云南省玉溪市易门县 2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份云南省玉溪市易门县 2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷，共3页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火B．中国火箭
C．中国行星探测D．航天神舟
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．车辆随机到达路口，遇到绿灯
3．（3分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
4．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．0.5B．1C．1或﹣1D．﹣1
5．（3分）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
6．（3分）如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为15πcm，母线长为20cm，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．b＝﹣2a
8．（3分）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（ ）
A．12B．C．D．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2．则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
10．（3分）如图，已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则（圆心角为90°的）扇形AOB的面积为（ ）
A．6πB．9πC．12πD．15π
11．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．6cmC．D．8cm
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为E．设AE＝x，S△ADE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式： ．
14．（2分）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 个．
15．（2分）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则＝ ．
16．（2分）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）x2+4x＝12．
18．（6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
19．（6分）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
20．（6分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ；
（4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围．
21．（7分）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．
（1）小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ．
（2）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率．
22．（7分）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
23．（8分）已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，
AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）如果正方形边长为2，求BG的长．
24．（8分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 ，位置关系 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
2023-2024学年云南省玉溪市易门县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题只有一个正确选项，每小题3分，共36分）
1．（3分）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A．中国探火B．中国火箭
C．中国行星探测D．航天神舟
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【解答】解：只有选项B中图形能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180度后和原图形完全重合．
故选：B．
【点评】本题考查中心对称图形，熟知中心对称图形的定义是解题的关键．
2．（3分）下列事件是必然事件的是（ ）
A．四边形内角和是360°
B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军
C．掷一枚硬币时，正面朝上
D．车辆随机到达路口，遇到绿灯
【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、四边形内角和是360°，是必然事件，符合题意；
B、校园排球比赛，九年级一班获得冠，是随机事件，不符合题意；
C、掷一枚硬币时，正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、车辆随机到达路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．（3分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（ ）
A．（x﹣4）2＝6B．（x﹣8）2＝6C．（x﹣4）2＝﹣6D．（x﹣8）2＝54
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可．
【解答】解：x2﹣8x＝﹣10，
x2﹣8x+16＝6，
（x﹣4）2＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
4．（3分）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
A．0.5B．1C．1或﹣1D．﹣1
【分析】把x＝0代入原方程，即可求解．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，
∴a﹣1≠0，a2﹣1＝0，
∴a＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握定义及一元二次方程的解的含义是关键．
5．（3分）抛物线y＝﹣2x2+1通过变换可以得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3，以下变换过程正确的是（ ）
A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
D．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
【分析】先通过抛物线解析式得到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
【解答】解：∵y＝﹣2x2+1的顶点坐标为（0，1），y＝﹣2（x+1）2+3的顶点坐标为（﹣1，3），
∴将抛物线y＝﹣2x2+1先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，可得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+3．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标．
6．（3分）如图，用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为15πcm，母线长为20cm，则这个扇形的圆心角的度数是（ ）
A．120°B．135°C．150°D．160°
【分析】利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的侧面展开扇形的弧长的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度数即可．
【解答】解：设这个扇形的圆心角为n°．
∵圆锥的底面圆的周长是15πcm，
∴圆锥的侧面扇形的弧长为15πcm，
∴＝15π，
解得：n＝135
故选：B．
【点评】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是根据圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长来求出圆心角．
7．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列结论中正确的是（ ）
A．a＞0B．b＜0C．c＜0D．b＝﹣2a
【分析】根据二次函数的图象逐一判断即可．
【解答】解：A．由图可知：
抛物线开口向下，
∴a＜0，
故A错误，不符合题意；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0，
故C错误，不符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
即b＝﹣2a，
故D正确，符合题意；
∵a＜0，﹣＝1，
∴b＞0，
故B错误，不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，从图象中获取信息并结合图象去分析是解题的关键．
8．（3分）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（ ）
A．12B．C．D．
【分析】根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，
∴AB＝AF＝6，∠AOB＝＝60°，
∴OA⊥BF，
∴BG＝FG，
在Rt△BOG中，∠O＝60°，OB＝6，
∴BG＝OB＝3，
∴BF＝2BG＝6，
故选：C．
【点评】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及圆内接正六边形的性质是正确解答的前提．
9．（3分）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点A分别作AM⊥x 轴于点M，AN⊥y轴于点N，若四边形AMON的面积为2．则k的值是（ ）
A．2B．﹣2C．1D．﹣1
【分析】依据题意，根据四边形面积与反比例函数的关系即可得解．
【解答】解：由题意，设A（a，b），
∴ab＝k．
又S四边形ANOM＝2＝ab，
∴k＝2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了反比例的图象与性质的应用，解题时要能熟悉题意学会转化是关键．
10．（3分）如图，已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则（圆心角为90°的）扇形AOB的面积为（ ）
A．6πB．9πC．12πD．15π
【分析】直接根据扇形面积进行计算即可．
【解答】解：根据扇形面积计算公式可得：圆心角为90°的扇形AOB的面积＝9π，
故选：B．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式，属于基础题．
11．（3分）大约在两千四五百年前，如图1墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图2所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）
A．B．6cmC．D．8cm
【分析】直接利用相似三角形的对应边成比例解答．
【解答】解：设蜡烛火焰的高度是x cm，
由相似三角形的性质得到：＝，
解得x＝，
即蜡烛火焰的高度是cm．
故选：C．
【点评】本题考查相似三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为E．设AE＝x，S△ADE＝y，则y关于x的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】分段函数，当0＜x≤4时，y是x的二次函数，开口方向向上；当4＜x＜5时，y是x的二次函数，开口方向向下，据此判断即可．
【解答】解：由题意得，AC＝＝2，
当点D与点C重合时，DE＝＝2，此时AE＝＝4，
当0＜x≤4时，△ADE∽△ACB，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝x，
∴y＝AE•DE＝x•x＝x2，此抛物线开口方向向上；
当4＜x＜5时，△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
∴DE＝10﹣2x，
y＝AE•DE＝x•（10﹣2x）＝﹣x2+5x，此抛物线开口方向向下；
故符合题意的图象是选项A．
故选：A．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分）
13．（2分）写出一个图象位于第二、四象限的反比例函数的表达式： y＝﹣（答案不唯一） ．
【分析】根据反比例函数的定义及性质解答即可．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），
∵函数图象位于第二、四象限，
∴k＜0，
∴符合条件的函数关系式可以为y＝﹣．
故答案为：y＝﹣（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是反比例函数的定义及性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解题的关键．
14．（2分）如图是一个可以自由转动的质地均匀的转盘，被分成12个相同的小扇形．若把某些小扇形涂上红色，使转动的转盘停止时，指针指向红色的概率是，则涂上红色的小扇形有 4 个．
【分析】先根据题意得出指针指向红色的概率是，再根据有12个等分区，结合概率公式即可求出答案．
【解答】解：12×＝4（个）．
故涂上红色的小扇形有4个．
故答案为：4．
【点评】此题考查了概率公式，掌握概率公式的求法即概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键，是一道常考题型．
15．（2分）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则＝ ．
【分析】先利用根根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，再通分得到＝，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝2，
所以＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
16．（2分）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 4或2 ．
【分析】连接OA，由AB⊥CD，设OC＝5x，OM＝3x，根据CD＝10可得OC＝5，OM＝3，根据垂径定理得到AM＝4，然后分类讨论：当如图1时，CM＝8；当如图2时，CM＝2，再利用勾股定理分别计算即可．
【解答】解：连接OA，
∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，
则OD＝OC＝5x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM＝AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM＝，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC＝；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC＝．
综上所述，AC的长为4或2．
故答案为：4或2．
【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
17．（8分）解方程：
（1）x2﹣x＝0；
（2）x2+4x＝12．
【分析】（1）利用提公因式法进行因式分解x（x﹣1）＝0，求解即可；
（2）利用配方法x2+4x+4＝16，进而得到（x+2）2＝16，求解即可．
【解答】解：（1）x2﹣x＝0，
∴x（x﹣1）＝0，
解得：x1＝0，x2＝1；
（2）x2+4x＝12，
∴x2+4x+4＝16，
∴（x+2）2＝16，
∴x+2＝±4，
解得：x1＝2，x2＝﹣6．
【点评】本题考查了一元二次方程，解题的关键是根据方程的形式选择合适的解法．
18．（6分）如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点都在格点上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．
（1）请在图中画出△A1B1C1，使它和△ABC关于原点O对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1；
（2）直接写出点A1，B1，C1的坐标．
【分析】（1）（2）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1就是所要求画的三角形；
（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．
【点评】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
19．（6分）刘师傅开了一家商店，今年2月份盈利2500元．4月份的盈利达到3600元，且从2月到4月，每个月盈利的增长率相同．
（1）求每个月盈利的增长率；
（2）按照这个增长率，请你估计这家商店5月份的盈利将达到多少元？
【分析】（1）设每个月盈利的增长率为x，利用4月份的盈利金额＝2月份的盈利金额×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出每个月盈利的增长率为20%；
（2）利用这家商店5月份的盈利金额＝这家商店4月份的盈利金额×（1+增长率），即可估计出这家商店5月份的盈利将达到4320元．
【解答】解：（1）设每个月盈利的增长率为x，
依题意得：2500（1+x）2＝3600，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：每个月盈利的增长率为20%．
（2）3600×（1+20%）
＝3600×1.2
＝4320（元）．
答：按照这个增长率，估计这家商店5月份的盈利将达到4320元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
20．（6分）一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围是 ﹣3＜x＜1 ；
（4）当﹣3＜x＜3时，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）设交点式y＝a（x+3）（x﹣1），然后把（0，﹣3）代入求出得到抛物线解析式；
（2）利用描点法画函数图象；
（3）结合函数图象，根据二次函数的性质写出对应的函数值的范围．
【解答】解：（1）设 y＝a（x+3）（x﹣1），
将（0，﹣3）代入得a×3×（﹣1）＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝（x+3）（x﹣1），
即y＝x2+2x﹣3；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
如图，
（3）当函数值y＜0时，对应的x的取值范围﹣3＜x＜1；
故答案为：﹣3＜x＜1；
（4）x＝3时，y＝（x+1）2﹣4＝12，
当﹣3＜x＜3时，y的取值范围是﹣4≤y＜12．
【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．
21．（7分）“四大发明”是指中国古代对世界具有很大影响的四种发明，它是中国古代劳动人民的重要创造，具体指A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四项发明，如图是小强同学收集的中国古代四大发明的不透明卡片，四张卡片除内容外其余完全相同，将这四张卡片背面朝上洗匀放好．
（1）小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为 ．
（2）小强从这四张卡片中随机抽取一张后将卡片洗匀，小刚再从剩下的三张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可．
（2）画树状图得出所有等可能的结果数和两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）∵有A．指南针、B．造纸术、C．火药和D．印刷术四张卡片，
∴小强从这四张卡片中随机抽取一张恰好是“印刷术”的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两人抽到的卡片恰好是“A．指南针”和“B．造纸术”的结果有2种，
∴两人抽到的卡片恰好是“指南针”和“造纸术”的概率为＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
22．（7分）丹东是我国的边境城市，拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？
（3）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，用待定系数法可得y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，解方程并由销售单价不低于成本且不高于54元，可得销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，由二次函数性质可得当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【解答】解：（1）设每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）之间的关系式为y＝kx+b，
把（35，90），（40，80）代入得：
，
解得，
∴y＝﹣2x+160；
（2）根据题意得：（x﹣30）•（﹣2x+160）＝1200，
解得x1＝50，x2＝60，
∵规定销售单价不低于成本且不高于54元，
∴x＝50，
答：销售单价应定为50元；
（3）设每天获利w元，
w＝（x﹣30）•（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，对称轴是直线x＝55，
而x≤54，
∴x＝54时，w取最大值，最大值是﹣2×（54﹣55）2+1250＝1248（元），
答：当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润，1248元．
【点评】本题考查一次函数，一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式和一元二次方程．
23．（8分）已知：如图，⊙O过正方形ABCD的顶点A，B，且与CD边相切于点E．点F是BC与⊙O的交点，连接OB，OF，
AF，点G是AB延长线上一点，连接FG，且∠G+∠BOF＝90°．
（1）求证：FG是⊙O的切线；
（2）如果正方形边长为2，求BG的长．
【分析】（1）根据正方形的性质和切线的判定定理即可得到结论；
（2）连接OE，根据切线的性质得到OE⊥CD，过O作OH⊥BC于H，推出四边形OECH是矩形，得到BH＝FH，求得OH＝CE，CH＝OE，根据勾股定理和相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF＝90°，
∴AF是⊙O的直径；
∵∠A＝∠BOF，∠G+∠BOF＝90°．
∴∠A+∠G＝90°，
∴∠AFG＝90°，
∴FG是⊙O的切线；
（2解：连接OE，
∵CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，
过O作OH⊥BC于H，
则四边形OECH是矩形，BH＝FH，
∴OH＝CE，CH＝OE，
∵AO＝OF，
∴OH＝AB＝1，
设OB＝OE＝CH＝r，
∴BH＝2﹣r，
∵OB2＝BH2+OH2，
∴r2＝（2﹣r）2+12，
∴r＝，
∴AF＝，BF＝，
∵∠ABF＝∠FBG＝∠AFG＝90°，
∴∠BAF+∠AFB＝∠AFB+∠BFG＝90°，
∴∠BAF＝∠BFG，
∴△ABF∽△FBG，
∴＝，
∴BG＝＝＝．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
24．（8分）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB＞DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系 相等 ，位置关系 垂直 ；
（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．
【分析】（1）证明△GDA≌△EDC（SAS），即可求解；
（2）根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC，即可求解；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，证明△DGP∽△EGD，列比例式可得AE的长；②当点G在线段AE上时，如图4，同理可解．
【解答】解：（1）如图1，
在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，
∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，
即∠ADG＝∠CDE，
∵DG＝DE，DA＝DC，
∴△GDA≌△EDC（SAS），
∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE，
故答案为：相等，垂直；
（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：
如图2，由（1）知，∠EDC＝∠ADG，
∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，
∴，＝＝，
∴＝，
∴△GDA∽△EDC，
∴＝，即CE＝2AG，
∵△GDA∽△EDC，
∴∠ECD＝∠GAD，
∵∠COD＝∠AOH，
∴∠AHO＝∠CDO＝90°，
∴AG⊥CE；
（3）①当点E在线段AG上时，如图3，
在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
∴△DGP∽△EGD，
∴＝，即，
∴PD＝，PG＝，
则AP＝＝＝，
则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝+﹣5＝；
②当点G在线段AE上时，如图4，
过点D作DP⊥AG于点P，
∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，
同理得：PD＝，AP＝，
由勾股定理得：PE＝＝，
则AE＝AP+PE＝+＝；
综上，AE的长为．
【点评】本题是四边形综合题，涉及旋转的性质，矩形的性质，三角形全等和相似的性质和判定，勾股定理等知识，难度适中，其中（3）正确画图和分类讨论是解题的关键．x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
0
﹣3
﹣4
﹣3
0
…
销售单价x（元/件）
…
35
40
45
…
每天销售数量y（件）
…
90
80
70
…