河南省郑州市第四初级中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷 （解析版）-A4

这是一份河南省郑州市第四初级中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷 （解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个），其中无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了无理数的概念，无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，据此求解即可．
【详解】解：实数，，，，，，（相连两个之间依次多一个）中无理数有，，（相连两个之间依次多一个），
故选：．
2. 下列说法错误的是（ ）
A. 是9的平方根B. 的平方根为
C. 的平方根为D. 负数没有平方根
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义，正数有两个平方根互为相反数，负数没有平方根．根据平方根的定义，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、是9的平方根，正确，故本选项不符合题意；
B、的平方根为，故B不正确，故本选项符合题意；
C、25的平方根为，正确，故本选项不符合题意；
D、负数没有平方根，正确，故本选项不符合题意．
故选：B．
3. 的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理即可判断③④；根据三角形内角和定理即可判断①②，从而得出答案．
【详解】解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∴是直角三角形，故①符合题意；
②∵，
∴，
∴不是直角三角形，故②不符合题意；
③∵，
∴，
∴是直角三角形，故③符合题意；
④∵，
∴设，，，
∴，
∴∴是直角三角形，故④符合题意；
综上所述，其中能判断是直角三角形的个数有个，
故选：C．
4. 若，则的平方根为（ ）
A. 1B. C. 5D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性得到，解出，即可的平方根．
【详解】解：∵，，
∴当，
则，
解得：，
∴，
∴其平方根为，
故选：B．
【点睛】此题主要考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二元一次方程组的解法，以及求一个数的平方根，正确得出二元一次方程组是解题关键．
5. 在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到两个标志点（，2）和（2，1），则藏宝处点C的坐标应为（ ）
A. （1，）B. （1，0）C. （，1）D. （0，）
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知的两个坐标点建立坐标系，即可求解．
【详解】由已知的两个坐标点、，建立如图的坐标系，则可知
故答案是：A．
【点睛】本题考查用坐标表示位置，属于基础知识的考查，难度不大．解题的关键是根据已知坐标建立坐标系．
6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过第一、三、四象限B. 图象与y轴交于点
C. 函数值y随自变量x的增大而减小D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象性质、一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．根据一次函数图象与系数的关系可对进行判断，根据一次函数图象上点的坐标特征可对进行判断，根据一次函数的性质可对、进行判断．
【详解】解：A、∵一次函数，
∴该函数图象经过第一、二、三象限，故选项错误，不符合题意；
B、当，则图象与轴交于点，故选项错误，不符合题意；
C、由得函数值随自变量的增大而增大，故选项错误，不符合题意；
D、当时，，故选项正确，符合题意；
故选：D．
7. 如图，矩形中，，，在数轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于，则点表示的实数为（ ）
A. 2.5B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用勾股定理求出，根据，求出，由此即可解决问题，
【详解】解：四边形是矩形，
，
，，
，
，A为-1，
，
点表示点数为．
故选：．
【点睛】本题考查实数与数轴、勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用勾股定理求出AC、AM的长．
8. 若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．函数值y随x的增大而减小；函数值y随x的增大而增大；一次函数图象与y轴的正半轴相交，与y轴的负半轴相交，过原点．根据一次函数图象在坐标平面内的位置关系先确定k，b的取值范围，再根据k，b的取值范围确定一次函数图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
【详解】解：一次函数过一、二、四象限，
则函数值y随x增大而减小，因而；
图象与y轴的正半轴相交则，
因而一次函数的一次项系数，
y随x的增大而增大，经过一三象限，
常数项，则函数与y轴负半轴相交，
一次函数的图象一定经过一、三、四象限，
故选：D．
9. 如图在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，在轴上，顶点的坐标是，将矩形沿对角线进行翻折，点落在点的位置，交轴于点，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标系中的点，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
证明出，设，则，对运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】解：如图，
由翻折得，，
∵四边形是矩形，顶点的坐标是，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴，
故选：C．
10. 在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力和所悬挂物体的重力的几组数据用电脑绘制成如下图像（不计绳重和摩擦），请你根据图像判断以下结论正确的有（ ）个
①物体的拉力随着重力的增加而增大；②当物体的重力时，拉力；③拉力与重力成正比例函数关系；④当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为．
A. ①②B. ②④C. ①④D. ③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用．
由函数图像直接可以判断①③④，设出拉力F与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式，把代入函数解析式求值即可判断②．
【详解】解：由图象可知，拉力随着重力的增加而增大，故①正确；
拉力是重力的一次函数，
设拉力与重力的函数解析式为，
将代入得，
解得：，
拉力与重力的函数解析式为，
当时，，故②错误；
由图象知，拉力是重力的一次函数，故③错误；
时，，故④正确．
故选：C．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 比较大小：_____（填“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】＞
【解析】
【分析】通过比较和的平方的大小可判断和的大小．
【详解】解：∵（）2＝3.5＝＝，（）2＝，
而＞，
∴＞．
故答案为：＞．
【点睛】本题考查二次根式的大小比较，掌握二次根式的化简法则，巧妙利用二次根式的平方比较大小是解题关键．
12. 一次函数的值随值的增大而减小，则常数的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的性质，理解当时，y随x值的增大而减小是解题的关键．
根据一次函数的性质可知，据此求解即可．
【详解】解：∵一次函数的值随值的增大而减小，
∴，解得，
故答案为：．
13. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，同解方程的含义，由方程组可得，再建立一元一次方程求解即可．
【详解】解：，
②①得：，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：1
14. 如图，圆柱形杯子（无盖）的高为，底面周长为，已知蚂蚁在外壁A处（距杯子上沿）发现一滴蜂蜜在杯子内壁处（距杯子下沿），则蚂蚁从A处爬到处的最短距离（杯子厚度忽略不计）为_________．
【答案】20
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图所示，将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，
连接，则即为最短距离，
∵，
∴
∴．
故答案为20．
15. 如图，在RtABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝6，D是BC的中点，E是AC上一动点，将CDE沿DE折叠到，连接AC′，当是直角三角形时，CE的长为_____．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情形，当或时，分别画出图形来解答．
【详解】解：当时，
将沿折叠到△，
，
，
点、、三点共线，
，，
由勾股定理得，
设，则，，
在△中，由勾股定理得：
，
解得，
，
当时，
，
，
，
不可能为，
综上，或．
故答案为：3或．
【点睛】本题主要考查了翻折的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会运用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】本题考查根式的混合运算，平方差公式及完全平方公式的运算：
（1）先根据根式的乘法法则与除法法则展开，再合并即可得到答案；
（2）先根据平方差公式及完全平方公式展开，再合并即可得到答案；
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：原式
．
17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，

（1）在图中作出关于轴对称图形
（2）求出的面积：
（3）在轴上找一点，使得周长最小，并直接写出点的坐标．
【答案】（1）见解析 （2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称最短路线问题以及待定系数法求一次函数的解析式，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
（1）根据轴对称的性质作出各顶点关于轴的对称点，即可得出；
（2）根据网格利用割补法即可求出的面积；
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，根据两点之间线段最短及待定系数法求得直线为，从而即可得解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：；
【小问3详解】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时周长最小，则，
设直线为，
∵直线为过点．
∴，
解得，
∴直线为，
当x=0时，，
∴．

18. 已知点，解答下列各题．
（1）点P在x轴上，求出点P的坐标；
（2）若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了在x轴上点的坐标特点，点到坐标轴的距离，第二象限内点的坐标特点：
（1）根据在x轴上的点纵坐标为0得到，据此可求出，则，由此即可得到答案；
（2）根据第二象限内的点横坐标为正，纵坐标为负得到，再由点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，点到y轴的距离为横坐标的绝对值得到，解之即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵在x轴上，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵在第二象限，
∴，
∵到x轴、y轴的距离相等，
∴，
∴，
解得，
∴．
19. 已知的平方根是，的立方根是1，c是的整数部分，求的算术平方根
【答案】
【解析】
【分析】直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出的值进而得出答案．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
解得：，
∵立方根是1，
∴，即，
解得：，
∵，
∴，
∴，
∴的算术平方根为．
【点睛】此题主要考查了算术平方根、平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出的值是解题关键．
20. 如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村庄为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A、B、H在同一直线上），并新建一条路CH，测得千米，千米，千米．
（1）CH是不是从村庄C到河边的最近路？请通过计算加以说明；
（2）求新路CH比原路CA短多少千米？
【答案】（1）是村庄C到河边的最近路，见解析
（2）0.25千米
【解析】
【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理得到是以∠BHC为直角的直角三角形，再根据点到直线的距离垂线段最短求解即可；
（2）设，则，然后在△ACH中利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵在中，，，
∴，
是以∠BHC为直角的直角三角形，
∴CH⊥AB，
∵点到直线垂线段的长度最短，
∴CH是村庄C到河边的最近路；
【小问2详解】
解：设，
千米，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得，
千米，
∴CH比CA短千米．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，点到直线的距离垂线段最短，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键．
21. 已知A、B两城由笔直的铁路连接，动车甲从A向B匀速前行，同时动车乙从B向A匀速前行，到达目的地时停止，其中动车乙速度较快，设甲乙两车相距，甲行驶的时间为，y关于t的函数图象如图所示．
（1）填空：动车甲的速度为 ，动车乙的速度为 ；
（2）求图中点P的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义：
（3）两车何时相距？
【答案】（1）
（2）的坐标为，实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为
（3）和相距
【解析】
【分析】本题考查了函数应用中的相遇问题，从函数图象获取信息，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答．
（1）根据图中信息即可得到两车的速度；
（2）根据题意和图形即可得到点的坐标以及点表示的实际意义；
（3）根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．
【小问1详解】
解：动车甲的速度，动车乙的速度，，
故答案为：；
【小问2详解】
解：由题意可得，点的横坐标为：，纵坐标为：，
即点的坐标为，
该点坐标表示的实际意义是此时动车乙到达目的地，动车甲与动车乙的距离为；
【小问3详解】
解：由题意可得，当相遇前相遇，此时的时间为：，
当相遇后相遇，此时的时间为：，
综上：在和相距．
22. 请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
（1）填空：①当时， ．
②当时， ．
③当时， ．
（2）在平面直角坐标系中作出函数的图象
（3）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有_____个交点，方程有____个解：
②方程有_____个解：
③若关于x的方程无解，则a的取值范围是 ．
【答案】（1）①；②；③
（2）见解析 （3）①2，2；②1；③
【解析】
【分析】此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数与方程的关系，正确数形结合分析是解题关键．
（1）直接利用绝对值的性质进而化简得出答案；
（2）直接利用（1）中所求得出函数函数解析式，即可画出图象；
（3）直接利用函数图象得出答案．
【小问1详解】
解：①当时，；
②当时，；
③当时，；
故答案为：；，；
【小问2详解】
解：函数的图象，如图所示：
【小问3详解】
解：从函数图象得到：
①函数图象与轴有2个交点，方程有2个解；
②方程有1个解；
③若关于的方程无解，则的取值范围是．
故答案为：2，2；1；．
23. 在坐标系中，直线与x轴交于点A与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于，点M是直线上的动点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图，点M在运动过程中，当时，求点M的坐标；
（3）若将线段绕A点旋转，点M落在y轴P点处，试问平面内是否存在一点Q，使得以点A、P、M、Q四点为顶点形成的四边形是正方形，若存在，直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）存在，点Q坐标为或
【解析】
【分析】（1）用待定系数法求直线的解析式即可；
（2）设，由题意可得或，求出t的值即可求点的坐标；
（3）证明，得到，求出点或，进而求解．
【小问1详解】
令，则，
∴A−2,0，
令，则，
∴，
∴设直线的表达式为
由点B、C的坐标得，
解得
∴直线的表达式为：；
【小问2详解】
∵M为上一点，
设，
∵A−2,0，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
或，
∴t或，
∴或；
【小问3详解】
如图，过点A作y轴平行线交过点M和x轴的平行线于点R，交过点P和x轴的平行线于点N，
由题意得：，设点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
则，，
解得：t或，
则点或，
当时，
则，即点，
所以点Q横坐标，点Q的纵坐标为，
点；
当点时，
同理可得：点，
综上，点Q的坐标为：或．
【点睛】本题考查一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象上的点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键．