黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省哈尔滨市虹桥初级中学校2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试卷（解析版）-A4，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数是，
故选：C．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘除法法则，幂的乘方逐个判断即可得到答案；
【详解】解：，故A错误，
，故B正确，
，故C错误，
，故D错误，
故选：B；
【点睛】本题考查合并同类项法则，同底数幂乘法法则，幂的乘方，解题的关键是熟练掌握，，，．
3. 下列图形中，是轴对称图形又是中心对称图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握概念是解题的关键．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
4. 如图，已知A,B均为圆O上一点，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：A,B均为圆O上一点，，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理，熟知“圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半”是解题的关键．
5. 如图，点是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，则的度数是（ ）
A. 90°B. 30°C. 45°D. 60°
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转的性质和正方形的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角．根据旋转的性质可得，，结合正方形的性质得出是等腰直角三角形，即可得答案．
【详解】解：∵点是正方形内一点，把绕点C旋转至的位置，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴．
故选：C．
6. 如图，的直径过弦的中点G，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查垂弦定理、圆心角与圆周角的关系，根据垂径定理可得出两弧相等，然后根据等弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出结论即可．
【详解】解：∵的直径过弦的中点G，
∴，
∴，
,
∴.
故选D．
7. 在中，，，，则AC的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据正弦函数的定义即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
故选：D．
8. 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD，∠C=40°．则∠ABD的度数是（ ）
A 30°B. 25°C. 20°D. 15°
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵AC为切线，
∴∠OAC=90° ，
∵∠C=40°，
∴∠AOC=50°，
∵OB=OD ，
∴∠ABD=∠ODB ，
∵∠ABD+∠ODB=∠AOC=50°，
∴∠ABD=∠ODB=25°．
故选B
9. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD＝1，OC＝5，则弦AB的长是（ ）
A. 3B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】连接AO，得到直角三角形，再求出OD的长，就可以利用勾股定理求解．
【详解】解：连接AO，
∵CD＝1，OC＝5，
∴OD＝5﹣1＝4，
根据勾股定理，
AD＝＝＝3，
∴AB＝3×2＝6，
因此弦AB的长是6．
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用. 能求出AB=2AD和AD的长是解题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦.
10. 如图，在中，点E是AB上任意一点，过点E作EFBC交CD于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点H，则下列结论中错误的是（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质与相似三角形的判定与性质即可依次判断．
【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，EFBC，
∴AD＝EF＝BC，AE＝DF，BE＝CF．
A、∵ADCH，
∴△ADF∽△HCF，
∴，即，结论A正确；
B、∵ABCD，
∴△ABH∽△FCH，
∴，即，结论B正确；
C、∵ADBH，
∴△ADF∽△HBA，
∴，即，结论C正确；
D、∵AECF，EFCH，
∴△FCH∽△AEF，
∴，即，结论D错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性以及平行四边形的性质，根据相似三角形的性质逐一分析四个结论的正误是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共30分）
11. 将0.0000000927用科学记数法表示为_________．
【答案】
【解析】
【分析】根据科学记数法定义处理：把一个绝对值小于1的数表示成，其中，n等于原数第一个不为零的数字前零的个数．
【详解】解： ；
故答案为：
【点睛】本题考查科学记数法表示数，熟练掌握科学记数法的定义是解题的关键．
12. 函数y=中，自变量x的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由题意得，，
解得．
13. 计算：_____．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．
14. 多项式分解因式的结果是____．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式a，再利用平方差公式（）因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】本题考查综合运用提公因式法和公式法因式分解．一个多项式如有公因式首先提取公因式，然后再用公式法进行因式分解．如果剩余的是两项，考虑使用平方差公式，如果剩余的是三项,则考虑使用完全平方公式．同时，因式分解要彻底，要分解到不能分解为止．
15. 不等式的解集是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】分别求解①②即可．
【详解】解：
由①得：
由②得：，解得：
故不等式的解集为：
故答案为：
【点睛】本题考查求解一元一次不等式组．注意计算的准确性．
16. 一个扇形的弧长是，半径是6cm，则此扇形的圆心角是______度．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查弧长公式，利用弧长公式列方程求解即可．掌握弧长公式是解题的关键．
【详解】解：设扇形的圆心角为．
由题意得：，
解得：．
故答案为：90．
17. 如图，在中，，点在上，将沿直线AD翻折后，点落在点处，边与边相交于点，如果，那么的大小是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，由平行线的 性质可得，，由折叠的性质可得，进而即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
由折叠得，，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 如图，是的一条弦，，垂足为点C，交于点D，点E在上，，，则弦的长是______．

【答案】
【解析】
【分析】根据垂径定理得到，结合得到，结合三角函数直接求解即可得到答案；
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查垂径定理，圆周角定理及勾股定理，解题的关键是得到．
19. 在矩形ABCD中，，点E、F在直线AD上，且四边形BCFE菱形，连接CE，则_________．
【答案】3或
【解析】
【分析】分类讨论当点在AD的延长线上、在的延长线上即可求解．
【详解】解：由题意得：
如图，当点在AD的延长线上时：

∴
∴
如图，当点在的延长线上时：

∴
∴
故答案为：3或
【点睛】本题考查了求一个角的正切值以及勾股定理．熟记相关定义是解题关键．
20. 等腰中，，，D为的中点，交射线于E，若，则线段的长为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、相似三角形、等腰三角形的性质、三角形全等的判定及性质，作交于，交于，利用等腰三角形的性质及锐角三角形函数可得，利用可得，进而可得，则可得即可求解，添加辅助线，构造直角三角形及全等三角形是解题的关键．
【详解】解：作交于，交于，如图：
等腰中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
D为的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：2．
三、解答题：（21、22每题7分，23、24每题8分，25、26、27每题10分，共60分）
21. 先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】分别化简代数式和的值，代入计算．
【详解】解：原式．
，
原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊三角函数的值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则．
22. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，的三个顶点均在小正方形的顶点上．
（1）在图①中画（点在小正方形的顶点上），使的周长等于的周长，且以，，，为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中画（点在小正方形的顶点上），使的周长等于的周长，且以，，，为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）图见解析，该四边形的面积为
【解析】
【分析】本题考查了作图，轴对称和中心对称，解题的关键是数形结合．
（1）利用轴对称的性质即可作图；
（2）利用中心对称的性质作图即可，利用平行四边形的面积求法可求出该四边形的面积．
【小问1详解】
解：如图，即为所求，
【小问2详解】
如图，即为所求．
该四边形的面积为：．
23. 某市积极开展“阳光体育进校园”活动，各校学生坚持每天锻炼一小时．某校根据实际，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，C：跑步，D：跳绳四种运动项目．为了解学生最喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成如下统计图．请你结合图中信息解答下列问题．
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）已知该校有1200人，请根据样本估计全校最喜欢乒乓球的学生有多少名．
【答案】（1）本次调查共抽取100名学生
（2）补图见解析 （3）估计全校最喜欢乒乓球的学生有528名
【解析】
【分析】（1）根据喜欢乒乓球的学生人数为44人，占调查学生的44%求出被测调查学生的人数即可；
（2）计算出喜欢足球的人数，然后补全条形统计图即可；
（3）用1200乘以喜欢乒乓球的学生的百分比，即可求出结果．
【小问1详解】
解：（名）
答：本次调查共抽取100名学生．
【小问2详解】
解：喜欢足球的学生人数为：100－44－8－28＝20（名），补全条形统计图，如图所示：
【小问3详解】
解：（名）
答：估计全校最喜欢乒乓球的学生有528名．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24. 如图1，已知．以为边向形外作等边三角形，连接．

（1）求证：；
（2）如图2，若，点H为的中点，连接，请直接写出与全等的所有三角形．
【答案】（1）见解析 （2）；；；
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，推出，证明，即可得到；
（2）根据直角三角形30度角的性质得到，再根据直角三角形斜边中线得到，进而证明三角形全等．
【小问1详解】
证明：和都是等边三角形，
∴，
，
，
，
；
小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∵点H为的中点，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
∴与全等的所有三角形有；；；．
【点睛】此题考查了等边三角形性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线性质及直角三角形30度角的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
25. 某学校计划从商店购买测温枪和洗手液，已知购买一个测温枪比购买一瓶洗手液多用20元，若用400元购买测温枪和用160元购买洗手液，则购买测温枪的个数是购买洗手液个数的一半．
（1）求购买一个测温枪、一瓶洗手液各需要多少元；
（2）经商谈，商店给予该学校购买一个测温枪赠送一瓶洗手液的优惠，如果该学校需要洗手液个数是测温枪个数的2倍还多8个，且该学校购买测温枪和洗手液的总费用不超过670元，那么该学校最多可购买多少个测温枪？
【答案】（1）购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元
（2）该学校最多可购买21个测温枪
【解析】
【分析】（1）设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，根据用400元购买测温枪的数量是用160元购买洗手液的一半，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，根据总价单价数量结合总价不超过670元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
设购买一瓶洗手液需要元，则购买一个测温枪需要元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：购买一个测温枪需要25元，购买一瓶洗手液需要5元．
【小问2详解】
设该学校购买个测温枪，则购买瓶洗手液，
依题意，得：，
解得：．
答：该学校最多可购买21个测温枪．
【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26. 已知为的弦，连接，且．
（1）如图，求证：平分；
（2）如图，点为上一点，连接交于点E，若，作，垂足为，延长交CD于点，延长交CE于点，求证：；
（3）如图，在（）的条件下，若，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）证明即可；
（2）连接BD，先证明，则，可得，，故，由，得，即，故；
（3）延长交于点，连接，过点作，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，设，则 ，可证明，则，可证明，则，，故四边形是平行四边形，证明,则，可证明四边形为平行四边形，则，在四边形中，可知，则，在中，由内角和定理得，故，则，同上可得，则，，而，故，设，则，则，此时，在中，由勾股定理得，而，则在中，由即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∴平分；
【小问2详解】
证明：如图，连接BD，
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴；
【小问3详解】
解：延长交于点，连接，过点作，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴,
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
在四边形中，可知，
∴，
∴在中，由内角和定理得，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同上可得，
∴，，
∵，
∴，
设，则，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴；
∵，
∴在中，．
【点睛】本题考查了圆与三角形，四边形的综合题目，难度很大，涉及圆周角定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，三角函数等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解决本题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，．
（1）如图1，求的值；
（2）如图2，点在上，点在上，连接、，且，过点作的垂线，垂足为点，设点的横坐标为，，线段的长为，求与之间的函数关系式；
（3）如图3，在（2）的条件下，点关于轴的对称点为，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在上，连接，点是的中点，连接，当时，求的面积．
【答案】（1）
（2）（）
（3）
【解析】
【分析】（1）分别令，，可用表示，根据，利用勾股定理列方程求出值即可；
（2）根据，利用的正弦函数值得出，过点作轴于，轴于，根据含角的直角三角形的性质及等腰三角形“三线合一”的性质，用表示出、，利用勾股定理表示出即可得答案；
（3）过点作轴于，连接并延长，交于，连接，根据旋转的性质及轴对称的性质得出是等边三角形，，，根据中位线的性质得出，，利用证明得出，利用证明，得出，，根据含角的直角三角形的性质得出，即可求出，根据列方程求出值，利用三角形面积公式即可得答案．
【小问1详解】
解：∵直线交轴于点，交轴于点，
∴当时，，
当时，，
解得：，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∵一次函数图像经过一、二、三象限，
∴．
【小问2详解】
解：如图，过点作轴于，轴于，
则四边形是矩形，
∴；
由（1）可知，
∴直线的解析式为，
∴设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴．
【小问3详解】
解：如图，过点作轴于，过H作轴于点D，连接并延长，交于，连接，
∵点关于轴的对称点为，
∴，
∴垂直平分线，，
∵，
∴，，
∵点是的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，，
∴是等边三角形，，，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在上，
∴，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（2）可知，，，
∴，
∵，
∴，即，
解得：，，
∵，
∴，
∴．