陕西省西安市蓝田县2023-2024学年八年级上学期月考（二）数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市蓝田县2023-2024学年八年级上学期月考（二）数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在实数、、、中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数是无限不循环小数．根据无理数的定义进行判断即可．
【详解】解：在实数、、、中，是无理数的是．
故选：D．
2. 如图，分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆，图中的字母是它们的面积其中，，则为（ ）
A. 8πB. 4πC. 16πD. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆的面积公式和勾股定理求出，然后进行计算即可．
【详解】解：由题意得：，，，
∵在Rt△ABC中，，
∴，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．
3. 若中，，下列不能判定为直角三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断选项、、、是否符合题意，根据三角形内角和定理可以判断选项是否符合题意，本题得以解决．
【详解】解：A、，，，则，故不是直角三角形，选项符合题意；
B、当时，设，，，则，故是直角三角形，选项不符合题意；
C、由整理得：，故是直角三角形，选项不符合题意；
D、由，可知，故是直角三角形，选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，解题的关键是会用勾股定理的逆定理判断三角形的形状．
4. 勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（ ）
A. 54B. 60C. 100D. 110
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可．
【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可证，
∴，
∴．
空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和．
故选：B．
5. 如果一个正数x的平方根是和，那么x的值是（ ）
A. B. 7C. D. 49
【答案】D
【解析】
【分析】依据平方根的性质列出关于a的方程可求得a的值，然后依据平方根的定义求解即可．
【详解】解：∵一个正数的x的平方根是和，
∴，
解得．
∴．
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查的是平方根的性质，求得a的值是解题的关键．
6. 下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②实数分为正实数和负实数：③立方根等于它本身的数是±1和0；④无理数都是无限小数；⑤平方根等于本身的数是1和0．正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用相关实数的性质分析得出答案．
【详解】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，故说法正确；
②实数分为正实数、负实数和零，故说法错误；
③立方根等于它本身的数有-1，0和1，故说法正确；
④无理数是开方开不尽的数，即无理数是无限不循环小数，也是无限小数，故说法正确；
⑤算术平方根等于本身的数是1和0，故说法错误；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数和实数与数轴，属于基础知识的考查，掌握相关概念或性质解答即可．
7. 如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（ ）

A. B. 25C. D. 35
【答案】B
【解析】
【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
【详解】解：只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图1，

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，，
在直角三角形中，根据勾股定理得：；
只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2，

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图3，

∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，
∴，
在直角三角形中，根据勾股定理得：
∴；
∵，
∴蚂蚁爬行的最短距离是25，
故选：B．
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短解答．
8. 如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC边上的高是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】先用勾股定理耱出三角形的三边，再根据勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形，最后设BC边上的高为h，利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.
解：由勾股定理得：
，，，
，即
∴△ABC是直角三角形，
设BC边上的高为h，
则，
∴.
故选A.
点睛：本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长，并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.
9. 已知实数a满足，则的值为（ ）
A. 2022B. 2023C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式求出a的范围，根据绝对值的性质计算即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：，
则，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10. 如图，在中，于点D，平分交于点E，交于点F．，则的长等于（ ）
A. 5B. 20C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角平分线性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理可得和的长，由角平分线定理可得，根据证明，可得，设，则，根据勾股定理列方程可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
由勾股定理得：，
过点E作于G，
∵平分，，
∴，
和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
中，，
，
∴．
故选：D．
二、填空题（共6小题）
11. 81的算术平方根是 _____．
【答案】9
【解析】
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【详解】解：81的算术平方根是：．
故答案为：9．
【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，正确把握算术平方根的定义是解题关键．
12. 比较大小：____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜
【解析】
【详解】∵为黄金数，约等于0.618，，显然前者小于后者．
或者作差法：，
所以，前者小于后者．
故答案为＜
13. 在中，，高，则的周长是 _____．
【答案】或##或
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当高在的内部时，当高在的外部时，结合勾股定理，即可求解．
【详解】解：当高在的内部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
当高在的外部时，如图，
在中，，
在中，，
∴，
此时的周长是；
综上所述，的周长是或．
故答案为：或
【点睛】此题考查了勾股定理的知识，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解，同学们思考问题一定要全面，有一定难度．
14. 已知实数a、b在数轴上对应点如图所示，化简：_____．

【答案】a
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可知，，再化简即可．
【详解】解：由数轴可知，，
∴，
∴
，
故答案为：a．
15. 如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块，已知米，米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是______米
【答案】
【解析】
【分析】解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．
【详解】
由题意可知，将木块展开，
相当于是AB+2个正方形的宽，
∴长为5+2×1=7米；宽为6米.
于是最短路径为：米.
故答案为.
【点睛】本题主要考查两点之间线段最短，有一定的难度，要注意培养空间想象能力.
16. 如图，等边，边长是8．点M、N分别是边、上的动点，且，点P是边上的动点，连接、．若，则线段的长为_____．

【答案】4
【解析】
【详解】过点P分别作于点D，于点E，于点G，根据三角形的面积证明，可得此时M，D重合，N、E重合，即，然后证明，得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：如图，过点P分别作于点D，于点E，于点G，连接，

∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴此时M，D重合，N、E重合，
∵，
∴，
在和中，
，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
三、解答题
17. 化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）;（2）;（3）;（4）.
【解析】
【分析】（1）先化简,再根据二次根式加减法计算;
（2）根据二次根式乘除法进行计算,再根据二次根式加减法计算;
（3）先对二次根式化简,再进行计算;
（4）根据完全平方公式和平方根差公式及绝对值的性质进行化简计算.
【详解】（1）；
解:原式=,
=;
（2）；
解:原式=,
=;
（3）；
解:原式=,
=,
=;
（4）,
解:原式=,
=.
【点睛】本题主要考查二次根式的运算,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式的运算法则.
18. 每一个实数都可以用数轴上的一个点表示，无理数也可以在数轴上表示出来．

（1）如图1，点表示的数是________；
（2）如图2，直线垂直数轴于原点，请用尺规在数轴上作出表示的点（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理的应用；
（1）利用勾股定理求出斜边长度即可得答案；
（2）先作出长为的线段，再以表示的点为圆心，在原点左侧截取点P，使P到表示1的点距离为即可求解．
【小问1详解】
解：如图：

∵
∴点表示的数是，
故答案为：．
【小问2详解】
如图所示，点即为所求．

19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）;（2）.
【解析】
【分析】（1）先移项,再系数化1,最后根据平方根的意义即可求解;
（2）先移项,再同时除以括号外的因数,根据立方根的意义求解.
【详解】（1）;
解: ,
,
;
（2）．
解: ,
,
,
.
【点睛】本题主要考查平方根和立方根的意义,解决本题的关键是要熟练掌握平方根和立方根的意义.
20. （1）在如图中画出边长为、、的三角形；
（2）该三角形的面积为 ．
【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】
【分析】本题考查作图﹣复杂作图、勾股定理与网格问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
（1）结合勾股定理画图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【详解】解：（1）如图，即为所求．
（2）△ABC的面积为．
故答案为：．
21. 已知的立方根是3，是9的平方根，c是的整数部分，求的值．
【答案】5或11
【解析】
【分析】此题考查立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法， 利用立方根的意义、平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，是解决问题的关键．
【详解】解：∵立方根是3，则，
∴，
∵是9的平方根，则，
∴或，
∵c是的整数部分，
∴，
当时，；
当时，；
综上所述，等于5或11．
22. 如图，某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量，∠B=90°，AB=20m，BC=15m，CD=7m，AD=24m.若每平方米草皮需要200元，则种植这片草皮需要多少元？
【答案】种植这片草皮需要234×200=46800元.
【解析】
【分析】先连接AC，根据勾股定理计算出AC,再根据勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形,然后根据面积公式计算．
【详解】解：如图,连接AC，如图所示，
∵∠B=90°，AB=20m，BC=15m，
∴AC==25m，
∵AC=25m，CD=7m，AD=24m，
∴AD2+DC2=AC2，
∴△ACD是直角三角形,且∠ADC=90°，
∴S△ABC=×AB×BC=×20×15=150m2，S△ACD=×CD×AD=×7×24=84m2,
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=234m2.
所以种植这片草皮需要234×200=46800元．
【点睛】本题主要考查勾股定理和勾股定理逆定理,解决本题的关键是要熟练掌握勾股定理及其逆定理．
23. 今年第11超强台风“海葵”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力，如图，台风“海葵”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响．

（1）海港C受台风影响吗？为什么？
（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解析
（2）台风影响该海港持续的时间为小时
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理逆定理得出，过点C作于D，用等面积法求出，即可解答；
（2）根据题意可得当，时，正好影响C港口，根据勾股定理求出，进而得出，最后根据时间=路程÷速度，即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
是直角三角形，；
过点C作于D，
是直角三角形，
，
即，
，
，
海港C受台风影响；
【小问2详解】
解：当，时，正好影响C港口，
，
，
台风的速度为28千米/小时，
（小时）．
答：台风影响该海港持续时间为小时．
【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，解题的关键是掌握两边平方和等于第三边平方的三角形，是直角三角形；直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．
24. 在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：；
（2）若，求值．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则、分母有理化等知识点．
（1）进行分母有理化即可；
（2）参照题干给定的方法，先进行分母有理化，再求值即可．
【小问1详解】
解：；
【小问2详解】
，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，长方形纸片，，，点分别是边上的点，将沿着翻折得到．

（1）如图1，点落在边上，若，则______，______；
（2）如图2，若，是边中点，连接，求的面积；
（3）如图3，点是边上一动点，作，将沿着翻折得到，连接，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出的长．
【答案】（1），
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题意，折叠的性质可得，根据在中，，，设，则由等面积法列式求解，可得答案；
（2）延长交于，设，，则，由勾股定理可得，结合面积法可得，可得，可得，由可得三角形面积，结合，从而可得答案；
（3）分两种情况讨论：由是以为腰的等腰三角形，当′时，过作于，证明，可得，易得；当时，同理，设，可得，利用勾股定理可得，从而可得答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是长方形，，
∴，
∵沿着翻折得到，
∴，
∴，
在中，，
∴，
设，如下图，连接，

则由等面积法可得，
即，
解得，
∴．
故答案为：，；
【小问2详解】
∵四边形是长方形，，是边中点，
∴，，
∵沿着翻折得到，
∴，
∴，
如图2，延长交于，设，，

∴，
∴由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
解得，经检验符合题意；
∴，
∴
；
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵是以为腰的等腰三角形，
当时，如图3，过作于，
∴，

由折叠可得，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
当时，同理，
设，，
∴，
∴由勾股定理可得，
解得，即．
综上所述，或．