高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样第2课时教学设计及反思

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册9.1 随机抽样第2课时教学设计及反思，共9页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第2课时 均值
一、教学目标
1.会求总体平均数、样本平均数.
2.通过探究活动的开展，学生能够体会用样本平均数去估计总体平均数、用样本中的比例去估计总体中的比例.
3.能对现实生活中的实际问题进行均值计算，感知应用数学知识解决问题的方法，能了解样本与总体之间的关系，让学生认识到数学知识的逻辑性和紧密性，逐步培养学生的逻辑思维能力.

二、教学重难点
重点：用样本估计总体的意义.
难点：数据的平均数的概念及意义．

三、教学过程
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中简单随机抽样的例子吗？(学生举例)
想一想：在简单随机抽样中，如何通过样本来认识总体的性质呢？
师生活动：教师展示生活中的“随机抽样”，让学生也列举生活中的实例.之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：请用结构图梳理简单随机抽样的相关知识.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究总体均值与样本均值的关系
回顾：（1）下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值(单位:cm)如下:样本的平均数是多少？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为x=150156.0+166.0+⋯+171.0=164.3.
由此可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右.
总结：通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并把样本平均身高作为树人中学高一年级所有学生平均身高的估计值.即用样本平均数估计总体平均数。
总体平均数：一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称Y=Y1+Y2+…YNN=1Ni=1NfiYi为总体均值，又称总体平均数.
加权平均数：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数fi(i=1，2，…，k)，则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y=1Ni=1kfiYi.
样本均值：如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1
y2，…，yn，则称y=y1+y2+…ynn=1ni=1nyi为样本均值，又称样本平均数.
在简单随机抽样中，我们常用样本平均数y去估计总体平均数Y.
探究：小明想考察一下简单随机抽样的估计效果.他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为165.0cm.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本容量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如表所示.从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现？
思考：1.如何把表中数据用统计图表示出来？
2.从图表中你得出了哪些结论？
师生活动：独立思考，小组内交流，并汇报展示.
上图中红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均值。
说一说：
1. 20次试验，样本不同，平均数是否也是不同？
2. 20个样本平均数与总体平均数一样吗，偏离程度大吗？
3. 两种样本的样本平均数，哪个波动程度更小呢？
答：1.20次试验，样本不同，平均数不同。
2.虽然在所有20个样本平均数中，与总体平均数完全一致的很少，但除了样本量为50的第2个样本外，样本平均数偏离总体平均数都不超过1cm，即大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动.
3.样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的。增加样本量可以提高估计效果。
设计意图：利用问题情境探究，理解样本平均数和总体平均数的概念，在具体问题中，探究样本和总体之间的关系，发展学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．
（三）应用举例
例1眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要.树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎么做？
分析：总体：全校学生 个体：每一位学生 变量：学生的视力
记“视力不低于5.0”为1，“视力低于5.0”为0，则第i个(i=1，2，...，2174)
学生的视力变量值为Yi=1，视力不低于5.0.0，视力低于5.0.
于是，在总体中， “视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的总体平均数
P=Y1+Y2+⋯+Y21742174=Y
若抽取容量为n的样本，则样本中“视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的样本平均数p=y1+y2+⋯+ynn=y
可以用 y 估计Y，用样本中的比例p估计总体中的比例P.
解：例如，现在，我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机样本，其视力变量取值如下：
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
可计算出样本平均数为y=0.54
由样本平均数，我们估计在树人中学全体学生中，“视力不低于5.0”的比例约为0.54.
例2 某班4个小组的人数为10,10,x,8,已知该组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的平均数.
分析：x的大小未知,可根据x的取值不同分别找出中位数.
解:该组数据的平均数为14x+28，由于共有4个数据,
故中位数是其中两个数的平均数,
因为x未知,所以要分几种情况讨论.
(1)当x ≤8时,原数据按从小到大的顺序排列为x,8,10,10,
其中位数为12 10+8=9.
若14x+28=9,则x =8,此时平均数为9.
(2)当8< x ≤10时,原数据按从小到大的顺序排列为8, x,10,10,
其中位数若12x+10, 14 x+28= 12x+10，则x =8,而8不在8< x ≤10的范围内,所以舍去.
(3)当x>10时,原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10, x,
其中位数为1210+10=10.
若14x+28=10,则x=12,此时平均数10.
综上所述,这组数据的平均数为9或10.
总结：用分类讨论思想求平均数，分类讨论时要做到全面合理，不重不漏.
例3为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：
物价部门制定的阶梯水价实施方案为：
（1）计算这50户居民的用水的平均数.
（2）写出水价的函数关系式，并计算用水量为28m3时的水费.
（3）物价部门制定的水价合理吗？为什么？
解：（1） y=18×2+19×4+…26×250=22.12.
（2）设月用水量为x，则水价为
fx=3&x, 0≤x≤21，4.5x−31.5, x>21，
当x=28时， f28=4.5×28-31.5=94.5元.
（3）不合理，从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民的月用水量；从居民比例上看，仅仅16户居民，即32%的居民用水量没有超过21 m3，加重了大部门居民的负担。
任务三：探究简单随机抽样的优缺点
请同学们尝试以表格或结构框图的形式总结简单随机抽样的优缺点。
师生活动：独立思考，小组内交流，并汇报展示.
【总结】简单随机抽样的优缺点
设计意图：通过例题，让学生了解样本与总体之间的关系，掌握总体平均数、样本平均数的计算方法，并熟悉的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．
（四）课堂练习
1.为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读 ( 为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行 ) ，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是 ( )
​
A.548 B.443 C.379 D.217
解：选出第6行第8列的数4开始向右读 (为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行 ) ，即第一个号码为439 ，则选出的前4个号码是： 439， 495 ， 443 ，217
∴ 选出的第4个号码是217.
故选：D.
2.已知样本数据x1,x2,⋯,xn的均值为x=5，则样本数据2x1+2,2x2+2,⋯,2xn+2的均值为（ ）
A.5 B.10 C.7 D.12
解：根据题意，样本数据x1,x2,⋯,xn的均值为x=5，则有1nx1+x2+⋯+xn=5,
设样本数据2x1+2,2x2+2,⋯,2xn+2的平均数为X，则X=1n2x1+2+2x2+2+⋯+2xn+2=2×1nx1+x2+⋯+xn+2=2×5+2=12
故选：D.
3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石 (精确到小数点后一位数字)
解：根据题意，这批米夹谷为
1534×28254≈169.1（石）
故答案为：169.1.
4.将一个总体中的5n个个体平均分成n份，每份5个个体．先计算每份的均值，得到n个均值．这n个均值的平均值是否等于总体均值？证明你的结论．
解：相等，
证明如下：
依题意可知总体中的5n个个体平均分成了n份，每份5个个体，
设a11，a12…a15，
a21，a22…a25，
…，
an1，an2…an5为5n个个体，
μ1，μ2，…μn分别为第1份，第2份，…，第n份的均值，
μ为总体均值，
由题意得：μ1=15(a11+a12+…+a15)
μ2=15(a21+a22+…+a25)，
…，
μn=15(an1+an2+…+an5)，
于是1n(μ1+μ2+…+μn)
=15n(a11+a12+…+a15+a21+a22+…+a25+…+an1+an2+…an5)
=μ．
5.某班主任统计本班50名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示(如图)
(1)求该班学生每天在家学习时间的平均值；
(2)该班主任用分层抽样方法(按学习时间分五层)选出10人谈话，求在学习时间是1个小时的学生中选出的人数；
解：(1)平均学习时间为20×1+10×2+10×3+5×450=1.8小时；
(2)根据题意，从50名学生中抽取10名学生调查，则抽取比例为1050，
再由频率分布直方图可得学习时间是1个小时的学生为20人，
则这部分应抽取的人数为20×1050=4；
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.理解数据的平均数的概念及意义，能用样本估计总体．
2.会用用样本平均数去估计总体平均数、用样本中的比例去估计总体中的比例，用样本估计总体的思想解决问题．
3.掌握总体平均数、样本平均数的计算方法，并熟悉的应用．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.抽样序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
样本量为50的平均数
165.2
162.8
164.4
164.4
165.6
164.8
165.3
164.7
165.7
165.0
样本量为100的平均数
164.4
165.0
164.7
164.9
164.6
164.9
165.1
165.2
165.1
165.2
用水量（单位：m3）
18
19
20
21
22
23
24
25
26
频数
2
4
4
6
12
10
8
2
2
月用水量
水价（单位：元/m3）
不超过21m3
3
超过21m3的部分
4.5
名称
优点
缺点
简单随机抽样
简单随机抽样方法简单、直观
当总体很大时，编号等准备工作耗费时间、人工，甚至难以做到；
用样本平均数估计总体平均数也比较方便
抽中个体较为分散，要找到样本中的个体进行调查会遇到很多困难.
简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方法的基础.
简单随机抽样没有其他辅助信息，估计效率不是很高.
16
22
77
94
39
49
54
43
54
82
17
37
93
23
78
84
42
17
53
31
57
24
55
06
88
77
04
74
47
67
63
01
63
78
59
16
95
55
67
19
98
10
50
71
75