河北省秦皇岛市2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4

这是一份河北省秦皇岛市2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷（解析版）-A4，共26页。
本试卷共8页．总分120分，考试时间120分钟．
注意事项：1．仔细审题，工整作答，保持卷面整洁．
2．考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 一元二次方程用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了开平方的方法解一元二次方程，根据题意把方程左右两边同时开方得到，则或，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，即或，
故选：C．
2. 二次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．
根据轴上点的坐标特征，把x=0代入解析式，计算出对应的函数值即可得到交点坐标．
【详解】解：把x=0代入解析式得，
解得，
∴二次函数的图象与轴交点坐标为，
故选： C．
3. 把分别标着7，4，4，5，4，1，7，5这些数的八张卡片打乱后反扣在桌子上，从中任意摸一张，摸到可能性最大的数是（ ）
A. 1B. 4C. 5D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了事件的可能性，卡片数最多的数字即为摸到可能性最大的数，据此可得答案．
【详解】解：∵一共有8张卡片，其中写有4的卡片最多，且每张卡片被摸到的可能性相同，
∴摸到可能性最大的数是4，
故选：B．
4. 如图，是由绕着点顺时针旋转得到的，以下说法不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，熟记旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．根据旋转的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵是由绕着点旋转得到的，
∴，，，，
由已知条件无法得到，
故选： D．
5. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A. 且B. 且C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．
利用一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，即，
∴且，
故答案为：A．
6. 将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点，的读数分别为，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆周角定理，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据圆周角定理可知：圆周角的度数等于它所对的圆心角的度数的一半，从而可求得度数．
【详解】解：由题意可知，所对的圆心角度数为：
那么
故选：B．
7. 如图，扇形是圆锥的侧面展开图，点O，A，B在格点上．若小正方形方格的边长为，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的底面周长及侧面展开图，勾股定理，根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可求解．
详解】解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设圆锥底面半径为，则，
解得，
故选： D．
8. 嘉淇去商场购物，购买后，商家有一个抽奖答谢活动，共有张奖券，其中含奖项的奖券有张，每名已购物的顾客只能抽取一次，嘉淇抽之前有名顾客已抽过奖券，中奖的有人，则嘉淇中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．嘉淇抽奖时共有张奖券，张含奖项的奖券，所以嘉淇中奖的概率为．
【详解】解：商场共有张奖券，其中含奖项的奖券有张，
名顾客共抽取张奖券，还剩下张奖券，
含奖项的奖券抽取了张，剩下张含奖项的奖券，
嘉淇中奖的概率为．
故选：C．
9. 抛物线与抛物线关于原点对称，则的值为（ ）
A. B. 8C. 6D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像与几何变换，熟练掌握关于原点对称的抛物线开口方向改变，开口大小不变，是解题的关键．
根据关于原点对称的抛物线开口方向改变，大小不变，可得到答案．
【详解】解：抛物线与抛物线关于原点对称，则横纵坐标互为相反数，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选： A．
10. 如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
由旋转的性质可得
∴
，
故选：C．
11. 已知二次函数（a，b，c为常数，）的图象如图所示，有下列四个结论，其中正确的是（ ）
①一元二次方程的根为；
②若点在该抛物线上，则；
③对于任意实数m，都有；
④若（p为常数，）的根为整数，则p的值只有两个
A. ①②B. ①③C. ③④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与一次函数之间的关系，二次函数的性质等等，抛物线与x轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，据此可判断①；根据增减性即可判断②；根据对称轴处函数有最大值即可判断③；直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根，求出根的情况即可判断④．
【详解】解：由函数图象可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为，
∴一元二次方程的根为，故①正确；
∵抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∵抛物线对称轴为直线，且，
∴，故②错误；
当时，y有最大值，最大值为，
∴，即，故③正确；
根据题意可得直线与抛物线的交点的横坐标即为方程的根，
∵，
∴方程的根可以为或或，
∴对应P的值有三个，故④错误；
故选：B．
12. 如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．”
淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．”
A. 嘉嘉正确，淇淇错误B. 嘉嘉错误，淇淇正确
C. 嘉嘉正确，淇淇也正确D. 嘉嘉错误，淇淇也错误
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴；
同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确；
如图所示，过点O作于D，连接，
∴，
∴，
∵，
∴点B到的距离为，故淇淇说法错误，
故选：A．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13. 若点与点关于原点对称，则____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关于原点对称的两个点的横纵坐标都互为相反数，据此求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：．
14. 某农科院在相同条件下作了某种苹果幼树移植成活率的试验，结果如下表，根据以下数据，估计该种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为____________．（结果保留小数点后两位）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了利用频率估计概率．
表中数据实验频率逐渐稳定在左右，则这种苹果幼树在此条件下移植成活的概率约为．
【详解】解：根根据表中数据，实验频率逐渐稳定在左右，
则这种苹果幼树在此条件下移植成活的概率为，
故答案为： ．
15. 如图，已知的内接正五边形，点I是的内心，则____________．
【答案】72°
【解析】
【分析】本题考查了多边形内角和定理，三角形内角和及内心，正多边形与圆，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据题意得，多边形内角和定理得到，根据三角形内角和定理得到，因为点为三角形的内心，所以，所以．
【详解】解：根据题意得，
正五边形的内角和为，
∴，
∵，
∴，
∵点为的内心，
∴平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：72° ．
16. 小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t的点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线上向右跳动，得到点，这时的面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键．作轴，轴，轴，垂足分别为A、B、C，根据题意，分别表示出各个点的坐标，再根据求解即可．
【详解】解：如图，作轴，轴，轴，垂足分别为A、B、C，
由题意得，，
∴，
∴
，
故答案为：a．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为．
（1）作关于原点O的中心对称图形（点A，B，C的对应点分别为点D，E，F）；
（2）将绕着原点O逆时针旋转得到（点A，B，C的对应点分别为点P，Q，R），请画出，并写出点A的对应点点P的坐标．
【答案】（1）图见详解；
（2）图见详解；．
【解析】
【分析】本题考查作图—旋转变换、作图—中心对称变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
（1）根据中心对称的性质作图即可；
（2）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
【小问1详解】
解：三个顶点坐标关于原点O的对称点D，E，F的坐标分别为，描出这三个点，顺次连接，得，如下图：
【小问2详解】
解：三个顶点坐标绕着原点O逆时针旋转所得对应点P，Q，R的坐标分别为，描出这三个点，顺次连接，得，如下图：
18. 一个小正方体的展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数相同，且不相对两个面上的数值不相等．
（1）求出符合要求的x的值；
（2）已知一抛物线顶点的横、纵坐标正好是小正方体相邻两个面的数值，且该抛物线经过的另外一点横、纵坐标正好是小正方体的其他相邻的两个面的数值，判断是否在该抛物线上？
【答案】（1）
（2）点在该抛物线上
【解析】
【分析】本题主要考查了正方体展开图的特点，解一元二次方程，抛物线的对称性等等：
（1）根据正方体展开图的特点可得方程，解方程并验证即可得到答案；
（2）根据（1）所求求出抛物线顶点坐标以及点和点的坐标，再根据对称性进行判断即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意得，
∴或，
∵不相对两个面上数值不相等，
∴，
∴，
∴
【小问2详解】
解：当时，，
∴抛物线顶点坐标为2,1，且抛物线经过点，
∴抛物线对称轴为直线，
∴抛物线经过点，
∴点在该抛物线上．
19. 如图1，有一个质地均匀且四个面上分别标有数字“1”，“2”，“3”，“4”的正四面体骰子，小明与小红按照以下规则进行游戏活动：两人轮流掷这枚骰子，骰子着地的数字是几，就将棋子前进几格，开始棋子在数字“1”的那一格．例如：小明先掷骰子，所掷骰子着地一面所示数字为3，则棋子前进到数字4那一格．
（1）小明掷出骰子，数字“”着地是 ；
A．不可能事件 B．必然事件 C．随机事件
（2）小明先掷骰子，小红再掷．补全图2中的树状图，并分析第一轮结束后，棋子前进到数字“”那一格的概率．
【答案】（1）A （2）
【解析】
【分析】本题主要考查随机事件的分类，列表法或画树状图法求概率，掌握列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键．
（1）根据随机事件的分类即可求解；
（2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．
【小问1详解】
解：因为是四个面上分别标有数字“1”“2”“3”“4”的正四面体骰子，
所以小明掷出骰子，不可能是数字“6”着地，
故选：A；
【小问2详解】
解：补全树状图如下：
一共有16种等可能事件，其中棋子前进到数字“6”那一格有4种可能，
∴（棋子前进到数字“6”那一格）．
20. 如图，在中，以为直径的分别与，相交于点D，E，过点D作，垂足为F．
（1）求证：是的切线；
（2）分别延长，相交于点G，，半径为6，求阴影部分的周长．
【答案】（1）证明过程见详解；
（2）
【解析】
【分析】（1）要证明是的切线，则可考虑证明，连接，由同圆中半径相等，结合，利用等边对等角推理得到，则，此时结合即可得证；
（2）观察阴影部分，可将问题转化为求扇形的弧长与、的和，结合已知可得，根据含角的直角三角形的性质求出，接下来根据弧长公式计算出的长，问题即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，则，
，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质，是一道综合题，难度中等．
21. 素材1：图是拟建中的一个温室平面设计图纸，图纸上1个单位长度代表实际距离1米，温室是一个矩形，其周长为120，准备在它的四周铺设道路，左右两条纵向道路的宽度都为1，上边横向道路的宽度为1，下边横向道路的宽度为3，中间部分（阴影部分）种植草莓，种植面积为720．
素材2：道路的路面造价是70元平方米；经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；其余费用为3万元．
任务1：（1）实际中温室的长不能大于35米，通过计算说明拟建的温室是否达标；
任务2：（2）求经过1年后，温室年净利润为多少？（净利润=草莓销售的总利润-路面造价费用-其余费用）
【答案】任务：（1）温室达标，详见解析；
任务：（2）元
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设，则，，，由题意得，，解方程即可得到答案；
（2）根据题意正确列算式，求解即可．
【详解】解：任务：（1）设，
则，，，
根据题意得，，即，
解得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴温室达标；
任务：（2）由（1）知，，
∴温室的面积为，
∴道路面积为，
∴道路总造价为，
∴草莓的总利润为，
∴净利润为
答：温室年净利润为元 ．
22. 某公司生产一种建筑材料，生产费用y（万元）由材料费用、人工费用和制造费用三部分组成，已知该公司每年的材料费用（万元）与生产吨数x（吨）成正比，制造费用（万元）与生产吨数（吨）的平方成正比，人工费用为固定费用1000万元，试行中得到了下表中的数据．
（1）求y与x的函数解析式；
（2）已知卖出x吨该建筑材料的单价为P万元/吨，其中（a为常数）．设出售x吨时的利润为w万元．
①求w与x的函数解析式；
②如果生产出来的产品全部卖掉，并且当生产吨数是150吨时，所获利润最大，求此时P的值．
【答案】（1）
（2）40
【解析】
【分析】本题考查函数的应用，根据题意找到各个量之间的关系，建立正确的函数解析式并把问题转化成对应的数学模型再准确计算是正确解决本题的关键．
（1）根据题意可设材料费用为，制造费用为，则，把，代入解析式中，建立方程组求解即可；
（2）①根据等量关系：利润售价生产成本，可知，把和代入化简即可；②把与的函数解析式配方得：，根据二次函数的性质可知，求解可得，结合代入中即可．
【小问1详解】
解：依题意，设材料费用为，制造费用为，
则：，
根据题意可知，，满足解析式，
代入可得：，
解得：，
与的函数解析式为：；
【小问2详解】
解：①
综上所述，与的函数解析式为：；
②，
配方得：，
当生产吨数是吨时，利润最大，
即当时，有最大值，
，
解得，
此时．
23. 如图1，在平行四边形中，，过点C作边的垂线，交直线于点H，点O在直线上，半圆O以O为圆心，直径为，且将半圆O连同直径一起沿直线向左平移．
（1）半圆O的半径为____________；
（2）当半圆O与相切，切点为H时，如图14-2所示，设点M为半圆O上一点，点N为线段上一点，求的最大值和最小值分别是多少；
（3）当半圆O平移到与相切时，半圆O连同直径一起绕着点H继续以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为9秒时，判断半圆O与直线的位置关系，并给出证明．
【答案】（1）3； （2）最大值和最小值分别是6和；
（3）相离．
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形中，，证明进而可求解；
（2）作于，连接、，根据三角形三边的关系及解直角三角形、垂线段最短即可求出最大值及最小值；
（3）分两种情况：①当半圆O在右侧时，②当半圆O在左侧时，分别求出圆心O到直线的距离即可判断半圆O与直线的位置关系
【小问1详解】
解：，
，
中，，
，
，
，
中，，
，
，
故答案为：3；
【小问2详解】
解：作于，连接、，
，，
、、、共线时，即点M在线段上时，最小，
，
，
点不共线时，
，，
当重合，重合时，，
；
【小问3详解】
解：当半圆O平移到与相切时，
①当半圆O在右侧时，如图，
半圆O连同直径一起绕着点H以每秒的速度逆时针旋转9秒时，，
，作于，作于，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
半圆O与直线相离；
②当半圆O在左侧时，如图，
半圆O连同直径一起绕着点H以每秒的速度逆时针旋转9秒时，，
，
作于，作于，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
半圆O与直线相离；
综上所述，当半圆O连同直径一起绕着点H继续以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为9秒时，半圆O与直线的位置关系是相离．
【点睛】本题属于圆综合题，考查了平移变换，旋转变换，直线与圆的位置关系，平行四边形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
24. 如图，抛物线与抛物线交于点，且分别与y轴交于点D，E，过点B作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点A，C．
（1）直接写出a，m的值；
（2）嘉嘉说：可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度得到．
琪琪说：无论x为何值，恒小于0．
请选择其中一人的说法进行说理；
（3）推断以A，D，C，E为顶点的四边形是哪种特殊的四边形，并直接写出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数；
（4）作直线，将直线向下平移个单位长度后得到直线l，直线l与抛物线相交，直接写出直线l与抛物线有三个交点时n的值．
【答案】（1）；
（2）见详解； （3）正方形，有5个整点在四边形内部（包括边界）；
（4）或4．
【解析】
【分析】（1）由抛物线与抛物线交于点，可求得的值；
（2）由抛物线的平移的性质，即可得可由向左平移3个单位长度，再向上平移3个单位得到，说明嘉嘉的说法；由非负数的性质，即可证得，即可得无论x取何值，总是负数，说明琪琪的说法；
（3）首先求得点的坐标，即可证得，又由，即可证得四边形为正方形．结合图像求出抛物线与在该四边形内部（包括边界）的部分的整点（横、纵坐标都为整数）个数；
（4）分直线l与抛物线有一个交点，过点两种情况分别求解即可．
【小问1详解】
解：抛物线与交于点，
当时，，
即，，
解得：，；
【小问2详解】
解：嘉嘉的说法：
抛物线与，
可由向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到；
琪琪的说法：
，
，
，
无论取何值，总是负数；
【小问3详解】
解：设与交于点，
当时，，
解得：或，
点，
当时，，
解得：或，
点，
，，
当时，，，
，，
四边形为平行四边形，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形；
，，
设直线为，
得，
解得，
，
由图像可知：点在四边形内部（包括边界），
当时，
或，
时，，
时，，
两图像的交点坐标为，，
抛物线的顶点也在四边形的边上，
综上所述，共有5个整点在四边形内部（包括边界）；
【小问4详解】
解：，，
设直线为，
得，解得，
，
将直线向下平移个单位长度后得到直线l为，
令，
即，
当时，即，
解得，
此时直线l与抛物线 有两个交点，与有一个交点，共有三个交点，如下图：
当直线l经过点时，
，
解得，
此时直线l与抛物线有三个交点，如下图：
综上所述，当直线l与抛物线有三个交点时n的值为或4．
移植棵树n
100
500
1000
4000
15000
20000
30000
成活棵树m
86
432
865
3500
13170
17580
26430
成活频率
0.86
0.864
0.865
0.875
0.878
0879
0.881
生产吨数（吨）
50
70
生产费用（万元）
1500
1840