陕西省西安市曲江第一学校2023-2024学年度九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市曲江第一学校2023-2024学年度九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列关于的函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】形如，这样的函数叫做二次函数，据此进行判断即可．
【详解】解：A、是正比例函数，不是二次函数；
B、当时，不是二次函数；
C、整理后不含项，是一次函数，不是二次函数；
D、是二次函数；
故选：D．
2. 对于抛物线，下列说法中错误的是（ ）
A. 对称轴是直线B. 顶点坐标是
C. 当时，函数的最小值为3D. 当时，随的增大而减小
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质．根据二次函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，
∴当时，函数有最大值为3，当时，随的增大而减小；
综上，错误的是选项C．
故选C．
3. 在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数y=a（x-h）2（a≠0）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，即可解答．
【详解】二次函数（）的顶点坐标为（h，0），它的顶点坐标在x轴上，
故选D．
4. 根据下列表格中二次函数的自变量x与y的对应值，判断关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查估算能力，仔细看表，可发现y的值和5最接近0，再看对应的x的值即可得．
【详解】解：由表可以看出，当x取1与2之间的某个数时，，即这个数是的一个根．
故关于x的一元二次方程的一个解的大致范围是．
故选：C．
5. 要得到的图象只需通过平移的图象，下列平移方法正确的是（ ）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象的平移．根据左加右减，上加下减的平移规则，进行判断即可．
【详解】解：将的图象先向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可得到的图象，
故选B．
6. 已知抛物线过三点，则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图像的性质；熟练运用二次函数图像的对称性和增减性是解题的关键．
根据二次函数的增减性解答即可．
【详解】解：函数的对称轴为直线：
∵
∴抛物线开口向下
∴离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小，
∵，，，
∴
故选A．
7. 如图，在中，弦相交于点P，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据圆周角定理，可以得到的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
故选：A．
【点睛】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出的度数．
8. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中说法正确的是（ ）
A. ①②④B. ①③C. ①③④D. ②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系．根据图象判断①，点的位置，判断②，对称轴判断③，根与系数的关系判断④．利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
【详解】解：抛物线的开口向下，对称轴为，与轴交于负半轴，
∴，，；
∴，故①正确；
当时，，
∴，
∵，
∴
由图象可知，
∴，故②正确；
∵，
∴；故③错误；
∵有一个根为，设另一个根为，
则：，
∴，故④正确；
综上：正确的是①②④．
故选A．
二、填空题（（共6小题，每题3分，共18分）
9. 如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线，则不等式的解集为____________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】本题考查图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与轴的另一个交点，找到图象在轴上方时的自变量的取值范围即可．
【详解】解：∵二次函数的图象过点，对称轴为直线，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为：，
由图象可知：不等式的解集为或；
故答案为：或．
10. 抛物线经过和，则抛物线的最低点的坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标．根据对称性，求出的值，将二次函数转化为顶点式，即可得出结果．
【详解】解：∵抛物线经过和，
∴对称轴为，
∴，
∴，
∴抛物线的最低点的坐标为．
故答案为：．
11. 如图，内接于，圆的半径为7，，则弦的长度为___________．

【答案】
【解析】
【分析】连接，过点作于点，先根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，，然后解直角三角形可得的长，由此即可得．
详解】解：如图，连接，过点作于点，

，
，
，
，，
∵圆的半径为7，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三线合一，熟练掌握圆周角定理和解直角三角形的方法是解题关键．
12. 已知抛物线与轴交于两点，将这条抛物线的顶点记为，连接、，则的值为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点问题，求角的正弦值．先求出三点的坐标，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行求解即可．
【详解】解：∵，当时，；当时，，解得：，顶点坐标为，
∵抛物线关于对称轴对称，
不妨设，，
如图，过点作轴，
则：
∴，
由对称性可知：当，时，
故答案为：．
13. 当时，关于的二次函数有最小值2，则实数的值为____________．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查二次函数的最值．分，三种情况进行讨论求解即可．掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，函数图象上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
①当时：当，函数有最小值为，解得：或（舍去）；
②当，函数的最小值为1，不符合题意；
③当时，函数有最小值为，解得：或（舍去）；
综上：或；
故答案为：或3．
14. 如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值__________
【答案】
【解析】
【分析】先构造出相似三角形，根据相似三角形的性质求得边长比，将最小值转化成求BD的值，利用勾股定理求解
【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD=
因为A（-2,0）
∴OA=2
在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D
∴OP’=OC=3
∴，
∴
∵∠P’OA=∠DOP’
∴△P’OA∽△DOP’
∴
∴P’D=P’A
∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值
连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长
∴
即最小值为
故答案
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、圆的动点问题、勾股定理，使用相似三角形作为突破点是解题的关键，后进行最小值的转化
三、解答题（共11小题，共78分）
15. 计算：
【答案】48
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义是解答本题的关键．先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的意义，绝对值的性质化简，再算乘法，后算加减即可．
【详解】
16. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查求不等式组的解集．分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即可．正确的计算，是解题的关键．
【详解】解：，
由①，得：；
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
17. 化简：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算，把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简即可．
【详解】解：
18. 如图，在中，，点P是边上一点，请用尺规作图法在边上求作一点Q，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】过点P作，垂足为点Q，由勾股定理可得．
【详解】解：过点P作，垂足为点Q，如下图：

由作图可知：，
在中，由勾股定理，得，
故点Q即为所求点．
【点睛】本题考查了尺规作图—作垂线及勾股定理，掌握作垂线的方法是解题关键．
19. 如图，点，在边上，且，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】由，得，即可证明，从而．
【详解】，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握其定理是解题的关键．
20. 非物质文化遗产是中华民族古老生命记忆和活态的文化基因，陕西是非物质文化遗产的重要代表地区．某学校为让学生深入了解非物质文化遗产，决定邀请A秦腔，B陕北民歌，C民间面塑，D皮影制作的相关传承人（每项一人）进校园宣讲．
（1）若从以上非物质遗产中任选一个，则选中C民间面塑传承人的概率是____________．
（2）若该学校决定邀请两位非遗传承人进校园宣讲，请用画树状图或列表的方法，求选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查树状图或列表法求概率．
（1）直接利用概率公式进行求解即可；
（2）列表法求概率即可．
掌握列表法，概率公式，是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意，得：选中C民间面塑传承人的概率是；
故答案为：
【小问2详解】
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中选中B陕北民歌和D皮影制作传承人的情况有2种，
∴．
21. 风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图1．某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长16米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方53米的点处测得点的俯角为，求该风力发电机塔杆的高度．（参考数据：，，）

【答案】该风力发电机塔杆的高度为32米
【解析】
【分析】过点P作于点F，延长交延长线于点E，先根据含角直角三角形的性质得出，设米，则米，进而得出米，证明四边形为矩形，则米，米，根据线段之间的和差关系得出米，最后根据，列出方程求解即可．
详解】解：过点P作于点F，延长交延长线于点E，
根据题意可得：、垂直于水平面，，，，
∴，
∵米，
∴（米），
设米，则米，
∵，，
∴米，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
答：该风力发电机塔杆的高度为32米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法和步骤．
22. 某商店购进一批单价为8元的商品，如果按每件10元出售，那么每天可销售100件，经调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，其销售量相应减少10件．将销售价定为多少元，才能使每天所获销售利润最大？
【答案】销售价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意列出二次函数，将函数化简为顶点式，便可知当时，所获得的利润最大．
【详解】解：设销售单价定为元（），每天所获利润为元．
则
，
∵，
∴当时，y有最大值，最大值为360，
所以将销售定价定为14元时，每天所获销售利润最大，且最大利润是360元．
23. 某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
①将样本数据分成5组：，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；
②在这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）抽取的40名学生成绩的中位数是____________；
（3）如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多少人？
【答案】（1）见解析 （2）82分
（3）275人
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，熟练掌握相关概念的意义是解题的关键．
（1）样本容量减去其余4组人数即可；
（2）根据中位数的意义，判断出中位数处于这组，再按求中位数的方法求出即可；
（3）先算出样本中优秀人数所占百分比，再乘以学生总数即可．
【小问1详解】
解：在这组的人数为：（人），
补全频数分布直方图如下：
【小问2详解】
中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，
∵数据处于较小的三组中有（个）数据，
∴中位数应是这一组第2，3个数据的平均数，
∴中位数为：（分），
故答案为：82分；
【小问3详解】
∵样本中优秀的百分比为：，
∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：（人），
答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．
24. 如图，直线与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）点Q的坐标是或．
【解析】
【分析】（1）判断出A、B两点坐标，设抛物线的解析式为，把C代入得到即可；
（2）分成，和，两种情况求得的长，据此即可求解．
【小问1详解】
解：令，则；令，则，故；
∴B，C，
∵抛物线的对称轴，抛物线与x轴另一交点为A，
∴A，
设抛物线的解析式为，
把C代入得到，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点D，
∵，
∴顶点P的坐标为，
∵B，C，
∴，，
∴，
①当，时，．
即，
∴，
又∵，
∴点Q与点O重合，
∴点Q的坐标是；
②当，时，．
即，
．
∵，
∴，
∴点Q的坐标是．
∵，，
∴．
∴点Q不可能在B点右侧的x轴上，
综上所述，点Q的坐标是或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，正确进行分类求得的长是关键．
25. 【问题提出】
（1）如图1，在中，．请在内画一个正方形，使得这个正方形一个内角为，其余顶点落在的边上；
【问题探究】
（2）如图2，是锐角三角形，其中，若要在中做出一个平行四边形，使平行四边形一边落在上，另两顶点落在上，请求出满足条件的平行四边形面积的最大值．
【问题解决】
（3）如图3，有一四边形与交于，现要在四边形中截出平行四边形，使得平行四边形一边与平行，四个顶点落在四边形的四边上，当时，求线段的长度．
【答案】（1）见解析；（2）最大值为；（3）或
【解析】
【分析】（1）首先可作的角平分线，交于P点，然后根据对称性分别作的垂线，确定垂足，即可求出正方形；
（2）作于W，交于V，证明，设，利用相似三角形的性质表示出，从而建立关于b的二次函数表达式，进而根据二次函数的性质求解即可；
（3）设中边上的高为，中，边上的高为，由题意，先求出四边形的面积，从而得到平行四边形的面积，然后利用相似三角形的性质与判定得到关于和的方程组，求解即可．
【详解】（1）如图所示：首先作的角平分线，交于P点，然后以A、C为圆心，、为半径作圆弧，交于S点，连接交于M点；以B、C为圆心，、为半径作圆弧，交于T点，连接交于N点；此时，四边形即为所求正方形；
（2）如图所示，作于W，交于V，
∵，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
设，
则，，
∴，
∴，
整理得：，
∵，，
∴当时，取得最大值，最大值为；
（3）如图，设中边上的高为，中边上的高为，
∴
，
∵，
∴，
∵平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
联立，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，以及二次函数的性质，解直角三角形等，综合性强，难度大，属于压轴题，正确添加辅助线，证明相似三角形，熟练利用二次函数的性质是解题关键．
x
0
1
2
3
4
y
5
13
23
A
B
C
D
A
A，B
A，C
A，D
B
B，A
B，C
B，D
C
C，A
C，B
C，D
D
D，A
D，B
D，C