陕西省西安市唐南中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市唐南中学2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列各式中，是的二次函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】形如的函数叫做二次函数，其中a、b、c是常数；根据二次函数的定义判断即可．
【详解】A、自变量在分母上，不是二次函数，不符合题意；
B、不一定，当a为零时，则不是，不符合题意；
C、是二次函数，符合题意；
D、自变量在根号内，不是二次函数，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的概念，掌握概念是关键，特别强调：二次函数中的二次项系数非零．
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据顶点式的顶点坐标为(，)，可直接得出答案．
【详解】解：抛物线y=3(x+4)2+2为顶点式，顶点坐标为（-4，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，掌握由顶点式的形式得出顶点坐标是关键．
3. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题可先由一次函数图象与二次函数的图象分别求出对应的a，b的范围，再相比较看是否一致即可．
【详解】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项正确；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，矛盾，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
4. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距（ ）

A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】根据锐角三角函数中余弦值的定义即可求出答案.
【详解】解：小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，
，米.
，
米
故选： B .
【点睛】本题考查了锐角三角函数中的余弦值，解题的关键在于熟练掌握余弦值的定义.余弦值就是在直角三角形中，锐角的邻边与斜边之比.
5. 在中，则弦与弦的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了弧、弦之间的关系及三角形的三边关系，根据两弧的关系，作出 的中点E，则，根据三角形两边之和大于第三边就可以得到结论，熟练掌握基础知识是解题的关键．
【详解】解： 取的中点E，连接、，则，
，
在中，，即，
则，
故选：C．

6. 若二次函数y=x2-6x+c图象过A(-1，y1)，B（2，y2）,C(3+ ，y3)三点，则y1，y2，y3大小关系正确的是（ ）
A. y1>y2>y3B. y1>y3>y2C. y 2>y1>y3D. y3>y1>y2
【答案】B
【解析】
【详解】根据题意，得
y1=1+6+c=7+c，即y1=7+c；
y2=4-12+c=-8+c，即y2=-8+c；
y3=9+2+6-18-6+c=-7+c，
即y3=-7+c；
∵7＞-7＞-8，
∴7+c＞-7+c＞-8+c，
即y1＞y3＞y2．
故选B．
7. 如图是一个管道的横截面，管道的截面的半径为5cm，管道内水的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．连接，则，可得，然后根据勾股定理求出的长，再根据垂径定理，即可求解．
【详解】解：如图，连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C
8. 如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为米，则水面下降（ ）米．
A. 1米B. 2米C. 3米D. 10米
【答案】A
【解析】
【分析】把拱桥作为平面直角坐标系的原点，以水平线为横轴，以过原点且垂直垂直于横轴的直线为纵轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为轴，根据二次函数的性质求出水面下降的距离即可．
【详解】如图，
设抛物线解析式为
由已知可得过
，
，

当 时， ，

水面下降1米，
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数解析式的性质，解决本题的关键是根据题意画图，求出抛物线解析式．
9. 在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数解析式各不相同，其中组成的二次函数图象a值最小的三点为（ ）
A. M，P，QB. M，N，PC. N，P，QD. M，N，Q
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据4个点的位置结合二次函数的性质判断求解即可，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质．
【详解】解：由图可知，
过M，P，Q和过N，P，Q的二次函数开口向上，，故排除A和C，
∵越大，开口越小，
∴当时，开口小的那个a更小，
由图可知，过M，N，P三点的二次函数的开口更小，
∴过M，N，P三点的二次函数的a更小，
故选：B．
10. 二次函数（a，b，c为常数，且）中x与y的部分对应值如下表，下列结论，正确的个数有（ ）
①；
②当时，y的值随x值的增大而减小；
③和3是方程的根；
④当时，
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程的关系，有一定难度．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据表格数据求出a和c的符号，二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：由表中数据可得出：y的值随x的增大先增大后减小，
∴二次函数开口向下，即．
当时，，即，
∴，故①正确；
∵当时，；当时，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；
∵当时，，
∴．
∵，
∴．
当时，，
∴3是方程的根．
∵当时，，
∴，
∴．
当时，，
∴是方程的根，
∴和3是方程的根，故③正确；
设，
∵，则该函数开口向下．
∵和3是方程的根，
∴当时，函数图象位于x轴上方，
∴当时，，故④正确．
综上可知①③④正确，有3个．
故选B．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 在平面直角坐标系中，函数的图象关于x轴做轴对称变换，变换后所得的抛物线的解析式为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是熟知关于x轴、y轴的对称点的坐标特征．若抛物线关于x轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答．
【详解】解：函数的图象关于x轴做轴对称变换，变换后所得的抛物线的解析式为，即．
故答案为：．
12. 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．则不等式的解集是________．
【答案】或##或
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质可得求出a的值，从而得到点B的坐标，再观察图象，即可求解．
【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为．
∴，
∴点B的坐标为，
观察图象得：当或时，，
即不等式的解集是或．
故答案为：或
13. 如图，点A，B是上两点，，点P是上的动点（与A，B不重合）．连接，过点O分别作于E，于F，则的长为________．
【答案】15
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理、三角形的中位线定理．根据垂径定理可得E为中点，F为中点，即为中位线；然后利用三角形中位线定理求解，即可．
【详解】解：∵点P是上的动点，于E，，
∴，
即E为中点，F为中点，
∴为中位线，
又∵，
∴．
故答案为：15．
14. 如图，的直径垂直于弦，，则的大小是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．根据圆周角定理得出，推出，再由即可解决问题．
【详解】解：是直径，
，
∵，
，
，
故答案为：．
15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则实数m的取值范围是________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，
∵，开口向上，当时，y随x的增大而增大，
∴，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，在中，，，D是边上一动点，以为边作正，则最大________．
【答案】
【解析】
【分析】过点E作交于点F，在取点G，使，连接，设，则，证明，可得，从而得到，然后三角形的面积公式可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点E作交于点F，在上取点G，使，连接，
设，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大，最大值为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质，根据题意得到是解题的关键．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角形值、负整数指数幂以及零指数幂
（1）先根据特殊角的三角函数值代入，再计算二次根式的混合运算即可；
（2）先计算负整数指数幂、零次幂以及代入特殊角的三角函数值，再计算二次根式的加减即可．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
．
18. 如图，在中，，，请用尺规作图法在边上求作一点D，使得．（保留作图痕迹，不写作法）

【答案】见解析
【解析】
【分析】作的平分线交于点，点即为所求，
【详解】解：如图所示，作的平分线交于点，点即为所求，

理由如下，
∵在中，，，
∴
∵是的平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
【点睛】本题考查了作角平分线，三角形内角和定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
19. 课间休息时小明同学望向窗外，看着校园里的一棵古树突发奇想，能不能利用刚学过的数学知识来测量这棵古树的高度呢？经过思考他和同学们一起实践起来．如图所示，他站在教室里点A处的凳子上，从教室的窗口望出去，恰好能看见古树的整个树冠DK，古树长在一个小坡上，经测量，斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，窗口高EF＝1.2米，树干底部KC＝0.9m，A点距墙根G为1.5m，树干距墙面的水平距离IC为4.5m，请根据上面的信息，计算出树项到地面的距离DL的长度．
【答案】6.8米
【解析】
【分析】由题意直接根据相似三角形的性质求出树冠DK，根据坡角求出CL，进而即可求出树高DL．
【详解】解：连接EF，过点B作BM⊥DL，垂足为M，交EF于点N，
由题意可知，BN＝AG＝1.5，MN＝IC＝4.5，
由EF//DK,则△BEF∽△BKD得：
＝，即＝，
解得：KD＝4.8，
∵斜坡HJ长2.2米，坡角∠JHL＝30°，
∴CL＝HJ＝1.1，
∴DL＝DK+KC+CL＝4.8+0.9+1.1＝6.8（米），
答：树项到地面的距离DL的长度为6.8米．
【点睛】本题考查解直角三角形以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的相似比等于对应高的比是解决问题的关键．
20. 如图．在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P处大力开球，一运动员在离守门员6米的A处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q，球落到地面B处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．
（1）求足球第一次落地之前运动路线的函数解析式及第一次落地点B与守门员（点O）的距离；
（2）运动员（点A）要抢到第二个落点C，他应再向前跑多少米？（假设点O，A，B，C在同一条直线上，结果保留根号）
【答案】（1）；米
（2）米
【解析】
【分析】（1）由条件可以得出，设抛物线的解析式为，由待定系数法求出其解即可；当时代入解析式，求出x的值即可得第一次落地点B和守门员（点O)的距离；
（2）设第二次抛物线的顶点坐标为，抛物线的解析为，求出解析式，就可以求出OC的值，进而得出结论．
【小问1详解】
解：设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，根据其顶点为，过点得
，
解得：，
∴．
当时，，
解得：（舍去）或，
∴足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为，第一次落地点B和守门员（点O)的距离为米；
【小问2详解】
设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为，由题意可知：
，
∴
解得：或（舍去），
∴．
当时，
．
解得：或（舍去）．
∴运动员（点A）要抢到第二个落点C的距离为：
（米）．
∴他应再向前跑米．
【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．
21. 如图，是的直径，点C在上，且，的延长线交于点G，交于于点F，垂足为D．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据是的直径，可得，再由，可得，即可求证；
（2）根据，可得，在中，根据锐角三角函数可得，从而得到，，再由证明，可得，从而得到，进而得到，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，即，
∵，即，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数是解题的关键．
22. 在平面直角坐标系中，抛物线的图象与x轴交于B，C两点（B在C的左侧），与y轴交于点A．
（1）点A，B，C的坐标分别是A（ ）、B（ ）、C（ ）
（2）在抛物线上有一动点P，直线上有另一动点Q，若以B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求出满足条件的点Q的坐标．
【答案】（1）；；
（2）点Q的坐标为或
【解析】
【分析】（1）分别令和代入可求得点A，B，C的坐标；
（2）直线的解析式为：，设点P的坐标为，点，当为平行四边形的一条边时，当为平行四边形的对角线时，分别列出方程组，求出结果即可．
【小问1详解】
解：把代入得：，
∴点A的坐标为；
把代入得：，
解得：，，
∴点B的坐标为，点C的坐标为，
故答案为：；；．
【小问2详解】
解：设直线的解析式为：，把，代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
设点P坐标为，点，
①当为平行四边形的一条边时，则，，
∴，
当时，，
把代入并整理得：
，
∵，
∴此方程无解；
当时，，
把代入并整理得：
，
解得：，（舍去），
∴，
∴此时点Q的坐标为；
②当为平行四边形的对角线时，
，
解得：，（舍去），
∴此时点Q的坐标为；
综上分析可知，点Q的坐标为或．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了抛物线与两坐标轴交点的坐标，平行四边形的性质，中点坐标公式，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意分类讨论．
23. 已知抛物线：：经过点在，，与y轴的交点为C．关于原点对称的抛物线为
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点A在的对应点为M，若点P是抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，若相似，求点P的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法可求出的解析式为，再根据关于原点对称的点的坐标特征“横坐标和纵坐标都互为相反数”可得出的解析式为，即；
（2）设，则，由题意可知，即可求出，．根据解析式可求出，即得出，．根据相似三角形的性质可得出，即，解得，或，，进而即可得出点P坐标．
【小问1详解】
解：将，代入，
得：，解得：，
∴抛物线：的解析式为．
∵与关于原点对称，
∴的解析式为，即；
【小问2详解】
解：如图，
设，则，
∵点A在的对应点为M，，
∴，
∴，．
对于：，令，则，
∴，
∴，．
∵，
∴，即，
∴或
解得：，或，
当时，，即此时；
当时，，即此时，即此时与点M重合，舍去；
当时，，即此时．
综上可知点P的坐标为或．
x
0
1
3
y
3
5
3