或平行，故不能推出.
D.内的任何直线都与平行是的充要条件.
故选：B.
5．答案：C
解析：的定义域为，
其图象可由的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，
为奇函数，图象关于原点对称，
的图象关于点成中心对称.
可排除A、D项.
当时，，B项不正确.
故选：C
6．答案：B
解析：由，可得，且，
两式相减得，当,时,，
此时是以为首项，公差为2的等差数列，
则，即（n为奇数）；
当,时,，
此时是以为首项，公差为2的等差数列，
则，即（n为偶数），
综合上述可得数列的通项公式为，
故选：B
7．答案：B
解析：根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得.
故选：B.
8．答案：D
解析：函数有三个零点，
则有方程在上有三个不等的实数根，显然不符合要求，
令，问题等价于在上有三个不等的实数根，
函数，则的定义域为，有三个零点，
，
设，其中，
①当，即时，在上单调递增，有，所以，单调递增，不合题意；
②当，且，即时，，所以，单调递增，不合题意；
③当，且，即时，设的两根为p，q，
解得，，
，解得或，，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，，
构造函数，则有，
当时，单调递增；当时，单调递减，
有，所以，即.
取，，
（其中，所以，即），
取，，
（其中，所以，即），
所以在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，
在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点，且，
所以时，有三个零点，此时，
即时，函数有三个零点.
故选：D.
9．答案：BCD
解析：对A：若，，则，，故，故A正确；
对B：函数的单调减区间是、，故B错误；
对C：当时，，故C错误；
对D：的定义域为R，的定义域为，故D错误.
故选：BCD.
10．答案：BC
解析：依题意，，即，而，则，，
对于A，当时，，由，得，则在上不单调，A不正确；
对于B，的图象向左平移个单位后得函数，
依题意，,，解得：,，因此的最小值为2，B正确；
对于C，当时，，因在上有且仅有4个零点，
则，解得：，C正确；
对于D，因，且在区间上有最小值无最大值，则直线是图象的对称轴，
且在处取得最小值，，因此，,，且，
即,，且，所以或，D不正确.
故选：BC
11．答案：ABC
解析：对于A，分别取，，的中点为F，G，H，连接，，，，，如下图所示：
由题意得，，，又，平面，
所以可得平面，
又平面，所以；
又因为正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，
即可得，，，易得，
所以在梯形中，，，可得，
满足，所以；
又，平面，所以平面；
又因为与平面所成角的正切值为，
可得，即，
所以点P的轨迹是G为圆心，即以为直径在平面内的半圆，
故长度的最小值为，故A正确；
对于B，由选项A可知，平面，平面，所以；
若（即与以为直径的半圆相切时），平面，
又平面，所以，
即存在点P，使得，故B正确；
对于C，当点P与点重合时，，且，
此时四边形为平行四边形，所以，即，故C正确；
对于D，若正方体在此容器内部可以任意转动，则正方体的外接球可以放进容器，
棱长为1.5的正方体的外接球直径为，
由等腰梯形可知，其高，如下图所示：
可知此棱台可放入的最大球的直径为，小于正方体外接球直径，
故不可以在此空心棱台容器内部任意转动，所以D不正确.
故选：ABC
12．答案：8
解析：当m为偶数时，由得，解得；
当m为奇数时，由得，即，
作出,的图象，如图所示：
由图象知：随m增大而增大，随m增大而减小，
所以只有一个交点，且，即，
又因为，所以不满足题意.
综上：.
故答案为：8
13．答案：5
解析：由椭圆的定义得，
，，
又，，
，
故答案为：5.
14．答案：或0.375
解析：因为放回的抽取小球，所以基本事件总数为，
设抽取的前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，
根据题意有,，
则，
整理得，即，
当时，，此时为,,，3种情况；
当时，，此时为，，，，，，，，，9种情况；
当时，，此时为，，，，，，，，，9种情况；
当时，，此时为，，，3种情况；
综上得，满足条件的共有，所以满足条件的概率为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中,因为,
所以
因为
由正弦定理,得,即
所以
若,则,与矛盾,故
于是
又因为
所以
（2）因为,,,
所以
由正弦定理,得
所以的面积为
16．答案：（1）；
（2）存在实数，使得在单调递增，理由见解析.
解析：（1）求导得，
所以，又，
所以曲线在点处的切线方程为：.
（2）存在实数，使得在单调递增，理由如下：
由（1）得，
令，则，
故当时，在上恒成立，
故在上单调递增，由于，
故时，，单调递减，
时，，单调递增.
当时，令得，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
由于，
所以当时，，
所以不可能使得在恒成立，
所以当时，均不能使得在具有单调性.
当时，，
此时时，单调递减，时，单调递增，
所以，
所以在恒成立，此时函数在单调递增.
故存在实数，使得在具有单调性.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）.
解析：证明：（1）O，E分别是、的中点，与交于点F，
，，，
平面，平面，
又，
平面平面，
平面，平面.
（2）设点到平面的距离为d，
，
，
，，
，
中，，，
，
，
解得，
设与平面所成角为，
与平面所成角的正弦值为：.
18．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）因为椭圆的短轴长为2，即，所以.
因为抛物线的焦点坐标为，所以椭圆的右焦点坐标为，即，故，
所以椭圆的标准方程为.
（2）根据题意知直线的斜率存在，设直线，
①当时，，，此时，，四边形的面积.
②当时，直线，
将直线与椭圆的方程联立得，
设，，则，，
所以.
将直线与抛物线的方程联立得，
设，，则，所以.
综上所述，四边形面积的最小值为.
19．答案：(1)；
(2)31
解析：（1）由“等差向量列”定义和“等比向量列”定义知，
，
，
，
设，
，
两式相减得
，
所以.
（2），所以，所以为等差数列，
所以，
由题意知
，
构造函数，
则
，
所以函数至少有三个零点，，，
若要使有三个零点，则存在，使得为常数，且三个零点均在内，所以m为偶数，
且，解得，
所以，解得，
m的最大值为31.