黑龙江省绥化市部分学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4

这是一份黑龙江省绥化市部分学校2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了单选题，四象限，，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义：y＝（k≠0）进行判断可得答案．
【详解】A选项：不是反比例函数，故A错误；
B选项：y=x-1即为y=,故是反比例函数，故B正确；
C选项：y不是x反比例函数，故C错误；
D选项：不是反比例函数，故D错误；
故选C．
【点睛】考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式．
2. 若反比例函数解析式为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 图象位于第一、三象限B. 图象经过点
C. 随的增大而减小D. 图象关于原点对称
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的解析式及性质，根据值，及把点的坐标代入函数解析式，然后运用性质进行解题．
【详解】解：．反比例函数图像位于一、三象限；该选项正确，不符合题意；
．当x=2，，所以经过，该选项正确，不符合题意；
．在每一项内y随x的增大而减小，该选项错误，符合题意；
． 反比例函数图像关于原点对称，该选项正确，不符合题意；
故选：D．
3. 如图，△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，若DB=4，AB=6，BE=3，则EC的长是（ ）
A. 4B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】由△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE∥AC，根据平行线分线段成比例定理，可得DB：AB＝BE：BC，又由DB＝4，AB＝6，BE＝3，即可求得答案．
【详解】解：∵DE∥AC，
∴DB：AB＝BE：BC，
∵DB＝4，AB＝6，BE＝3，
∴4：6＝3：BC，
解得：BC＝，
∴EC＝BC－BE＝32．
故选C．
【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理．注意掌握各比例线段的对应关系是解此题的关键．
4. 下列说法正确的是( )
A. 各有一个角是的两个等腰三角形相似B. 各有一个角是的两个等腰三角形相似
C. 有两边对应成比例的两个等腰三角形相似D. 两腰对应成比例的两个等腰三角形相似
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形内角和为180°可以判定A中三角形为钝角三角形且对应角相等，B、C、D无法判定三角形相似，故可以A、B、C、D选项的正确性，即可解题．
【详解】A、有一个内角为100°的三角形中，100°角必须为顶角，所以三角形三角为100°、40°、40°，即可判定三角形相似，故本选项正确；
B、45°可能是顶角，可能是底角，故无法判定两个三角形内角均相等，故本选项错误；
C、等腰三角形腰长相等，故两腰长对应成比例的两个三角形无法判定三角形相似，故本选项错误；
D、两腰长对应成比例的两个三角形无法判定三角形相似，故本选项错误，
故选A．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，三对对应角相等的三角形相似，等腰三角形底角相等的性质．
5. 如图，能使的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知一组角相等，则只要该角的两边对应成比例即可推出两三角形相似．
【详解】∵∠C=∠C
当∠ADC=∠BAC或∠CAD=∠B或CD：AC=AC：BC或AC2=CD•CB
∴当AC2=CD•CB时，△ACD∽△BCA
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
6. 函数(为常数)的图象上有三点，，，则函数值，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．先判断出函数反比例函数的图象所在的象限，再根据图象在每一象限的增减性及每一象限坐标的特点进行判断即可．
【详解】解：，
，，
反比例函数的图象在二、四象限，
点的横坐标为，
此点在第四象限，；
，的横坐标，
两点均在第二象限，，
在第二象限内随的增大而增大，
，
．
故选：D．
7. 在同一直角坐标系中，函数与的图象大致为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由直线y=kx+k恒过定点（-1，0）排除A、D，再由直线过一、二、三象限可得k大于0，由此得到y=-过二、四象限得答案．
【详解】解：直线y=kx+k恒过定点（-1，0），可知A、D错误，
由B、C可知，k＞0，
∴y=-的图象在第二、第四象限，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的性质，一次函数的图象上点的坐标特征，重点是注意系数k的取值．
8. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点、的坐标分别是，，，则函数的图象经过点，则的值为（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据、的坐标分别是可知，进而可求出，由，又可求，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点的坐标，再求出的值．
【详解】
解：过点作轴，垂足为，
∵的坐标分别是，
∴，
在中，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴代入得：，
故选D．
【点睛】考核知识点：反比例函数与几何.数形结合分析是关键.
9. 已知反比例函数，若，则函数的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意画出函数图象，利用数形结合即可得出结论．
详解】如图所示：
由图可知，当x≥-2时，y≤-4或y＞0．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，根据题意画出函数图象，利用数形结合求解是解答此题的关键．
10. 如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F，且CE=BC，则=（ ）
A. B. C. 23D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质先证△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，即可得出△ADF∽△EBA，然后利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方可以得到答案．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BE，CD∥AB，AD=BC，
∴△ADF∽△ECF，△ECF∽△EBA，
∴△ADF∽△EBA，
∵CE=BC，
∴BE=CE+BC=CE+AD=3CE，
∴，
∴.
故选D.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质.利用平行证明两个三角形相似是解题的关键.
11. 如图，在中，点、分别是AB、上的点，，，若，则 )
A. B. 19C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先证明△ADE~△ABC,进而证明=;可得::=4:6:15,由,可得的值.
【详解】解：=，:=2:3,
=,=,
DE∥BC, △ADE~△ABC, =,
::=4:6:15,
;
=4，=25.
故选D.
【点睛】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是牢固掌握相 似三角形的判定及其性质,这是灵活运用、解题的基础和关键.
12. 如图，在中，为的中点，为上一点，与交于点，，则的值为（ ）
A. B. C. 43D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例的定理得出 以及
进而得出答案即可．
【详解】过点D作DN∥BC交AC于点N，
∵D为AB的中点，DN∥BC，
∴ AN=NC，
∵
∴
则NE=EC，
∵DN∥CF，
∴
∴
故选D.
【点睛】考查平行线分线段成比例定理，作出辅助线是解题的关键.
二、填空题（30分）
13. 函数是反比例函数，并且图象在一、三象限，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义可得m2﹣10=﹣1，根据函数图象分布在第一、三象限内，可得m﹣2＞0，然后求解即可．
【详解】根据题意得：m2﹣10=﹣1且m﹣2＞0，解得：m1=3，m2=﹣3且m＞2，所以m=3．
故答案为3．
【点睛】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质，对于反比例函数y=（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．
14. 若，则 ＝_____________.
【答案】
【解析】
分析】根据分比性质即可得解.
【详解】解：∵，
∴==32.
故答案为32.
【点睛】本题考查比例的性质.如果，那么.
15. 在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，以原点O为位似中心，将缩小，使变换后得到的与的相似比为，则变换后点B的对应点的坐标为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．据此进行解答即可．
【详解】解：∵与的相似比为，
∴变换后点B的对应点的坐标为或．
故答案为：或
16. 如图， 已知ΔABC是等边三角形， 点是上一点， 点为上一点，，，，则ΔABC的边长为__．
【答案】9
【解析】
【分析】设AC=x，则可得BD=x-3，再证明△ACD∽△BDE，从而得到，再代入计算即可．
【详解】设，
是等边三角形，且，
，，
，
，
，
，
，
，即，
∴，即ΔABC的边长为 9 ，
故答案是： 9 ．
【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟记并灵活运用了等边三角形的性质与相似三角形的判定与性质．
17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(x＞0)的图象经过Rt△OAB的斜边OA的中点D，交AB于点C．若点B在x轴上，点A的坐标为(6，4)，则△BOC的面积为______．
【答案】3
【解析】
【分析】由于点A的坐标为（6，4），而点D为OA的中点，则D点坐标为（3，2），利用待定系数法科得到k=6，然后利用k的几何意义即可得到△BOC的面积=|k|=×6=3．
【详解】解：∵点A坐标为（6，4），而点D为OA的中点，
∴D点坐标为（3，2），
把D（3，2）代入y=得k=3×2=6，
∴反比例函数的解析式为y=，
∴△BOC的面积=|k|=×|6|=3．
故答案为3；
【点睛】本题考查反比例y=（k≠0）数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|．
18. 如图，某一时刻太阳光下，一颗大树的影子有一部分落在了墙上，已知同一时刻小明测得1米高的测竿影长米，大树落在地上的影长米，墙上的影长米，则大树的高度为___________米．
【答案】
【解析】
【分析】依题意，如图：表示出相应线段的值，利用的性质，求出，再求出大树高度即可．
【详解】依题意，如图：
米，米，米，米，
解得
大树高为：
（米）
故答案为：．
【点睛】本题考查了用相似三角形的性质解决实际问题；根据题意找准数据，运用相似的性质正确建立方程并求解是解题的关键．
19. 如图，一次函数图像与反比例函数图像交于点，，则不等式的解集是______．

【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数图象的综合判断.利用函数图象得到当一次函数图象不在反比例函数图象上方时x的取值即可．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数图象不在反比例函数图象上方时，x的取值范围是：或．
故不等式的解集是： 或，
故答案为： 或.
20. 如图，⊙O的两条弦AB，CD相交于点P，连接AC，BD.若S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝________．
【答案】4∶3
【解析】
【分析】由圆周角定理,易证得和的对应角相等,则可判定;根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出AC、BD的比例关系.
【详解】
S△ACP∶S△DBP＝16∶9
AC∶BD＝4∶3.故答案为：4:3.
【点睛】本题主要考查的是圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，本题关键在于相似关系.
21. 已知：如图，在中，，，垂足是，，BD=1．则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理可求出CD的长，由∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°可证明∠A=∠BCD，即可证明△BCD∽△ACD，根据相似三角形的性质求出AD即可.
【详解】∵，．
∴CD= =，
∵∠A+∠ACD=90°，∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∵∠BDC=∠CDA=90°，
∴△BCD∽△ACD，
∴AD：CD=CD：BD，
∴AD==5.
故答案为5.
【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，两角对应相等，两三角形相似；两三角形相似，对应边成比例，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键.
22. 如图，在中，依次取的中点的中点的中点的中点，．．．．．．，并连接，．．．．若的面积是则的面积是____________．
【答案】
【解析】
【分析】由三角形中位线定理可知，D1D2是△ABC的中位线，且△BD1D2∽△BCA，其相似比为1:2，故△BD1D2面积是△BAC面积的；△BD2D3与△BD1D2高相等，△BD2D3的底是△BD1D2底的一半，故△BD2D3面积是△BD1D2面积的，以此类推，即可找出规律．
【详解】解：∵是的中点，是的中点，
∴D1D2是△ABC的中位线，
∴D1D2AC，
∴△BD1D2∽△BCA，其相似比为1:2，
故△BD1D2面积是△BAC面积的，且△ABC面积为1，故△BD1D2面积是，
又△BD2D3与△BD1D2高相等，△BD2D3的底是△BD1D2底的一半，
∴△BD2D3面积是△BD1D2面积的，即△BD2D3面积是，
……
由此可知，△BDnDn+1面积是△BDn-1Dn面积的，
∴的面积是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的性质、找规律等知识点，熟练掌握相似三角形的性质及中位线的性质是解决此类题的关键．
三、解答题（共54分）
23. 如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数y＝（x＜0）的图象相交于点A、点B，与X轴交于点C，其中点A（﹣1，3）和点B（﹣3，n）．
（1）填空：m＝ ，n＝ ．
（2）求一次函数解析式和△AOB的面积．
（3）根据图象回答：当x为何值时，kx+b≥（请直接写出答案） ．
【答案】(1) ﹣3，1；(2) y=x+4，4；（3）﹣3≤x≤﹣1.
【解析】
【分析】（1）已知反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）分别代入求得m、n的值即可；（2）用待定系数法求出一次函数的解析式，再求得一次函数与x轴的交点坐标，根据S△AOB=S△AOC﹣S△BOC即可求得△AOB的面积；（3）观察图象，确定一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围即可.
【详解】（1）∵反比例函数y=过点A（﹣1，3），B（﹣3，n）
∴m=3×（﹣1）=﹣3，m=﹣3n
∴n=1
故答案为﹣3，1
（2）设一次函数解析式y=kx+b，且过（﹣1，3），B（﹣3，1）
∴
解得：
∴解析式y=x+4
∵一次函数图象与x轴交点为C
∴0=x+4
∴x=﹣4
∴C（﹣4，0）
∵S△AOB=S△AOC﹣S△BOC
∴S△AOB=×4×3﹣×4×1=4
（3）∵kx+b≥
∴一次函数图象在反比例函数图象上方
∴﹣3≤x≤﹣1
故答案为﹣3≤x≤﹣1
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题、用待定系数法求解析式、用图象法解不等式及用三角形面积的和差求三角形的面积，知识点较为综合但题目难度不大．
24. △ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：
（1）在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，使△A1B1C1和△ABC的位似比为2：1且△A1B1C1位于y轴左侧；
（2）分别写出A1、B1、C1三个点的坐标：A1 、B1 、C1 ；
（3）求△A1B1C1的面积为 ．
【答案】（1）详见解析；（2）（﹣4，﹣8）、（﹣2，﹣2）、（﹣8，﹣2）；（3）18．
【解析】
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用所画图形得出对应点坐标即可；
（3）直接利用三角形面积求法得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）A1（﹣4，﹣8）、B1（﹣2，﹣2）、C1（﹣8，﹣2）；
故答案（﹣4，﹣8）、（﹣2，﹣2）、（﹣8，﹣2）；
（3）△A1B1C1的面积为：×6×6=18．
故答案为18．
【点睛】此题考查位似变换以及三角形面积求法，解题关键是正确得出对应点位置．
25. 心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示．
（1）开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？
（2）某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由．
【答案】（1）第40分钟时更集中
（2）合理，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题．
（1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出；
（2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案．
【小问1详解】
解：设，把，代入函数解析式解得，，
由图象直接得到，
设，把代入函数解析式解得；
把代入，得，
把代入，得，
因为，
所以第40分钟时学生的注意力更集中；
【小问2详解】
解：由题意知，注意力指数不低于40
即当在，
同时
即
即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40．
而，
该学习设计合理．
26. 如图，在中，，点P从B点出发沿方向以每秒1个单位移动，点Q从A出发沿方向以每秒2个单位移动，当它们到达A、C后停止运动．试问经过几秒后，与相似？请说明理由．
【答案】经过2或秒后，与相似，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，先求出，再分时，时，两种情况利用相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：经过2秒或后与相似，理由如下：
设点P、Q运动的时间为t，由题意得，，
∵，
∴，
当时，
∴，即
解得．
同理，当时，
综上所述，经过2或秒后，与相似．
27. 如图，在中，高线CD、BE交于点O．
（1）求证：；
（2）若，求．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由证明，得到，由证明再由证明；
（2）由（1）中结论，面积比等于相似比的平方．
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，面积比等于相似比的平方，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
28. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系．
（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
【答案】(1) ，理由见解析；(2)；(3)①；②
【解析】
【分析】（1）证明，从而得出结论；
（2）证明，进而得出结果；
（3）①先证明，再证得，进而得出结果；②在①的基础上得出，进而，进一步得出结果．
【详解】（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①∵，设，
∴．
∴， ，
∴，
∴，
∴；
②由①得：，，，则
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．