陕西省西安市交大附中航天学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市交大附中航天学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
命题人：吉春宁 审题人：
本试题共4页，3道大题。考试时长100分钟，试卷满分120分。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义“形如的函数叫做二次函数”进行判断即可．
【详解】解：A、是二次函数，故本选项符合题意；
B、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C、右边是分式，不是二次函数，故本选项不符合题意；
D、是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
故选：A．
2. 如图是一个空心圆柱体，其主视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从前面看所得到图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从前面观察物体可以发现：它的主视图应为矩形，
又因为该几何体为空心圆柱体，故中间的两条棱在主视图中应为虚线，
故选：B．
【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图；注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．
3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则tanA的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角函数的定义即可求得tanA的值．
【详解】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，
∴tanA ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正切，掌握tanA=（a为∠A的对边，b为∠A的邻边）是关键．
4. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象的开口向下B. 函数图象的顶点坐标是
C. 该函数有最大值，最大值是5D. 当时，y随x的增大而增大
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线的表达式和函数的性质逐一求解即可．
【详解】解：对于y=（x-1）2+5，
∵a=1>0，故抛物线开口向上，故A错误；
顶点坐标为（1，5），故B错误；
该函数有最小值，最小值是5，故C错误；
当时，y随x的增大而增大，故D正确，
故选：D．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
5. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．
【详解】解：∵，
∴，
A、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
B、添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；
C、添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；
D、添加，不能判定，故本选项符合题意；
故选：D．
6. 如图，四边形内接于，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据圆内接四边形的两个对角互补求得，再根据圆周角定理得到即可求解．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∴，
故选：A．
7. 如图，在中，，D是的中点，过D点作的垂线交于点E，， ，则的长为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解求出，再解得出，最后根据勾股定理列方程即可求解．
【详解】解：在中，，，
，
D是的中点，
，
，，
，
，
，
解得或（舍），
故的长为，
故选C．
【点睛】本题考查解直角三角形、勾股定理，难度较小，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义．
8. 在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和一次函数的图象，熟悉两函数中k的符号对函数图象的影响是解题的关键．
【详解】解：①当时，过一、三、四象限；位于一、三象限；
②当时，过一、二、四象象限；位于二、四象限．
观察图形可知，只有D选项符合题意．
故选D．
9. 一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦长20厘米，弓形高为2厘米，则镜面半径是（ ）

A. 24厘米B. 26厘米C. 28厘米D. 30厘米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查垂径定理和勾股定理求线段长，令圆半径为，则，根据勾股定理求出，进而求出半径．
【详解】解：如图，由题意，得垂直平分，
厘米，
令圆的半径为，则，
在中，，
，
解得．
故选：B．

10. 在平面直角坐标系中，二次函数（为常数）的图象经过点，其对称轴在轴右侧，则该二次函数有（ ）
A. 最小值2B. 最小值C. 最小值1D. 最小值
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得到且，进而求得m值和函数关系式，再求得最小值即可．
【详解】解：由题意，二次函数的图象开口向上，有最小值，
∵图象经过点，其对称轴在轴右侧，
∴且，
∴或（舍去），
∴，
∴该二次函数有最小值，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 中心角为的正多边形的边数为______.
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查正多边形的中心角，根据正n多边形的中心角为求解即可．
【详解】解：中心角为的正多边形的边数为，
故答案为：6．
12. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上，且，若的周长为，则的周长为______cm.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似图形的性质，掌握位似图形与相似图形的关系，熟记相似图形的性质是解决问题的关键．
【详解】∵和是以点为位似中心的位似图形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在扇形OAB中，，则的长为______cm．
【答案】##
【解析】
【分析】利用弧长公式，代入数值计算即可．
【详解】解：由题意得的长＝＝(cm)，
故答案为：
【点睛】此题考查了弧长，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
14. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次不等式的解集为______________________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的对称性求出二次函数图象与轴的另一个交点，再写出x轴下方部分的x的取值范围即可．
【详解】由图可知，对称轴为直线，
所以，二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为（，0），
由图象可知：函数值大于0的的取值范围为：，
所以，的解集为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，主要利用了二次函数的对称性以及数形结合的思想，难点在于先求出函数图象与轴的另一个交点坐标．
15. 如图，已知的顶点分别在反比例函数和的图像上，且轴．若的面积为3，则___________．

【答案】
【解析】
【分析】根据题意，设，则，再由轴．若的面积为3，利用平面直角坐标系中三角形面积的求法列方程求解即可得到答案．
【详解】解：的顶点分别在反比例函数和的图像上，
设，则，
轴．若的面积为3，
，解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与三角形综合，涉及反比例函数图像与性质、平面直角坐标系中三角形面积的求法及解方程等知识，熟练掌握平面直角坐标系中三角形面积的求法是解决问题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，顶点为，点为抛物线对称轴上一点，连接、．当是直角三角形时，点坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，理解题意是关键．先根据对称轴求得a值，进而求得函数关系式和顶点坐标，分和分别求解即可．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，则，
∴，
当时，，
∴，
设对称轴与x轴的交点为E，则，
当是直角三角形时，有两种情况：
当时，点P为对称轴与x轴的交点E，则；
当时，如图，
∵，
∴，又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
综上，当是直角三角形时，点P坐标为或，
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8小题，共计66分）
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数的运算特殊角的三角函数值，零次幂的含义，熟练掌握零次幂，特殊角的正弦值以及负指数幂的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
．
18. 如图，在中，，在边上找一点，使得以为圆心的圆分别与、相切.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查尺规作图-作圆，涉及到角平分线的性质和圆的切线的判定，作的平分线交于O，根据角平分线的性质得到点O到的距离等于，以点O圆心，长为半径作圆O，根据切线的判定可得圆O与相切，则圆O即为所求．
【详解】解：如图，圆O即为所求作：
19. 如图，点，在线段上，，，求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查相似三角形的判定，根据平行线的性质推出，根据两组对应边成比例夹角相等即可证明，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
【详解】证明：∵，
，
，
．
20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，
（1）求反比例函数的表达式；
（2）已知点为反比例函数图象上一点，，求点的坐标.
【答案】（1）
（2）点或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
（1）先把点代入，求出值，再用待定系数法求出的值即可；
（2）先求出和长，利用，列出方程进行求解即可．
【小问1详解】
由题意，将代入中，
∴．
∴．
∴．
将代入反比例函数，
∴，
∴反比例函数的解析式为．
【小问2详解】
对于，
当时，，
∴，
∵，
∴，过点A作轴于点H，过点P作轴于点D，
∵，
∴，
即，
解得，
∴点P的纵坐标为或，
将代入得：，
或代入得，
∴点或．
21. “游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）

【答案】
【解析】
【分析】延长，交的延长线于点C，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．
【详解】解：延长，交的延长线于点C，
则

由题意得，，，
在中，，
则
∴，
在中，，
解得，
∴奇楼的高度约为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．
22. 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离地面的距离为.
（1）按如图所示的直角坐标系，求该抛物线的函数表达式.
（2）一大型汽车装载某大型设备后，高为，宽为，如果该隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
【答案】（1）
（2）这辆货车能安全通过
【解析】
【分析】本题考查了利用待定系数法确定二次函数解析式和二次函数在实际生活中的应用，掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
（1）用待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把代入求出函数值和车的高度作比较即可解题．
【小问1详解】
解：由题意得：设该抛物线的表达式为，又知抛物线过点，
所以，
解得，
∴；
【小问2详解】
根据题意，把代入解析式，得．
∵，
∴这辆货车能安全通过．
23. 如图，为的直径，E为上一点，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点D，延长交的延长线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质以及平行线的性质和判定，得出即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，勾股定理即可求出直径的长，进而求出半径即可．
小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵点C是的中点，即，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
∴的半径为5．
【点睛】本题考查切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形，掌握切线的判定与性质，圆周角定理，等腰三角形的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
24. 【直接运用】（1）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于，是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______.
【构造运用】（2）如图2，在平行四边形中，，，，点、点分别为、的中点，点在边上运动，将沿折叠，使得点落在处，连接，点为中点，求的最小值.
【灵活运用】（3）如图3，已知正方形的边长为6，点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，连接和交于点，则点到点的最短距离，并说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）找到的中点，当点在同一直线上时，的值最小，即可得解；
（2）连接，，由三角形中位线定理可得，则当最小时，最小，由折叠的性质可得：，从而得到点在以为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内部，由，可得当、、共线时，最小，即为的值，作于，求出，，再由勾股定理可得，即可得出答案；
（3）取的中点，连接、、，由题意得，证明得到，证明出，得到点在以为直径的上运动，由勾股定理计算出，再由，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图，取的中点，连接，
，
则当点在同一直线上时，的值最小，
，
，
由勾股定理得：，
的最小值，
故答案为：；
（2）如图，连接，，
，
点为的中点，点为的中点，
为的中位线，
，
当最小时，最小，
为的中点，四边形为平行四边形，
，
由折叠性质可得：，
点在以为圆心，以为半径的圆上运动，且点在平行四边形内部，
，
当、、共线时，最小，即为的值，
作于，
四边形为平行四边形，，
，
，
，，
，
的最小值，
的最小值；
（3）如图，取的中点，连接、、，
，
点、分别从点、同时出发，以相同的速度沿边、方向向终点和运动，
，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
点在以为直径的上运动，
，
，
，
的最小值为，
点到点的最短距离为．