初中人教版（2024）24.1.3 弧、弦、圆心角一课一练

这是一份初中人教版（2024）24.1.3 弧、弦、圆心角一课一练，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列叙述正确的是（ ）
A．平分弦的直径必垂直于弦B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等
C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的弦相等
2．如图，是的直径，四边形内接于，若，则的直径为（ ）

A．B．C．D．
3．如图，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
4．如图，是的两条直径，是劣弧的中点，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
5．在中，如果，那么弦与弦之间的关系是（ ）
A．B．C．D．无法确定
6．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（ ）①CE＝OE②∠C＝50° ③＝④AD＝2OE
A．①④B．②③C．②③④D．①②③④
二、填空题
7．在半径为1的⊙O中，弦AB的长为1，则弦AB所对弧的度数 ．
8．如图，一把三角尺，，．将其放置在量角器上，点O与圆心重合，若三角尺的直角边和量角器所在圆的半径相等，点C是斜边与量角器边缘的交点，若B点的对应刻度为，则C点的对应刻度为 ．
9．如图，在中，，则的度数为 ．

10．如图，在直径为10的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为 ．

11．如图，点A、B、C、D、E都是圆O上的点，，∠B＝116°，则∠D的度数为 度．
12．如图所示，是的直径，，，则的度数为 ．
13．如图，是的直径，，，点为弧的中点，点是直径上的一个动点，则的最小值为 ．

三、解答题
14．已知：如图，在中，，以点C为圆心、为半径作，交于点D，求弧的度数．

15．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的长．
16．阿基米德（，公元前287年~公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图①，已知和是的两条弦（即折线是的一条折弦），是的中点．那么从向所作垂线的垂足是折弦的中点，即．
下面是运用“截长法”证明的部分证明思路：
证明：如图②，在上截取，连接，……
……
【定理证明】
按照上面的思路，写出剩余部分的证明过程．
【问题解决】
如图③，等边ΔABC内接于为上一点，．
求的周长．
参考答案：
1．D
【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据垂径定理，三角形的外接圆与外心，圆心角、弧、弦的关系，逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：A．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A错误；
B．同圆或等圆中，相等的弦所对的劣弧或优弧相等，故B错误；
C．同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C错误；
D．等弧所对的弦相等，故D正确．
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的判定．连接、．根据圆心角、弧、弦的关系证得是等边三角形，则的半径长为，再求解即可．
【详解】解：如图，连接、．
是的直径，四边形内接于，若，
，
．
又，
是等边三角形，
，
．
故选：D．
3．B
【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】解：A、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；
B、平分，，，，故本选项正确；
C、与的大小关系不确定，与不一定相等，故本选项错误；
D、与的大小关系不确定，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
4．C
【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可．
【详解】解：如下图，连接，

∵是劣弧的中点，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键．
5．C
【分析】根据圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系即可得到结论．
【详解】解：取的中点，连接，，
则，
，
，
，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系，熟练掌握圆周角、弧、弦的关系，三角形的三边关系是解题的关键．
6．B
【分析】根据圆周角定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及直角三角形边的关系进行判断即可．
【详解】∵AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，
∴CE＝DE，，，
∴∠BOC＝2∠A＝40°，，
即，故③正确；
∵∠OEC＝90°，∠BOC＝40°，
∴∠C＝50°，故②正确；
∵∠C≠∠BOC，
∴CE≠OE，故①错误；
作OP∥CD，交AD于P，
∵AB⊥CD，
∴AE＜AD，∠AOP＝90°，
∴OA＜PA，OE＜PD，
∴PA+PD＞OA+OE
∵OE＜OA，
∴AD＞2OE，故④错误；
故选：B．
【点睛】此题考查圆的垂径定理，圆心角、弧、弦的定理，直角三角形两锐角互余及边的关系，平行线的性质.
7．或
【分析】本题考查了圆中弧、弦、圆心角的关系，由题意得是等边三角形，据此即可求解
【详解】解：如图所示：
由题意得：，
∴是等边三角形，
∴
∴弦AB所对优弧的度数为，所对劣弧的度数为，
故答案为：或
8．/82度
【分析】本题考查圆心角与它所对弧关系，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理．关键是由等边三角形的性质得到．
连接，由，，推出是等边三角形，得到，由B点的对应刻度为，即可求出D点的对应刻度．
【详解】解：连接，如图，
在中，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵B点的对应刻度为，
∴D点的对应刻度是．
故答案为：．
9．
【分析】由题意易得，然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
10．
【分析】过作于，交于，反向延长交于点，交于点，则，连接，则为的直径．根据平行线的性质得到推出．根据勾股定理即可计算答案．
【详解】解：过作于，交于，反向延长交于点，交于点，如图所示：

则，
连接，则为的直径，
，
，
，
，
∴
∴
，
在中，
，
，
在中，
，
，
故答案为．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理．正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
11．128
【分析】连接AD．首先证明∠ADC=∠ADE，再利用圆内接四边形的性质求出∠ADC即可解决问题．
【详解】解：连接AD．
∵，
∴∠ADC=∠ADE，
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠ADC=180°-116°=64°，
∴∠CDE=2×64°=128°，
故选：128．
【点睛】本题考查圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．51°/51度
【分析】由，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，继而可求得∠AOE的度数；然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求∠AEO的度数．
【详解】解：如图，∵，∠COD=34°，
∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，
∴∠AOE=180°-∠EOD-∠COD-∠BOC=78°．
又∵OA=OE，
∴∠AEO=∠OAE，
∴∠AEO=×（180°-78°）=51°．
故答案为：51°．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
13．4
【分析】本题主要考查最短路径及圆的基本性质．作点B关于直径的对称点E，连接，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得即为的最小值，然后利用圆周角、圆心角、弧之间的关系及等边三角形的性质可求解．
【详解】解：作点B关于直径的对称点E，连接，根据两点之间线段最短及轴对称的性质可得即为的最小值，如图所示：

∴，
∵，
∴，
∵点为弧的中点，
∴与的度数为20°，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
即的最小值为4，
故答案为：4．
14．弧的度数为
【分析】连接．由题意可求出，根据同圆半径相等结合等腰三角形的性质可求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据弧、弦、圆心角的关系求解即可．
【详解】解：如图，连接．

∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即弧的度数为．
【点睛】本题考查同圆半径相等，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，弧、弦、圆心角的关系等知识．正确的连接辅助线是解题关键．
15．(1)的度数为；
(2)
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理和勾股定理．
（1）求出的度数，求出所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）作，如图，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长．
【详解】（1）解：连接，
，，
，
，
，
，
，
的度数为；
（2）解：作，如图，则，
在中，，
∴，
，
，
在中，，
．
16．【定理证明】：见解析；【问题解决】：的周长为
【分析】（1）首先证明△MBA≌△MGC（SAS），进而得出MB=MG，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD，即可得出答案；
（2）首先证明△ABF≌ACD（SAS），进而得出AF=AD，以及CD+DE=BE，进而求出DE的长即可得出答案．
【详解】解：（1）如图②，连接．
可得．
由是的中点，可求得．
，
．
．
，
．
．
即．
（2）如图③，作．
由，可得．
由阿基米德折弦定理，可得．
由于，
所以，在中，可求得．
故的周长为．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形以及等边三角形的性质，正确作出辅助线利用全等三角形的判定与性质解题是解题关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
D
D
B
C
C
B