河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学A期中测试题（解析版）-A4

这是一份河北省石家庄市2024-2025学年上学期九年级数学A期中测试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了答案请用黑色钢笔或签字笔填写等内容，欢迎下载使用。
·九上第23~26章·
注意事项：
1．本试卷共8页，三个大题，总分120分，考试时间120分钟．
2．答题前请将装订线左侧的项目填写清楚．
3．答案请用黑色钢笔或签字笔填写．
一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 关于方程是一元二次方程，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为的形式，则这个方程就为一元二次方程．
【详解】解：若关于x的方程是一元二次方程，则．
故选：B．
2. 若，则下列比例式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了比例的基本性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．据此对各选项分析即可．
【详解】解：A．由得，故不符合题意；
B．由得，故不符合题意；
C．由得，符合题意；
D．由得，故不符合题意；
故选：C．
3. 在中，，若将三边长度都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（ ）
A. 不变B. 扩大5倍C. 扩大25倍D. 缩小为原来的
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三角函数，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．根据三角函数的定义进行判断即可得．
【详解】解：如图，在中，，
将三边长度都扩大5倍后，，即锐角的正弦值不变，
同理可得：锐角的余弦值和正切值也都不变，
故选：A．
．
4. 2024年河北某地9月2日至9月8日的最高气温（）如下表：
则这7天最高气温的中位数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”，熟练掌握中位数的定义是解题关键．根据中位数的定义求解即可得．
【详解】解：将这组数据从小到大进行排序为，
则这7天最高气温的中位数是29，
故选：C．
5. 已知图中有两组三角形，其边长和角的度数已在图上标注．对于各组中的两个三角形，下列说法正确的是（ ）
A. ①组和②组的两个三角形都相似B. ①组和②组的两个三角形都不相似
C. 只有①组的两个三角形相似D. 只有②组的两个三角形相似
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．
根据相似三角形的判定去判断两个三角形是否相似即可．
【详解】解：在图①中：第一个三角形三个角分别为：，，；第二个三角形的两个角分别为：，；故根据两个角分别相等的两个三角形相似，得两个三角形相似；
在图②中：，，
∴，
∵，
∴，
故①组和②组的两个三角形都相似．
故选：A．
6. 某同学用计算器计算30个数据的平均数时，错将其中一个数据108错输成18，则由此求出的平均数与实际平均数的差是（ ）
A. 3.6B. 3C. 0.6D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．设输入正确的29个数的和为，根据平均数的计算公式可得求出的平均数与实际平均数，由此即可得．
【详解】解：设输入正确的29个数的和为，
则实际平均数为，求出的平均数为，
所以求出的平均数与实际平均数的差是，
故选：D．
7. 在平面直角坐标系中，若一次函数的图象如图所示，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象、一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键．先根据一次函数的图象可得，再利用一元二次方程的根的判别式求解即可得．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点位于轴的负半轴，
∴，
∴关于的方程是一元二次方程，它的根的判别式为，
∴这个方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，若点A，B，C都在格点上，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形和勾股定理及其逆定理，能求出是解此题的关键．根据已知图形得出，再根据正切的定义求解即可．
【详解】解：如图，取格点D，连接，
由勾股定理得：，，
∴，
，
．
故选：D．
9. 有一个正数a，a与1的和乘以a与1的差仍得a，则（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，根据题意列出方程求解即可
【详解】解：依题意得：，
整理得：，
解得：（舍去）
故选：B
10. 一种燕尾夹如图1所示，图2是在闭合状态时的示意图，图3是在打开状态时的示意图（此时），相关数据如图（单位：cm）．从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
【答案】B
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】解：连接，如图所示：
由题意得，，，
∴，
，
，
，
点，之间的距离减少了，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键．
11. 某同学进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：），此时这组成绩的平均数是，方差是若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则正确的是（ ）
A. B. C. D. 无法比较与的大小
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
根据方差公式，结合题中数据代值求解即可得出结论．
【详解】解：设这组数据为前9个数分别为，，，，，
由题意可知，
，
根据方差越小越稳定，即前九次波动较大，
∴，
故选：C．
12. 题目：“在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，点绕着点顺时针旋转（其中）到点，连接、．当为直角三角形时，求点到轴的距离的值．”对于其答案，甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（ ）
A. 只有甲答对B. 甲、丙答案合在一起才完整
C. 甲、乙答案合在一起才完整D. 三人答案合在一起才完整
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了点坐标与图形、勾股定理、旋转的性质，正确分两种情况讨论是解题关键分和两种情况，当时，又分点在第四象限和第二象限两种情况；当时又分点在第四象限和点绕点顺时针旋转回到点的位置时．
【详解】解：点，的坐标分别为，
，，，
如下图所示，当时，
由旋转可知，
，
，，
在和中，
，
，
轴，
，
，
过点作轴，则，
，
点与轴的距离是；
如下图所示，当，且点在第四象限时，
由旋转可知，
，
，，
轴，
，
过点作轴，则，
，
，
，
，
点与轴的距离是；
如下图所示，当，且点在第二象限时，
由旋转可知，
，
，，
，
过点作轴，则，
，
，
，
，
点与轴的距离是；
当点绕点顺时针旋转时，
点与点重合，此时为直角三角形，
此时点与轴的距离是．
综上所述，当为直角三角形时，求点到轴的距离为或或．
故选：D．
二、填空题（本大题共4个小题，每题3分、共12分．把答案写在题中横线上）
13. 一元二次方程的解是_________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程 ，解题的关键是能够熟练掌握解一元二次方程的方法．
解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点先去括号和移项，然后运用因式分解法即可解答．
【详解】解：
∴或
∴，．
14. 嘉淇本学期的数学测试成绩如表，如果规定平时成绩、期中成绩、期末成绩按照计算得出总成绩，则本学期嘉淇的数学总成绩为_________分．
【答案】86
【解析】
【分析】本题考查了加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算公式计算即可得．
【详解】解：本学期嘉淇的数学总成绩为（分），
故答案为：86．
15. 如图是一把圆规的平面示意图、是支撑臂，是旋转臂，已知．若支撑臂与旋转臂的夹角，则A，B之间的距离为_________．（用含m，的式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，正确作出辅助线．
先作于点C，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出，
【详解】解：作于点C，如图，
，
，
∵，
∴平分，点C平分，
∵，
∴，
在中
∴，
∴，
故答案为：．
16. 某单位现有一块形状为三角形的建筑用地，其中．现该单位要求施工方将扩建成一个正方形用地（周围有足够的用地）、要求原来位于A、B，C三个顶点的三棵树在正方形的边上，如图是施工方设计的一种方案，则扩建后的正方形用地的边长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确找出两个相似三角形是解题关键．先利用勾股定理求出，再证出，根据相似三角形的性质可得，然后设，则，，在中，利用勾股定理求出的值，由此即可得．
【详解】解：如图，∵，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
则扩建后的正方形用地的边长为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解决下面问题．
（1）解方程：；
（2）计算：．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程和特殊角三角函数值的相关计算，掌握因式分解法和特殊角的三角函数值是解题的关键．
（1）运用因式分解法求解即可；
（2）将特殊角的三角函数值代入计算即可．
【小问1详解】
解：移项得：，
因式分解得：，
∴或，
∴，；
【小问2详解】
．
18. 已知．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）
（2）12
【解析】
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
（1）设，则，代入计算即可得；
（2）设，则，代入计算可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得．
【小问1详解】
解：设，则，
则．
【小问2详解】
解：设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴．
19. 如图，在正方形网格中，与的顶点都在格点上，并且这两个三角形是以点O为位似中心的位似图形．
（1）在正方形网格中画出点O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）以点A为位似中心，在点A的左侧直接画出与位似的，使与的位似比为．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】本题考查了位似图形、找位似中心，熟练掌握位似图形的画法是解题关键．
（1）根据位似中心是每一组对应点所连直线的交点解答即可；
（2）先分别画出对应点，再顺次连接即可得．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求．
．
【小问2详解】
解：如图，即为所求．
．
20. 嘉嘉、淇淇参加了跳远项目的选拔测试（满分10分），其中成绩是8分（包括8分）以上为优秀，两人试跳10次的成绩情况如下（共中统计表的部分数据缺失）：
（1）通过计算求出表中缺失的数据，写出计算过程；
（2）若按优秀率高的人被选拔，直接判断嘉嘉、淇淇谁会被选拔？___________；
（3）若被选拔者为淇淇，请你设置一个选拔的规则（写出一种即可），并说明理由．【注意：方差】
【答案】（1）填表见解析
（2）嘉嘉 （3）成绩稳定的被选拔，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查平均数，中位数，方差，解题的关键是掌握平均数、中位数及方差的定义和意义．
（1）根据平均数、中位数及方差的定义求解即可；
（2）根据优秀率的大小求解即可；
（3）根据方差的意义可得．
【小问1详解】
嘉嘉成绩为2、4、6、8、7、7、8、9、9、10，
·其成绩的平均数为
淇淇成绩为3、6、6、7、7、7、8、8、9、9，
所以其成绩的中位数为(分)，
方差为
故答案为：7，7，
【小问2详解】
嘉嘉成绩中成绩是8分（包括8分）以上有8、8、9、9、10；
∴优秀率为，
淇淇成绩中成绩是8分（包括8分）以上有8、8、9、9
∴优秀率为，
所以嘉嘉会被选拔，
故答案为：嘉嘉；
【小问3详解】
成绩稳定的被选拔，理由如下：
两人的平均成绩相等，说明实力相当；但淇淇成绩的方差比嘉嘉小，说明淇淇发挥较为稳定，
故淇淇被选拔．
21. 如图，在中，于点D，．
（1）求的长；
（2）求的面积．
【答案】（1）
（2）432
【解析】
【分析】本题考查了正切、勾股定理，熟练掌握正切的定义是解题关键．
（1）根据正切的定义求解即可得；
（2）先利用勾股定理可求出的长，从而可得的长，再利用三角形的面积公式求解即可得．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴的面积为．
22. 玩具店销售一款单个成本价为40元的小汽车玩具，每天的销售单价与销售数量之间的关系如下表：
设这款小汽车玩具的售价为x元/个．
（1）请直接用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)，并求当时的日销售利润；
（2）若设定日销售利润为（1）中所得的日销售利润，玩具店想尽快销售完该款商品，求每个小汽车的售价．
【答案】（1），利润为400元
（2）每个小汽车的售价为50元
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系，并列式或方程是解题的关键．
（1）根据依题可知，售价每增加2元，销量减少4个，以售价58元销量为24为基础列式可得y与x的关系式，根据总利润等于单个利润乘以销量计算利润；
（2）根据“日销售利润为（1）中所得的日销售利润”列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：依题意得：售价每增加2元，销量减少4个，
∴销售量．
由表格可知，时，，
(元)，
答：用含x的代数式表示每日的销售量y(单位：个)为，并当时的日销售利润为400元；
【小问2详解】
依题意得：，
解得：．
∵尽快销售完该款商品，
∴价格要低，销量会更多，
∴，
答：每个小汽车的售价为50元．
23. 如图，甲在楼房上的点N处测得斜坡l的坡底点A的俯角为，乙在楼房顶端点M处测得斜坡l上的点B处的俯角为，点B到地面m的距离为．
（1）求斜坡l的坡度；
（2）求点M与点N的高度差．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
（1）过点作于点，利用勾股定理可得的长，再根据坡度的定义求解即可得；
（2）过点作于点，作于点，则，，再解直角三角形可得长，然后根据求解即可得．
【小问1详解】
解：如图，过点作于点，
∵点到地面的距离为，
∴，
∵，
∴，
则斜坡的坡度为．
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，作于点，
则四边形是矩形，
∴，，
由题意可知，，
∴，，
∴，
答：点与点的高度差为．
24. 如图，在矩形中，，，直角三角板的直角顶点在上滑动，点与，不重合，一直角边经过点，另一直角边与射线交于点．
（1）求证：∽；
（2）当时，求的长；
（3）是否存在这样的点，使的周长等于周长的倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）详见解析
（2）8 （3）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质，推出，再由直角三角形的性质，得出，又因，推出，，从而证明∽；
（2）根据含角的直角三角形的性质和勾股定理可得结论；
（3）假设存在满足条件的点，设，则，由∽知，解得的值，从而得结论．
【小问1详解】
证明：四边形是矩形，
，
，
又，
，
，
∽；
【小问2详解】
解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
中，，
；
【小问3详解】
解：假设存在满足条件的点，
设，则，
∽，
根据的周长等于周长的倍，得到两三角形的相似比为，
，即，
解得，
，
．
日期
2日
3日
4日
5日
6日
7日
8日
最高气温
27
32
27
28
29
29
29
测试类别
平时
期中
期末
得分/分
80
85
90
平均数/分
中位数/分
方差
嘉嘉

7
淇淇
7


平均数/分
中位数/分
方差
嘉嘉
7
7
淇淇
7
7
售价/元
58
60
62
64
销量/个
24
20
16
12