陕西省西安市西大附中浐灞中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份陕西省西安市西大附中浐灞中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空．，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列说法正确的有（ ）个
①对角线相等的四边形是菱形． ②一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．
③有一组角对应相等的两个菱形相似． ④是一元二次方程．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的判定方法可判断A，B，根据相似多边形的判定方法可判断C，根据一元二次方程的定义可判断D，从而可得答案．
【详解】解：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故①不符合题意；
如图，四边形为平行四边形，平分，，

∴，，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
∴一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．描述正确，故②符合题意；
如图，菱形，菱形，，

∴，，，
，，
由四边形的内角和定理可得：，
∴，
∴有一组角对应相等的两个菱形相似．故③符合题意；
方程，当时，不是一元二次方程．故④不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是菱形的判定与性质，相似多边形的判定，一元二次方程的定义，熟记菱形的判定方法，相似多边形的判定方法，一元二次方程的定义是解本题的关键．
2. 下列各组长度的线段（单位：cm）中，成比例线段的是（ ）
A. ， ，，B. 1，，， C. ，，，D. ，，，7
【答案】C
【解析】
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．
【详解】解：A. ，故四条线段不成比例，不合题意；
B. ，故四条线段不成比例，不合题意；
C. ，故四条线段成比例，符合题意；
D. ，故四条线段不成比例，不合题意．
故选：C．
【点睛】此题考查了比例线段，如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．
3. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. 且D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元一次方程的解，一元二次方程的判别式进行求解即可．
【详解】解：当时，方程为，方程有一个实数根；
当时，关于的方程有实数根，
则，
解得：，
综上所述，的取值范围是，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，一元二次方程的判别式，解题的关键是不要漏掉时，原方程为一元一次方程的情况．
4. 两个不透明盒子里分别装有3个标有数字3，4，5的小球，它们除数字不同外其他均相同，小华从两个盒子里各随机摸1个球，摸到的两个球上的数字之和为奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画出树状图可知共有9种等可能的结果，甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种，然后由概率公式求解即可．
【详解】解：如图：
由树状图可知共有9种等可能的结果，其中甲、乙二人摸到球上的数字之和为奇数的结果有4种，
∴摸到球上的数字之和为奇数的概率为．
故选：C．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
5. 如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（ ）

A. 若，则四边形为矩形
B. 若，则四边形为菱形
C. 若是平行四边形，则与互相平分
D. 若正方形，则与互相垂直且相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的中位线定理可得，，，，从而得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质，进行逐一判断即可得到答案．
【详解】解：点分别是四边形边的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，
四边形为平行四边形，
A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意；
B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意；
C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意；
D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，熟练掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的性质，是解题的关键．
6. 代数式的最小值是（ ）
A. 10B. 9C. 19D. 11
【答案】A
【解析】
【分析】把代数式根据完全平方公式化成几个完全平方和的形式，再进行求解即可．
【详解】解：
∵
∴代数式的最小值是10．
故选：A．
【点睛】本题考查的知识点是配方法的应用-用配方法确定代数式的最值，解此题的关键是将原代数式化成几个完全平方和的形式．
7. 如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【详解】取的中点M，连接，根据三角形中位线定理得，再根据平行线分线段成比例得，即可得出答案．
【解答】解：如图，取的中点M，连接，
∵D是边上的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选:B．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
8. 如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ）
A. 2
B. 4
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值．
【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D’，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
故答案为C．
【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的
二、填空（共6小题，每小题3分，共计18分）．
9. 已知，且，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，由，可得，然后作答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，二元一次方程的解．解题的关键在于正确的运算．
10. 某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽，则可列方程______．
【答案】
【解析】
【分析】设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，根据绿化区域的面积为广场总面积的80%，列出关于的一元二次方程即可得到答案．
【详解】解：设小路的宽，则绿化区域的长为，宽为，
根据题意得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，读懂题意，找准等量关系，是正确列出一元二次方程的关键．
11. 点是菱形的对称中心，，连接，则的度数为___．
【答案】62°
【解析】
【分析】连接，根据中心对称图形的定义得出点是菱形的两对角线的交点，根据菱形的性质得出，，那么．
【详解】解：如图，连接，

点是菱形的对称中心，，
点是菱形的两对角线的交点，
，，
．
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，菱形是中心对称图形，两对角线的交点是对称中心，掌握菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角是解题的关键．
12. 有一个多边形的边长分别是4cm，5cm，6cm，4cm，5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，那么这个多边形的周长是_________.
【答案】32cm.
【解析】
【分析】先根据两多边形相似求出其相似比，再根据相似多边形周长的比等于相似比进行解答．
【详解】∵一个多边形的边长分别是4cm、5cm、6cm、4cm、5cm，和它相似的一个多边形最长边为8cm，
∴两个相似多边形的相似比
∴
解得C=32cm.
故答案为32cm.
【点睛】考查相似多边形的性质，掌握周长比等于相似比是解题的关键.
13. 已知、为非零常数，，满足，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】将变形得到，可把和可看作方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得到，，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，，
∴和可看作方程的两根，
∴，，
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式，熟练掌握以上知识是解题关键．
14. 如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为___．

【答案】
【解析】
【分析】由题意知是等腰直角三角形，作点关于的对称点，则在直线上，连接，，．即，，，所以此时、、三点共线且，点在的中点处，，可求出．
【详解】解：，
是等腰直角三角形，
作点关于的对称点，则在直线上，连接，如图：

．
，即，
此时、、三点共线且，点在的中点处，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查矩形的性质和等腰直角三角形的性质，作出适当的辅助线是解题关键．
三、解答题（共12小题，共计78分）
15. 解方程：
（1）
（2）（配方法）
（3）（分解因式）
（4）（公式法）．
【答案】（1），
（2），
（3），
（4），
【解析】
【分析】（1）根据直接开方法解一元二次方程即可；
（2）根据配方法解一元二次方程即可；
（3）根据因式分解法解一元二次方程即可；
（4）根据公式法解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：
，．
【小问2详解】
解：
，．
【小问3详解】
解：
，．
【小问4详解】
解：
，，，
，
则，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
16. 如图，在中，点D是边上的一点且，请在上找一点E，使得．

【答案】见解析
【解析】
【分析】在三角形内部作，边交于点E，可得，于是，得．
【详解】解：以点D为顶点，为边，作，边交于点E，点E即为所求．理由如下，
如图，，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查尺规作图，作一个角等于已知角，平行线的判定，平行线分线段成比例定理；由平行线得到比例线段是解题的关键．
17. 已知＝＝＝x，求x的值．
【答案】或2
【解析】
【分析】分两种情况讨论：当a+b+c＝0，当a+b+c≠0，再进行计算即可．
【详解】解：若a+b+c＝0，则a+b＝-c，b+c＝-a，c+a＝-b，
此时，x＝-1，
若a+b+c≠0，则，
综上所述，x的值为-1或2．
【点睛】本题考查的是比例的基本性质，掌握“比例的等比性质”是解本题的关键．
18. 如图，在正方形中，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为．求证：四边形是正方形．

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据垂线的定义，可得，根据矩形的判定，可得四边形是矩形，根据余角的性质，可得，根据全等三角形的判定与性质，可得，即可证明．
详解】证明：由题意可得，，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∴四边形正方形．
【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，等角的余角相等等知识，熟练掌握以上判定和性质是解题的关键．
19. 已知关于的一元二次方程．
（1）若是方程的一个根，求的值和方程的另一根；
（2）若是方程的两个实数根，且满足，求的值．
【答案】（1）的值为，另一个根为
（2）的值为
【解析】
【分析】（1）直接把代入方程中，求出m的值，再根据根与系数的关系求出另一个根即可；
（2）根据根与系数的关系得到，再利用判别式求出，结合已知条件推出，即，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：将代入方程得，，
解得
设另一个根为，则，
解得
∴的值为，另一个根为；
【小问2详解】
解：由题意得：，
同时满足即，
∴，
∵，
∴
∴
解得或，
∵
∴，
∴的值为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程解的定义，解一元二次方程等等，熟知一元二次方程的相关知识是解题的关键．
20. 已知：如图，点A、D、C、F在一条直线上，且，，，若与相交于点G，若，，，求EF．

【答案】，见解析
【解析】
【分析】如图，连接,可证，得；求证，故四边形是平行四边形，于是，．求证，得比例线段，求得，于是．
【详解】解：如图，连接，
∵，
∴.
又∵，，
∴
∴.
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质；由相似三角形得到线段间的数量关系是解题的关键．
21. 甲商品的进价为每件20元，商场确定其售价为每件40元．
（1）因国庆搞活动需进行降价销售，预备从原来的每件40元进行两次调价，已知该商品现价为每件元．若该商品两次调价的降价率相同，求这个降价率；
（2）经调查，该商品每降价元，即可多销售10件．已知甲商品售价40元时每月可销售500件，若商场希望该商品每月能盈利10800元，且尽可能扩大销售量，则该商品在原售价的基础上应如何调整？
【答案】（1）这个降价率为10%；
（2）该商品在应定价为32元．
【解析】
【分析】（1）设调价百分率为x，根据售价从原来每件40元经两次调价后调至每件元，可列方程求解．
（2）根据已知条件求出多售的件数，根据该商场希望该商品每月能盈利10800元列出方程，求解即可．
【小问1详解】
解：设这种商品平均降价率是x，依题意得：，
解得：（舍去）；
答：这个降价率为10%；
【小问2详解】
设降价y元，则多销售y÷×10=50y（件），
根据题意得，
解得：y=2或y=8，
∵尽可能扩大销售量，则，
所以（元）．
答：该商品在应定价为32元．
【点睛】考查一元二次方程的应用．解题的关键是掌握：求平均变化率的方法：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，销售利润问题：每件商品的利润销售的数量=总利润．
22. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色后，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的组统计数据：
（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为____________；（精确到0.1）
（2）估算盒子里约有白球__________个；
（3）若向盒子里再放入个除颜色以外其它完全相同的球，这个球中白球只有1个．然后每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在50%，请你推测可能是多少？
【答案】（1）0.6；（2）24；（3）10
【解析】
【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得;
（2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案；
（3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值．
【详解】（1）若从盒子里随机摸出一球，则摸到白球的概率约为0.6，
故答案为：0.6；
（2）估算盒子里约有白球40×0.6＝24（个），
故答案为：24；
（3）根据题意知，24＋1＝0.5（40＋x），
解得x＝10，
答：推测x可能是10．
【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
23. 全面二孩政策于2016年1月1日正式实施，黔南州某中学对八年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题“你爸妈如果给你添一个弟弟（或妹妹），你的态度是什么？”共有如下四个选项（要求仅选择一个选项）：
A．非常愿意 B．愿意 C．不愿意 D．无所谓
如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请结合图中信息解答以下问题：
（1）试问本次问卷调查一共调查了多少名学生？并补全条形统计图；
（2）若该年级共有450名学生，请你估计全年级可能有多少名学生支持（即态度为“非常愿意”和“愿意”）爸妈给自己添一个弟弟（或妹妹）？
（3）在年级活动课上，老师决定从本次调查回答“不愿意”的同学中随机选取2名同学来谈谈他们的想法，而本次调查回答“不愿意”的这些同学中只有一名男同学，请用画树状图或列表的方法求选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率．
【答案】（1）40；（2）180；（3）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）用选D人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再用总人数乘以选B所占的百分比得到选B的人数，然后用总人数分别减去选B、C、D的人数得到选A的人数，再补全条形统计图；
（2）利用样本估计总体，用450乘以样本中选A和选B所占的百分比可估计全年级支持的学生数；
（3）“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学，画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数，然后根据概率公式计算．
（1）20÷50%=40（名），所以本次问卷调查一共调查了40名学生，选B的人数=40×30%=12（人），选A的人数=40﹣12﹣20﹣4=4（人）
补全条形统计图为：
（2）450×=180，所以估计全年级可能有180名学生支持；
（3）“非常愿意”的四名同学分别用1、2、3、4表示，其中1表示男同学，画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中选取到两名同学中刚好有这位男同学的结果数为6，所以选取到两名同学中刚好有这位男同学的概率==．
点睛：本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图．
24. 如图在矩形中，，，、分别是、上的点，且，两动点、都以2cm/s的速度分别从、两点沿、向、两点运动，判断当、运动多长时间能使矩形与矩形相似，并证明你的结论．

【答案】运动或能使矩形与矩形相似，证明见解析
【解析】
【分析】设运动时间能使矩形与矩形相似，分是矩形的长和是矩形的宽两种情况列出比例式，分别求解即可．
详解】解：设运动时间能使矩形与矩形相似，
由题意或，
解得：或．
当时，，
∵，
又∵与都是矩形，
∴矩形与矩形相似．
同理可证当时矩形与矩形相似．
【点睛】本题考查了相似多边形的判定，进行分类讨论是解题的关键．
25. 如图，中，，，．对角线、相交于点O，将直线绕点O顺时针旋转α°，分别交直线、于点E、F．
（1）当α＝ 时，四边形是平行四边形；
（2）在旋转的过程中，四边形可能是菱形吗？如果能，求出此时α的值；如果不能，说明理由；
（3）在旋转过程中，是否存在以A、B、C、D、E、F中的4个点为顶点的四边形是矩形？如果存在，直接写出矩形的名称及对角线的长度；如果不存在，说明理由．
【答案】（1）90° （2）可能，45°
（3）存在，矩形的对角线长为2；矩形的对角线长为
【解析】
【分析】（1）由得，在中，根据勾股定理计算出，再根据平行四边形的性质得，于是可判断为等腰直角三角形，则，根据平行四边形的判定当时，四边形是平行四边形，则，根据旋转的性质得．
（2）由于四边形的对称中心为点，则，可判断四边形为平行四边形，根据菱形的判定，当时，四边形为菱形，而，根据对顶角得到，所以此时为45°．
（3）根据平行四边形的性质有，再根据矩形的判定，当时，四边形为矩形，易得此时矩形的对角线长为2，当时，四边形为矩形，由为等腰直角三角形得，则．所以此时矩形的对角线长为．
【小问1详解】
，
，
在中，，
，
∵四边形为平行四边形，
，
为等腰直角三角形，
，
，
∴当时，四边形是平行四边形，
，
．
【小问2详解】
在旋转的过程中，四边形可能是菱形．理由如下：
如解图①，
∵四边形为平行四边形，
∴四边形的对称中心为点，
，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为菱形，
，
，
即此时为45°．
【小问3详解】
在旋转过程中，存在以中的4个点为顶点的四边形是矩形，
，
∴当时，四边形为矩形，如解图②，矩形的对角线长为2，
当时，四边形为矩形，如解图③，
为等腰直角三角形，
，
，
∴矩形的对角线长为．
摸球的次数
100
200
300
500
800
1000
3000
摸到白球的次数
66
128
171
302
481
599
1806
摸到白球的频率
0.66
0.64
0.57
0.604
0.601
0.599
0.602