河南省洛阳市2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题（解析版）-A4

这是一份河南省洛阳市2024-2025学年上学期八年级期中考试数学试题（解析版）-A4，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下面的四个汉字可以看作轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称图形的定义可知，只有选项A的图形可以沿一条直线折叠使得直线两旁的部分能够互相重合． 故A选项是轴对称图形．
故选：A．
2. 如图，一角硬币边缘镌刻的正九边形每个内角的度数是( )
A. B. C. D. 以上答案均不对
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和和正多边形的定义．根据多边形的外角和定理求得正九边形的个相同外角的度数和，即可求得个外角的度数，再根据个外角与其相邻的内角互为邻补角，即可求得每个内角的度数．
【详解】解：正九边形的外角和为，
正九边形每个外角度数是
正九边形每个内角的度数是．
故选：C．
3. 如图，用尺规作出了，作图痕迹中弧是（ ）
A. 以点为圆心，为半径的弧
B. 以点为圆心，为半径的弧
C. 以点为圆心，为半径的弧
D. 以点为圆心，为半径的弧
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了作图基本作图，运用作一个角等于已知角的方法可得答案，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的方法．
【详解】解：根据作一个角等于已知角可得弧是以点为圆心，为半径的弧，
故选：．
4. 如图，，添加下列条件，不能使的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定定理，逐项分析判断即可．
【详解】解：A. 若，，利用“”可证明，故本选项不符合题意；
B. 若，，结合，可利用“”证明，故本选项不符合题意；
C. 若，，结合，可利用“”证明，故本选项不符合题意；
D. 若，添加条件，仍无法证明，该选项符合题意．
故选：D．
5. 如图，，及都是等边三角形，，分别为，的中点．若，则多边形外围的周长是( )
A. 12B. 14C. 15D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等边三角形的性质，由等边可得，而是的中点可知，同理等边、等边中均可以将各边的关系表示出来，结合已知，即可求得各边长；根据所求图形的周长即为从点按顺序到点的线段逐个相加，即，结合上步所求即可得到结果．
【详解】解：是等边三角形，，
．
是的中点，
．
是等边三角形，，
．
是的中点，
，
同理，在中，
，
多边形外围的周长是，
故选：C．
6. 如果将一副三角板按如图的方式叠放，则∠1的度数为（ ）
A. 105°B. 120°C. 75°D. 45°
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
【详解】解：由三角形的外角性质可得：，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，解题的关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
7. 如图，在中，，，分别是边，，的中点，且阴影部分的面积为7，则的面积为（ ）
A. 14B. 21C. 24D. 28
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．由是的中点可得，由是的中点可得，，从而得到，再由即可得到答案．
【详解】解：解：是的中点，
，
是的中点，
，，
，
，
，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可．
【详解】解：过点作轴，交于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，即：；
故选C．
9. 如图，在中，，分别平分，，为外角的平分线，交的延长线于点，记，，给出下列结论：其中错误的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的定义及性质，根据角平分线的定义得，，根据三角形外角的性质得，可判断选项A；根据角平分线的定义得，，由即可判断选项BCD．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
【详解】解：∵为外角的平分线，平分，
∴，，
又∵是的外角，
∴，
∴，故选项A不符合题意；
∵，分别平分，，
∴，，
∴
，
故选项C、D不符合题意，选项B符合题意．
故选：B．
10. 如图，在中，，，为线段上一动点（不与点、点重合），连接，作，交线段于点．以下四个结论：①；②当为中点时，；③当时，；④当为等腰三角形时，．其中正确的结论为（ ）
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理；①根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和和平角的定义即可得到；故①正确；②根据等腰三角形的性质得到，根据三角形的内角和即可得到，故②正确；③根据全等三角形的性质得到；故③正确；④根据三角形外角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到或，当时，，求出，故④错误．
详解】解：①，
，
，，
；故①正确，
②为中点，，
，
，
，
，
，
，故②正确，
③，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故③正确，
④，
，
，
为等腰三角形，
或，
当时，，
，
，
，
，故④错误，
综上所述，①②③正确，
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
11. 已知和关于轴对称，则的值为 _____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形变化轴对称、代数式求值，根据关于轴对称的点的坐标特征是横坐标相等，纵坐标互为相反数得到，，求出、值代入求解即可．
【详解】和关于轴对称，
，，
，，
，
故答案为：1．
12. 如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于 的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E．若， 则的周长为________________．
【答案】16
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质和作图，由作图可得垂直平分，则根据线段垂直平分线的性质得到，然后利用等量代换即可得到的周长．
【详解】解：由作图可得垂直平分，
∴，
∴的周长为，
故答案为：16．
13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点，，若，，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定、角平分线的定义以及平行线的性质等知识，由平行线的性质得，，再证明，，然后证明，，即可得出结论．
【详解】解：，
，，
和的平分线分别交DE于点，，
，，
，，
，，
，，
．
故答案为：．
14. 如图所示，______度．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了三角形的外角以及四边形的内角和，首先根据三角形外角的性质可知：图示这几个角是一个四边形的四个内角，再根据四边形的内角和即可求解．
【详解】解：如图，
，，
，
故答案为：．
15. 如图，在中，，，，，点是边上一动点．连接BD，将沿BD折叠，得到，其中点落在处，交于点，当为直角三角形时，长度是____________．

【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况：当时，可证得是等边三角形，得出，再由，即可求得；当时，利用直角三角形性质可得，再由，即可求得．
【详解】解：，，，，
，
由折叠得：，，
当时，，
，
是等边三角形，
，
；
当时，，
在中，，
，
；
综上所述，的长度为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了直角三角形性质，等边三角形的判定和性质，折叠变换的性质等，熟练掌握“直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半”是解题关键．
三、解答题（共8道题，共75分）
16. 已知正x边形的内角和为，边长为2．
（1）求正x边形的周长；
（2）若正n边形的每个外角的度数比正x边形每个内角的度数小，求n的值．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
【分析】本题主要考查多边形内角和外角和的相关知识．
根据多边形的内角和公式列式进行计算求得边数．
根据（1）求出正边形每个内角的度数，正n边形的每个外角的度数，根据多边形的外角和为解题即可．
【小问1详解】
解：由题意可得，解得．
正x边形的周长为；
【小问2详解】
正边形每个内角的度数为，
正n边形的每个外角的度数为，
，
∴n的值为5．
17. 如图，已知，
（1）尺规作图：在图1中，作的平分线；(不写作法，保留作图痕迹)
（2）如图2，点在(1)中的射线上，，且的两边分别与，交于点和点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查作角平分线、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．
（1）根据角平分线的作图方法作图即可．
（2）过点作于点，于点，结已知条件可得，，再结合角平分线的性质可得，即可证明，则可得．
【小问1详解】
解：如图1，射线即为所求．
【小问2详解】
证明：如图2，过点作于点，于点，
，
，
．
，，
，
，
即，
．
又为的平分线，，，
．
，
．
18. 学习完《利用三角形全等测距离》后，数学兴趣小组同学就“测量河两岸A、B两点间距离”这一问题，设计了如下方案．
请你根据以上方案求出、两点间的距离．
【答案】、两点间的距离为30米
【解析】
【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．由三角形内角和定理，得出，进而证明，推出，即可求解．
【详解】解：，
．
，
．
在和中，
，
．
，
，
米，
即、两点间的距离为30米．
19. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）直线过点1,0且平行于轴，请直接写出点关于直线的对称点的坐标：______；
（3）在（2）中的直线上求一点，使得周长最小．（保留作图痕迹）
【答案】（1）见解析 （2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了画轴对称图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，坐标与图形；
（1）作出的三个顶点关于轴对称的点，再连接即可解决问题；
（2）根据轴对称的特点，写出点的坐标即可；
（3）连接交直线于点，则点即为所求作的点．
【小问1详解】
解：如图所示即为所求
【小问2详解】
作出直线和点，根据坐标系可得的坐标：
故答案为：．
【小问3详解】
如图所示，连接交直线于点，则点即为所求作的点．
20. 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠B＝60°，∠C＝40°，求∠ADB和∠ADE的度数．
【答案】∠ADB＝80°，∠ADE＝50°
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理可求∠BAC的度数，根据角平分线的定义可求∠BAD，∠DAC，再根据高线的定义和三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是△ABC角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC＝∠BAC＝40°，
∴∠ADB＝80°，
∵DE是△ADC的高线，
∴∠DEA＝90°，
∴∠ADE＝50°．
【点睛】考查了角平分线的定义，高线的定义和三角形内角和定理：三角形内角和等于180°．
21. 如图，已知，，是的中线．
（1）若，，的取值范围为______；
（2）求证：．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边之间的关系，三角形外角的性质；
（1）延长至，使 ，连接，于是证得得，再根据三角形三边之间的关系得，由此可得AE的取值范围；
（2）根据（1）证明，由此可证明和全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论．
【小问1详解】
延长至，使 ，连接．
则
是的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，，
，
，
故答案为：，
【小问2详解】
∵
，，
，，
．
在与中，
，
，
．
，
．
22. 如图，ΔABC中，，，，且满足.
(1)于，交轴于，求点坐标；
(2)过点作于，交于，若，求的长；
(3)为第一象限一点，交轴于.在上截取，为的中点，求的度数.
【答案】（1）M(0,2)；（2）AN=4；（3）∠OPF=45°.
【解析】
【分析】（1）先由条件推出△AOC是等腰直角三角形，再推出△BOM是等腰直角三角形，根据OB=2，得出OM=2，即可得出M的坐标；
（2）由等角的余角相等可得∠BCO=∠OAN=30°，再判定△BOC≌△NOA（ASA），得到BC=NA，再根据Rt△BOC中，BC=2BO=4，即可得AN=4；
（3）连接OF，把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处，连接DP，由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，再判定△PEF≌△PAD，得出PF=PD，∠FPE=∠DPA，进而判定△OPF≌△OPD，即可出结果.
【详解】(1)由题可得，a−c≥0，c−a≥0，
∴a=c，即OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAD=45∘，
又∵BD⊥AC，
∴∠ABD=45∘，
又∵∠BOM=90∘，
∴△BOM是等腰直角三角形，
∴OB=OM，
∵，且a=c，
∴b=−2，即OB=2，
∴OM=2，
∴M(0,2)；
(2)∵∠CAN=15°,∠OAC=45°,
∴∠OAN=30°，
∵AG⊥BC，CO⊥AO，
∴∠CNG+∠BCO=90°，∠ANO+∠OAN=90°，
∵∠ANO=∠CNG，
∴∠BCO=∠OAN=30°，
在△BOC和△NOA中，
∴△BOC≌△NOA(ASA)，
∴BC=NA，
又∵Rt△BOC中，∠BCO=30°，
∴BC=2BO=4，
∴AN=4；
(3)如图3,连接OF,把△OCF绕点O顺时针旋转90°至△OAD处,连接DP,
由旋转可得，AD=CF=EF，∠OCF=∠OAD，OF=OD，
∵∠AOQ+∠APQ=180°，
∴∠OAP+∠OQP=180°，
又∵∠EQC+∠OQP=180°，
∴∠OAP=∠EQC，
∴∠PEF=∠PAD，
在△PEF和△PAD中，
∴△PEF≌△PAD(SAS)，
∴PF=PD，∠FPE=∠DPA，
∴∠FPD=∠QPA=90°，
∵在△OPF和△OPD中，
∴△OPF≌△OPD(SSS)，
∴∠OPF=∠OPD=∠FPD=45°.
【点睛】本题考查全等三角形的综合问题，掌握全等三角形的判定和性质，利用旋转的性质构造全等三角形是解决本题的关键.
23. 【问题背景】
如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，试探究线段之间的数量关系．
【初步探索】
小亮同学认为：延长到点G，使，连接，先证明，再证明，则可得到之间的数量关系是 ________________．
【探索延伸】
如图②，在四边形中，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由．
【结论运用】
如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】[初步探索]：；[探索延伸]：结论仍然成立，理由见解析；[结论运用]：210海里．
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
（2）延长到，使，连接，证明，继而得到，再判定可得，继而得到本题答案；
（3）连接，延长、交于点，可得，再得，继而得到本题答案．
【详解】解：[初步探索]：；理由如下：
，，
，
在和中，
，
∴，
，，
，
，
，
在△和△中，
，
∴，
，
，
，
故答案为：；
[探索延伸]：结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长到，使，连接，
，
，，
，
在和中，
，
∴
，，
，
，
，
和中，
，
∴，
，
，
；
[结论运用]：如图3，连接，延长、交于点，
，
，，
，
，，
符合探索延伸中条件，
结论成立，
即海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
课题
测量河两岸A、B两点间距离
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量方案示意图
测量步骤
①在点所在河岸同侧的平地上取点和点，使得点、、在一条直线上，且；
②测得；
③在的延长线上取点E，使得；
④测得的长度为30米．